2016-2017学年江苏省扬州市江都实验中学八年级(上)第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（　　）

A．    B．    C．    D．

2．（3分）下列说法中，正确说法的个数有（　　）

①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁．

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

3．（3分）到三角形的三个顶点距离相等的点是（　　）

A．三条角平分线的交点    B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条高的交点    D．三条中线的交点

4．（3分）下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′，的是（　　）

A．∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′

B．∠B=∠B′，BC=B′C′，AB=A′B′

C．∠A=∠A′=80°，∠B=60°，∠C′=40°，AB=A′B′

D．∠A=∠A′，BC=B′C′，AB=A′B′

5．（3分）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）

A．CB=CD    B．∠BAC=∠DAC    C．∠BCA=∠DCA    D．∠B=∠D=90°

6．（3分）如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1=∠2，则图中全等三角形共有（　　）

A．5对    B．6对    C．7对    D．8对

7．（3分）附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（　　）

A．△ACF    B．△ADE    C．△ABC    D．△BCF

8．（3分）如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分）

9．（3分）已知：△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为22cm，BC=4cm，则DE=　   　cm．

10．（3分）在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是　   　．

11．（3分）如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=　   　．

12．（3分）如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=　   　°．

13．（3分）如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：

①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE．

其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有　   　个．

14．（3分）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为　   　cm．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是　   　．

16．（3分）在如图的方格纸上画有2条线段，若再画1条线段，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，则这条线段的画法最多有　   　种．

17．（3分）如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上．爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OB上取一点E，使得PE=PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间有一定的相等关系，请你写出∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系　   　．

18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t=　   　秒 时，△PEC与△QFC全等．

三、解答题（本大题共10小题，共96分）

19．（8分）如图，在正方形网格上的一个△ABC．（其中点A、B、C均在网格上）

（1）作△ABC关于直线MN的轴对称图形；

（2）以P点为一个顶点作一个与△ABC全等的三角形（规定点P与点B对应，另两顶点都在图中网格交点处）．

20．（8分）已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在同一直线上，∠A=∠C．

求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF．

21．（8分）一次数学课上，老师在黑板上画了如图图形，并写下了四个等式：

①BD=CA，②AB=DC，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．

要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AE=DE．请你试着完成老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）

已知：　   　（请填写序号），求证：AE=DE．

证明：

22．（8分）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．

（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；

（2）求证：CF=EF．

23．（10分）如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：

（1）CF=EB．

（2）AB=AF+2EB．

24．（10分）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF．

25．（10分）如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．

（1）求证：△ACD≌△CBE；

（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系，并说明理由．

26．（10分）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．

（1）求BC的长；

（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．

27．（12分）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．

（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．

（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A．C．D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．

28．（12分）（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；

（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；

（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．

2016-2017学年江苏省扬州市江都实验中学八年级（上）第一次月考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）（2004•南山区）下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，看各个图形有几条对称轴即可．

【解答】解：A、有两条对称轴，符合题意；

B、C、都只有一条对称轴，不符合题意；

D、有六条，对称轴，不符合题意；

故选A．

【点评】轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．

2．（3分）（2013秋•张家港市校级期末）下列说法中，正确说法的个数有（　　）

①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁．

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【分析】要找出正确的说法，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．

【解答】解：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，而非角平分线，故①错误；

②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴，正三角形有三条对称轴，故②正确；

③关于某直线对称的两个三角形一定可以完全重合，所以肯定全等，故③正确；

④两图形关于某直线对称，对称点可能重合在直线上，故④错误；

综上有②、③两个说法正确．

故选B．

【点评】本题考查了轴对称以及对称轴的定义和应用．

3．（3分）（2013秋•校级期末）到三角形的三个顶点距离相等的点是（　　）

A．三条角平分线的交点    B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条高的交点    D．三条中线的交点

【分析】根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得出即可．

【解答】解：∵OA=OB，

∴O在线段AB的垂直平分线上，

∵OC=OA，

∴O在线段AC的垂直平分线上，

∵OB=OC，

∴O在线段BC的垂直平分线上，

即O是△ABC的三边垂直平分线的交点，

故选B．

【点评】本题考查了对线段垂直平分线性质的理解和运用，注意：线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

4．（3分）（2011春•相城区期末）下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′，的是（　　）

A．∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′

B．∠B=∠B′，BC=B′C′，AB=A′B′

C．∠A=∠A′=80°，∠B=60°，∠C′=40°，AB=A′B′

D．∠A=∠A′，BC=B′C′，AB=A′B′

【分析】根据三角形全等的判定方法，SSS、SAS、ASA、AAS，逐一检验．

【解答】解：A、条件：∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′符合“ASA”的判定定理；

B、条件：∠B=∠B，BC=B′C′，AB=A′B′符合“SAS”的判定定理；

C、条件：∠A=∠A′=80°，∠B=60°，可得∠C=∠C′=40°，AB=A′B′，符合“AAS”的判定定理；

D、条件：∠A=∠A，BC=B′C′，AB=A′B′，属于“SSA”的位置关系，不能判定全等；

故选D．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

5．（3分）（2014•黔西南州）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）

A．CB=CD    B．∠BAC=∠DAC    C．∠BCA=∠DCA    D．∠B=∠D=90°

【分析】本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．

【解答】解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；

B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；

C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；

D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

6．（3分）（2012春•昆山市期末）如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1=∠2，则图中全等三角形共有（　　）

A．5对    B．6对    C．7对    D．8对

【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．

【解答】解：①在△AEO与△ADO中，

，

∴△AEO≌△ADO（SAS）；

②∵△AEO≌△ADO，

∴OE=OD，∠AEO=∠ADO，

∴∠BEO=∠CDO．

在△BEO与△CDO中，

，

∴△BEO≌△CDO（ASA）；

③∵△BEO≌△CDO，

∴BE=CD，BO=CO，OE=OD，

∴CE=BD．

在△BEC与△CDB中，

，

∴△BEC≌△CDB（SAS）；

④在△AEC与△ADB中，

，

则△AEC≌△ADB（SAS）；

⑤∵△AEC≌△ADB，

∴AB=AC．

在△AOB与△AOC中，

，

∴△AOB≌△AOC．

综上所述，图中全等三角形共5对．

故选A．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

7．（3分）（2013•）附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（　　）

A．△ACF    B．△ADE    C．△ABC    D．△BCF

【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）结合图形进行判断即可．

【解答】解：根据图象可知△ACD和△ADE全等，

理由是：∵根据图形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，

∴△ACD≌△AED，

即△ACD和△ADE全等，

故选B．

【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的观察图形的能力和推理能力，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．

8．（3分）（2016秋•桐乡市期中）如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

【分析】根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可．

【解答】解：如图：

共3个，

故选B．

【点评】本题考查的是轴对称图形，根据题意作出图形是解答此题的关键．

二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分）

9．（3分）（2015秋•建湖县期中）已知：△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为22cm，BC=4cm，则DE=　9　cm．

【分析】先求出AB的长，根据全等三角形的性质得出DE=AB，即可得出答案．

【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，且△ABC的周长为22cm，BC=4cm，

∴AB=AC=9cm，

∵△DEF≌△ABC，

∴DE=AB=9cm，

故答案为：9．

【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，解此题的关键是求出AB=DE和求出AB的长．

10．（3分）（2016秋•凉州区期末）在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是　21：05　．

【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．

【解答】解：由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05．

故答案为：21：05．

【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．

11．（3分）（2016秋•宜城市期末）如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=　55°　．

【分析】求出∠BAD=∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2=∠ABD=30°，根据三角形的外角性质求出即可．

【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

∴∠1=∠EAC，

在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠2=∠ABD=30°，

∵∠1=25°，

∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°，

故答案为：55°．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△CAE．

12．（3分）（2016秋•宁城县期末）如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=　135　°．

【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．

【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，

∴∠1=∠DBE，

又∵∠DBE+∠3=90°，

∴∠1+∠3=90°．

∵∠2=45°，

∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．

故填135．

【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．

13．（3分）（2015秋•苏州校级期中）如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：

①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE．

其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有　4　个．

【分析】根据题目所给条件可得∠ODF=∠OEF=90°，再加上添加条件结合全等三角形的判定定理分别进行分析即可．

【解答】解：∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，

∴∠ODF=∠OEF=90°，

①加上条件OF是∠AOB的平分线可利用AAS判定△DOF≌△EOF；

②加上条件DF=EF可利用HL判定△DOF≌△EOF；

③加上条件DO=EO可利用HL判定△DOF≌△EOF；

④加上条件∠OFD=∠OFE可利用AAS判定△DOF≌△EOF；

因此其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有4个，

故答案为：4．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

14．（3分）（2013•泰州）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为　6　cm．

【分析】根据中垂线的性质，可得DC=DB，继而可确定△ABD的周长．

【解答】解：∵l垂直平分BC，

∴DB=DC，

∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．

故答案为：6．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

15．（3分）（2013•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是　15　．

【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．

【解答】解：过D作DE⊥BC于E，

∵∠A=90°，

∴DA⊥AB，

∵BD平分∠ABC，

∴AD=DE=3，

∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15，

故答案为：15．

【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

16．（3分）（2016秋•江都区校级月考）在如图的方格纸上画有2条线段，若再画1条线段，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，则这条线段的画法最多有　4　种．

【分析】根据轴对称的性质画出所有线段即可．

【解答】解：如图所示，共有4条线段．

故答案为：4．

【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．

17．（3分）（2016秋•江都区期中）如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上．爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OB上取一点E，使得PE=PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间有一定的相等关系，请你写出∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系　∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°　．

【分析】数量关系是∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，理由是以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，根据SAS证△E2OP≌△DOP，推出E2P=PD，得出此时点E2符合条件，此时∠OE2P=∠ODP；以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，根据等腰三角形性质推出∠PE2E1=∠PE1E2，求出∠OE1P+∠ODP=180°即可．

【解答】解：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，

理由是：以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，

∵在△E2OP和△DOP中

，

∴△E2OP≌△DOP（SAS），

∴E2P=PD，

即此时点E2符合条件，此时∠OE2P=∠ODP；

以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，

则此点E1也符合条件PD=PE1，

∵PE2=PE1=PD，

∴∠PE2E1=∠PE1E2，

∵∠OE1P+∠E2E1P=180°，

∵∠OE2P=∠ODP，

∴∠OE1P+∠ODP=180°，

∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，

故答案为：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生的猜想能力和分析问题和解决问题的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．

18．（3分）（2016秋•邗江区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t=　1或或12　秒 时，△PEC与△QFC全等．

【分析】根据题意化成三种情况，根据全等三角形的性质得出CP=CQ，代入得出关于t的方程，求出即可．

【解答】解：分为三种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，

∵PE⊥l，QF⊥l，

∴∠PEC=∠QFC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，

∴∠EPC=∠QCF，

则△PCE≌△CQF，

∴PC=CQ，

即6﹣t=8﹣3t，

t=1；

②如图1，P在BC上，Q在AC上，

∵由①知：PC=CQ，

∴t﹣6=3t﹣8，

t=1；

t﹣6＜0，即此种情况不符合题意；

③当P、Q都在AC上时，如图3，

CP=6﹣t=3t﹣8，

t=；

④当Q到A点停止，P在BC上时，AC=PC，t﹣6=6时，解得t=12．

P和Q都在BC上的情况不存在，∵P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；

故答案为：1或或12．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．

三、解答题（本大题共10小题，共96分）

19．（8分）（2016秋•江都区校级月考）如图，在正方形网格上的一个△ABC．（其中点A、B、C均在网格上）

（1）作△ABC关于直线MN的轴对称图形；

（2）以P点为一个顶点作一个与△ABC全等的三角形（规定点P与点B对应，另两顶点都在图中网格交点处）．

【分析】（1）分别作出各点关于直线MN的对称点，再顺次连接即可；

（2）根据勾股定理画出图形即可．

【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；

（2）如图，△A″PC″≌△ABC．

【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．

20．（8分）（2016秋•江都区校级月考）已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在同一直线上，∠A=∠C．

求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF．

【分析】（1）要证AE=CF，只需证到△ABE≌△CDF即可；

（2）由△ABE≌△CDF可得∠AEB=∠CFD，然后根据等角的补角相等可得∠AED=∠CFB，就可得到AE∥CF．

【解答】解：（1）∵AB∥CD，

∴∠B=∠D．

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF；

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴∠AEB=∠CFD．

∵∠AEB+∠AED=180°，∠CFD+∠CFB=180°，

∴∠AED=∠CFB，

∴AE∥CF．

【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等角的补角相等等知识，证明△ABE≌△CDF是解决本题的关键．

21．（8分）（2016秋•江都区校级月考）一次数学课上，老师在黑板上画了如图图形，并写下了四个等式：

①BD=CA，②AB=DC，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．

要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AE=DE．请你试着完成老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）

已知：　①②　（请填写序号），求证：AE=DE．

证明：

【分析】已知条件为①②，加上公共边相等，利用SSS得到三角形ABD与三角形DCA全等，利用全等三角形对应角相等得到∠B=∠C，再由对顶角相等，AB=DC，利用AAS得到三角形ABE与三角形DCE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．

【解答】解：已知：①BD=CA，②AB=DC，

求证：AE=DE，

证明：在△ABD和△DCA中，

，

∴△ABD≌△DCA（SSS），

∴∠B=∠C，

在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE（AAS），

∴AE=DE．

故答案为：①②．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

22．（8分）（2010•南宁）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．

（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；

（2）求证：CF=EF．

【分析】（1）根据Rt△ABC≌Rt△ADE，得出AC=AE，BC=DE，AB=AD，∠ACB=∠AED，∠BAC=∠DAE，从而推出∠CAD=∠EAB，△ACD≌△AEB，△CDF≌△EBF，

（2）由△CDF≌△EBF，得到CF=EF．

【解答】（1）解：△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF；

（2）证法一：连接CE，

∵Rt△ABC≌Rt△ADE，

∴AC=AE．

∴∠ACE=∠AEC（等边对等角）．

又∵Rt△ABC≌Rt△ADE，

∴∠ACB=∠AED．

∴∠ACE﹣∠ACB=∠AEC﹣∠AED．

即∠BCE=∠DEC．

∴CF=EF．

证法二：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，

∴AC=AE，AD=AB，∠CAB=∠EAD，

∴∠CAB﹣∠DAB=∠EAD﹣∠DAB．

即∠CAD=∠EAB．

∴△CAD≌△EAB，

∴CD=EB，∠ADC=∠ABE．

又∵∠ADE=∠ABC，

∴∠CDF=∠EBF．

又∵∠DFC=∠BFE，

∴△CDF≌△EBF（AAS）．

∴CF=EF．

证法三：连接AF，

∵Rt△ABC≌Rt△ADE，

∴AB=AD．

又∵AF=AF，

∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL）．

∴BF=DF．

又∵BC=DE，

∴BC﹣BF=DE﹣DF．

即CF=EF．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

23．（10分）（2015秋•沙河市期末）如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：

（1）CF=EB．

（2）AB=AF+2EB．

【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF=EB；

（2）利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AB进行转化．

【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=DC，

在Rt△CDF和Rt△EDB中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．

∴CF=EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴CD=DE．

在△ADC与△ADE中，

，

∴△ADC≌△ADE（HL），

∴AC=AE，

∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．

【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE，是解答本题的关键．

24．（10分）（2015秋•瑶海区期末）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF．

【分析】（1）先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°，从而得证．

【解答】证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，

即∠EAC=∠BAF，

在△ABF和△AEC中，

∵，

∴△ABF≌△AEC（SAS），

∴EC=BF；

（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，

∴∠AEC=∠ABF，

∵AE⊥AB，

∴∠BAE=90°，

∴∠AEC+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），

∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°，

所以EC⊥BF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件找出两组对应边的夹角∠EAC=∠BAF是证明的关键，也是解答本题的难点．

25．（10分）（2016秋•江都区校级月考）如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．

（1）求证：△ACD≌△CBE；

（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系，并说明理由．

【分析】（1）观察图形，结合已知条件，可知全等三角形为：△ACD与△CBE．根据AAS即可证明；

（2）由（1）知△ACD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等，得出CD=BE，AD=CE，从而求出线段AD、BE、DE之间的关系．

【解答】证明：（1）∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBE=90°﹣∠ECB．

在△ACD与△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）AD=BE﹣DE，理由如下：

∵△ACD≌△CBE，

∴CD=BE，AD=CE，

又∵CE=CD﹣DE，

∴AD=BE﹣DE

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质，关键是根据AAS证明三角形全等．

26．（10分）（2016秋•太仓市期中）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．

（1）求BC的长；

（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．

【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，AE=CE，再根据AD+DE+AE=BD+DE+CE即可得出结论；

（2）先根据线段垂直平分线的性质得出OA=OC=OB，再由∵△OBC的周长为16cm求出OC的长，进而得出结论．

【解答】解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，

∴AD=BD，AE=CE，

∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，

∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，

∴BC=6cm；

（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，

∴OA=OC=OB，

∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，

∴OC+OB=16﹣6=10，

∴OC=5，

∴OA=OC=OB=5．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

27．（12分）（2016秋•宜城市期末）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．

（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．

（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A．C．D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．

【分析】（1）连接AC，根据SSS证明两个三角形全等即可；

（2）分两种情形①当点C在点D右侧时，②当点C在点D左侧时，分别列出方程组即可解决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意．

【解答】解：（1）相等．

理由：连接AC，

在△ACD和△ACB中，

∵，

∴△ACD≌△ACB（SSS），

∴∠B=∠D；

（2）设AD=x，BC=y，

∵当点C在点D右侧时，，解得；

当点C在点D左侧时，，解得，

此时AC=17，CD=5，AD=8，5+8＜17，

∴不合题意，

∴AD=13cm，BC=10cm．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、二元一次方程组、三角形三边关系等知识，解题的关键是学会分类讨论，考虑问题要全面，属于中考常考题型．

28．（12分）（2016秋•仪征市校级月考）（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；

（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；

（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．

【分析】图①，求出∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD=∠CAF，根据AAS证两三角形全等即可；图②根据已知和三角形外角性质求出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可；图③求出△ABD的面积，根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，即可得出答案．

【解答】解：（1）如图①，

∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，

∴∠BDA=∠AFC=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CAF=90°，

∴∠ABD=∠CAF，

在△ABD和△CAF中，

，

∴△ABD≌△CAF（AAS）；

（2）∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，

∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，

在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF（ASA）；

（3）∵△ABC的面积为15，CD=2BD，

∴△ABD的面积是：×15=5，

由（2）中证出△ABE≌△CAF，

∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，证明过程有类似之处．

参与本试卷答题和审题的老师有：lanchong；郝老师；lifeng；zjx111；zhangCF；nhx600；dbz1018；sjzx；HLing；sd2011；caicl；ZJX；1160374；sks；bjy；zhangmin；星期八；1987483819；CJX；sdwdmahongye（排名不分先后）

菁优网

2017年8月18日