第六章 变分法模型

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。

§1 变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。

1.1 变分法的基本概念1.1.1 泛函设S 为一函数集合，若对于每一个函数S t x ∈)(有一个实数J 与之对应，则称J 是对应在S 上的泛函，记作))((t x J 。S 称为J 的容许函数集。通俗地说，泛函就是“函数的函数”。

例如对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ，绕x 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函))((x y J 。由微积分知识不难写出

1）容许函数集可表示为

}y )y(x ,)(],,[)(|)({2211211==∈=y x y x x C x y x y S （2）最简单的一类泛函表为

∫=2

1),,())((t t dt x x t F t x J （3）被积函数F 包含自变量t ，未知函数x 及导数x

。（1）式是最简泛函。1.1.2泛函的极值

泛函))((t x J 在S t x ∈)(0取得极小值是指，对于任意一个与)(0t x 接近的S t x ∈)(，都有))(())((0t x J t x J ≥。所谓接近，可以用距离ε<))(),((0t x t x d 来度量，而距离定义为

|})()(||,)()({|max ))(),((0002

1t x t x t x t x t x t x d t t t −−=≤≤泛函的极大值可以类似地定义。)(0t x 称为泛函的极值函数或极值曲线。

1.1.3泛函的变分

如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数)(t x 在)(0t x 的增量记为

)

()()(0t x t x t x −=δ也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作

))

(())()((00t x J t x t x J J −+=∆δ如果J ∆可以表为

其中L 为x δ的线性项，而)(0t x 的变分，记作))((0t x J δ。用变动的4）根据L 和

利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

若))((t x J 在)(0t x 达到极值（极大或极小），则

0))((0=t x J δ （5）

这是因为对任意给定的x δ，)(0x x J αδ+是变量α的函数，该函数在0=α处达到极

于是由（4）式直接得到（5）式。

1.1.5. 变分法的基本引理

引理 ],[)(21x x C x ∈ϕ，],[)(211

x x C x ∈∀η，0)()(21==x x ηη，有∫≡2

10)()(x x dx x x ηϕ，

则。

1.2 无约束条件的泛函极值

求泛函

∫=f

t t dt t x t x t F J 0))(),(,( （6）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线)(t x ，使给定的二阶连续可微函数F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线（或轨线），记为)(*

t x 。

1.2.1 端点固定的情况

设容许曲线)(t x 满足边界条件

00)(x t x =，f f x t x =)( （7）

且二次可微。

8）因为x δ的任意性，及9）它是这类最简泛函取极值的必要条件。

（9）式又可记作 0=−−−x F x

F F F x x x x x t x （10）通常这是)(t x 的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由（7）式中的两个端点条件确定。

1.2.2 最简泛函的几种特殊情形

(i) F 不依赖于x

，即),(x t F F = 这时0≡x F ，欧拉方程为0),(=x t F x ，这个方程以隐函数形式给出)(t x ，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。

(ii) F 不依赖x ，即),(x

t F F =欧拉方程为

，由此可求出),(1c t x ϕ= ，积分后得到可能的极值曲线族

()dt c t x ∫=

1,ϕ(iii) F 只依赖于x ，即)(x F F =这时0,0,0===x x x t x F F F ，欧拉方程为

=x x F x

由此可设0=x 或0=x x F ，如果0=x

，则得到含有两个参数的直线族21c t c x +=。另外若0=x x F 有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数c 的直线族c kt x +=，它包含于上面含有两个参数的直线族 21c t c x += 中，于是，

在)(x

F F =情况下，极值曲线必然是直线族。（iv ）F 只依赖于x 和x

，即),(x x F F =这时有0=x t F ，故欧拉方程为

0=−−x x x x x F x

F x F 此方程

例1 (最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约法是这样的：设A 和B 是铅直需时间最短。

下，B 点为),(22y x B 。根满足（s 为弧长） 2

2)(,0)0(y x y y ==最速降

不含自变量x ，所以方程（10）可写作

''''''=−−y F y F F y y yy y 等价于

令

又因

得这是摆线（圆滚线）的参数方程，其中常数1c 可利用另一边界条件22(y x y =）

来确定。

消 1.2.3 最简泛函的推广

最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函使泛函

∫=2

1)',,',,())(),((x x dx z z y y x F x z x y J

（ii ）含高阶导数的泛函

使泛函

∫=2

1)

J 知值的极值函数),(y x z z =必满足方程上式称为奥

式方程。1.2.4 端点变动的情况（横截条件）

设容许曲线)(t x 在0t 固定，在另一端点f t t =时不固定，是沿着给定的曲线)(t x ψ=上变动。于是端点条件表示为

==)

()()(00t t x x t x ψ这里t 是变动的，不妨用参数形式表示为

f

f dt t t α+=导，即有

11）再对（11）式做如下分析：

（i ）对每一个固定的f t ，)(t x 都满足欧拉方程，即（11）式右端的第一项积分为零；

（ii 间的关系，因为对α求导并即

12）把（12）代13）

（13）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。

横截条件有两种常见（i ）当)(t x ψ=是垂直横固定，)(f t x 自由，并称)(f t x 为自由端点。此时（11）式中0=f dt 及横截条件

14）

（ii ）当)(t x ψ=是平行横自由，)(f t x 固定，并称)(f t x 为平动

端点。此时0=ψ

，（13

15）

注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

1.3 有约束条件的泛函极值

在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统

))(),(,()(t u t x t f t x

= （16）寻求最优性能指标（目标函数）

∫+=f

t t f f dt t u t x t F t x t t u J 0

))(),(,())(,())((ϕ （17）

其中)(t u 是控制策略，)(t x 是轨线，0t 固定，f t 及)(f t x 自由，n

R t x ∈)(，

m R t u ∈)(（不受限，充满m R 空间），F f ,,ϕ连续可微。

下面推导取得目标函数极值的最优控制策略)(*

t u 和最优轨线)(*

t x 的必要条件。采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑

∫−++=f

t t T f f dt x

u x t f t u x t F t x t u x J 0

)]),,()((),,([))(,(),,(1 λϕλ （18）-214-

的无条件极值，首先定义（16）式和（17）式的哈密顿（Hamilton ）函数为 ),,()(),,(),,,(u x t f t u x t F u x t H T

λλ+= （19）将其代入（18）式，得到泛函

∫−+=f

t t T f f dt x

u x t H t x t u x J 0

]),,,([))(,(),,(1 λλϕλ （20）

如果受控系统

),,(u x t f x

= ，00)(x t x =其控制策略)(t u 的全体构成有界集U ，求U t u ∈)(，使性能指标

-215-

∫+=f

t t f f dt

u x t F t x t t u J 0

),,())(,())((ϕ和),,(u x t F 都是连续可微的，那么最优控制决定：

（i 决定：

（ii ）哈密顿函数

),,()(),,(),,,(*

**

*

*

u x t f t u x t F u x t H T

λλ+=作为)(t u 的函数，最优策略)(*

t u 必须使

),,,(max ),,,(*

****λλu x t H u x t H U

u ∈=或使

),,,(min ),,,(*

****λλu x t H u x t H U

u ∈=(最小值原理)（iii ）满足相应的边界条件

① 若两端点固定，则正则方程的边界条件为 0)0(x x =，f f x t x =)(。

② 若始端固定，终端f t 也固定，而)(f t x 自由，则正则方程的边界条件为 0)0(x x =，))(,()()(f f t x f t x t t f ϕλ=。

③ 若始端固定，终端)(,f f t x t 都自由，则正则方程的边界条件为 0)0(x x =，))(,()()(f f t x f t x t t f ϕλ=，

0))(,())(),(),(,(=+f f t f f f f t x t t t u t x t H f ϕλ。

§2 生产设备的最大经济效益

某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。

2.1 问题分析与假设

（i ）设备的转卖价是时间t 的函数，记为)(t x 。)(t x 的大小与设备的磨损程度和保养费的多少密切相关。记初始转卖价0)0(x x =。

（ii ）设备随其运行时间的推移，磨损程度越来越大。t 时刻设备的磨损程度可以用t 时刻转卖价的损失值来刻划，常称其为磨损函数或废弃函数，记为)(t m 。

（iii ）保养设备可以减缓设备的磨损速度，提高转卖价。如果)(t u 是单位时间的保

-216-

养费，)(t g 是t 时刻的保养效益系数（每用一元保养费所增加的转卖价），那么单位时间的保养效益为)()(t u t g 。另外，保养费不能过大（如单位时间保养费超过单位时间产值时，保养失去了意义），只能在有界函数集中选取，记有界函数集为W ，则W t u ∈)(。

（iv ）设单位时间的产值与转卖价的比值记为p ，则)(t px 表示在t 时刻单位时间的产值，即t 时刻的生产率。

（v ）转卖价)(t x 及单位时间的保养费)(t u 都是时间t 的连续可微函数。为了统一标准，采用它们的贴现值。对于贴现值的计算，例如转卖价)(t x 的贴现

值计算，如果它的贴现因子为δ（经过单），那么由

解得

)

(11)(t t e t x −−=δ令01=t ，便得t 时刻单位费用的贴现（称贴现系数）为t e δ−，所以设备在t 时刻转卖

价)(t x 的贴现为t

e

t x δ−)(。仿此计算，)(t u 的贴现为t

e

t u δ−)(，单位时间产值的贴现为

t e t px δ−)(。

（vi ）欲确定的转卖时间f t 和转卖价)(f t x 都是自由的。

2.2 模型构造

根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损—保养系统；转卖价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选单

位时间的保养费)(t u 作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成）状态方程

21）

策略)(*

t u ，使系统的经济效

益这一性能指标

∫−−−+=f

f

t t t f dt e t u t px e

t x t u J 0

)]()([)())((δδ （22）

为最大，其中)(,f f t x t 都是自由的。

2.3 模型求解

首先写出问题的哈密顿函数 )]()()([)]()([t m t g t m e

t u t px H t

+−+−=−λδ （23）

再由协态方程及边界条件求出)(t λ，即由

-217-

解得

显然，H是对

24）或

25）

换点s t在什么位置，即s t等

转换

即

26）

从而可解出s t。

因为)(t

g是时间t的减函数，所以（26）式的左端也是时间t的减函数，也就是说)(*t

u随时间应由U到0。于是最优控制策略的具体表达式为

≤

<

<

≤

=

f

s

s

t

t

t

t

t

U

u

,0

,

*

至于f t，)

(

f

t

x的求法，请见下面的例子。

例3 的问题中，设100

)0(=

x，1

=

U，2

)(=

t

m，

1.0

=

p，)

(

f

t x和)(*t

u。

27）

-218-

当s t t <时，

当s t t >时，于是s t t >时，有

解得

28）

于是

当f t t =时，由（28）式有

即

29）

将（27）和（29）联立求解，编写如下Matlab 程序

[x,y]=solve('(1+ts)^(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf))','tf=2*(1+ts)^(1/2)+28')求得

6.10=s t ，8.34=f t 于是，最优控制策略（保养费）为

≤<<≤=8

.346.10,06

.100,1)(*t t t u -219-

习 题 六

1.求自原点（0,0）到直线01=−+y x 的最速降线。

2.求概率密度函数)(x ϕ，使得信息量

∫+∞

∞−−=dx

x x J )](ln[)(νϕϕ取最大值，且满足等周条件 1)(=∫+∞

∞−dx x ϕ ，22)(σϕ=∫+∞∞

−dx x x （常数）。3. 在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？

-220-