疲劳强度的计算

摘要：零件的疲劳强度是一个值得深刻探讨的问题，在众多领域有着至关重要的地位，零件的疲劳强度决定了其疲劳寿命，也就决定了对零件的选择和对这个器件的设计。本论文在参考多方资料，以及在平日学习中积累总结的经验之后，对零件疲劳强度的计算有了一些结论，得出影响导致零件疲劳的原因有破坏应力与循环次数之间量的变化影响，静应力的影响，应力集中的影响，零件绝对尺寸的影响，表面状态与强化的影响等方面。在分析零件疲劳产生原因之后，得出许多关系变化图与计算方法。运用这些计算方法，对零件疲劳极限进行了计算上的确定。并总结出疲劳强度在一些条件下的相关计算方法，如在简单应力状态，复杂应力状态下的不同。对疲劳强度安全系数的确定也进行了一系列分析，最后，尝试建立了疲劳强度的统计模型。

Abstract：The fatigue strength of parts is a worthy of deep discussion, have a vital role in many fields, the fatigue strength of parts determines its fatigue life, also decided on the part of the selection and the device design.This paper in reference to various data, and after the usual study accumulation experience, calculation of the fatigue strength of parts have some conclusion, that caused damage should change between force and the number of cycles of the causes of fatigue parts, the influence of static stress, effect of stress concentration, affects the absolute size, surface state and strengthening effect etc.. After the analysis of fatigue causes, draw many relationship graph and calculation method. Using the calculation method of fatigue limit, determined the calculation. And summarizes the related calculation under some conditions the method of fatigue strength, as in the simple stress state, the complex stress state under the different. Determination of the fatigue strength safety factor is also carried out a series of analysis, finally, try to establish a statistical model of fatigue strength.

关键词：零件 疲劳寿命 疲劳强度  

Key word:Spare parts  Fatigue life  Fatigue strength

1、疲劳强度的基本规律 …………………………………………………

 1.1、破坏应力和循环次数之间量的关系………………………………

 1.2、疲劳曲线方程式……………………………………………………

 1.3、静应力对疲劳强度的影响………………………………………………………

 1.4、应力集中对疲劳强度的影响……………………………………………………

 1.5、零件绝对尺寸对疲劳强度的影响………………………………………………

 1.6、表面液态与强化对疲劳强度的影响……………………………………………

2、零件疲劳极限的确定 …………………………………………………

 2.1、试验确定……………………………………………………………

 2.2、计算-试验确定 ……………………………………………………

3、疲劳强度条件 …………………………………………………………

 3.1、简单应力状态………………………………………………………

 3.2、复杂应力状态………………………………………………………

4、疲劳强度安全系数的确定 ……………………………………………

 4.1、安全系数的基本理论………………………………………………

 4.2、复杂应力状态下的疲劳强度安全系数……………………………

 4.3、不稳定载荷作用时疲劳强度安全系数的确定……………………

5、疲劳强度的统计模型 …………………………………………………

6、总结 ……………………………………………………………………

1、疲劳强度的基本规律

疲劳破裂时机器零件破坏的主要原因，并且由于破裂时突然发生的，往往会造成严重的后果，因此对零件疲劳强度进行分析计算时很重要的。首先，先探讨一下疲劳强度的基本规律。

  1.1、破坏应力和循环次数之间量的关系

试验研究的结果表明，结构材料（黑色和有色金属，热强合金等）的破坏特性取决于载荷的循环次数。

在循环次数很少的情况下，塑性材料的试验产生颈缩，并且在最小截面处发生断裂，这就是静破坏（图1-1）。当循环次数为102～104时，出现裂纹网格和明显的塑性变形，这就是低周疲劳破坏。这种破坏有混合的特点，即在端口上可以看到局部区域有疲劳破坏的现象。最后，在循环次数N>105的情况下，可以看到典型的疲劳破坏，而没有明显的塑性变形的痕迹。当变向应力（狡辩应力）σ减小时，破坏载荷的循环次数N的数值将增高。破坏之前的循环次数具有统计雪上的离散性，因此，通常把载荷循环次数N看做是破坏前的平均循环次数。

在图1-2上示出了典型的σ=φ（N）关系。

在对数坐标上，表示这些关系的时折曲线（有直线段构成）。对于碳素钢来讲，第一型折曲线（图1-2，a）是典型的，在对称循环载荷的作用下，疲劳极限为σ-1，当σ<σ1时不会发生疲劳破坏。第二型曲线（高合金钢和钛合金，图1-2，b）在转折点之后为斜率tgβ0≈0.1tgβ1的斜线。

对于第三型曲线（轻有色金属和在一定温度范围内热强合金，图31-2，c），直线的倾斜一直保持到很低的应力水平。

在一般情况下，把最大循环应力叫做疲劳极限。在这种应力下可以使零件（或试样）达到基本循环次数N。而不会破坏。基本循环次数N。可能大于N0，也可能小雨N0。

在对数坐标上，通常，疲劳曲线的转折点与循环次数N0=106～107相对应。

在循环次数N将疲劳曲线分成三种型式的做法是条件性的。

在实用上，材料抗交变应力破坏的能力是用一定循环次数Nσ（试验基数）下的交变破坏应力σr来表示的。通常，取Nσ=2×106～5×107。

  1.2、疲劳曲线方程式

应力σ和循环次数N之间简单和足够精确的关系可以表示成如下形式：    σmN=C（N1式中m，C—取决于材料性能、试验温度和周围介质的常数。

在对数坐标上，公式（1-1）为直线：

                                   （1-2）

直线倾角β1的正切的绝对值为：

                                               （1-3）

M值增大，斜率减少，而在m→∞时，直线变成水平线。通常，m值在4～10之间，而对于具有应力集中的零件，m=4～6。

转折点A0（图1-3）属于直线A1A0上的一个点，因此

                                               (1-4)

有时把公式（1-1）写成如下形式较为方便：

                                             (1-5)

如果延长直线A1A0和纵坐标轴相交，那么，我们就可获得与强度极限σB不重合的极限强度σ1。

当N=1时，由公式（1-5）得到：

                                                  （1-6）

    如果取疲劳极限等于转折点的破坏应力，即σ-1=σ0，并且取循环N0=107，那么

                                                （1-7）

    通常，σ1=（3～10）σ-1。

在循环次数N>N0的范围内，下式（在对数坐标上）表明的直线规律还是适用的：

                                                   (1-8)

    m0比m大得多，近似地取m0≈10m。

因为点A0同时属于公式（1-1）和公式（1-8）表示的两条直线，所以常数C和C0存在如下的关系：

                                             （1-9）

如果直线通过点A2，则存在

                                                （1-10）

对于点A1，可近似地取σ1≌στ。

开始向低周范围过渡的循环次数为：

                                             （1-11）

  1.3、静应力的影响

作用在截面同一点上的交变应力（按非对称循环应力幅取的疲劳极限）的应力幅的极限值σan与平均应力（静应力）σm的关系示于图1-4之上。

如果没有静应力，则σan=σ-1。在等于强度极限的静应力—（即σm=σn）作用下，σan=0时，就会出现破坏。

研究结果表明，在压缩静应力作用下，疲劳极限增高（也就是零件或试样不易产生疲劳裂缝，产生后也不易扩展）。在这种情况下，由于强化加工在零件的表面层形成了参与压应力，这是疲劳强度增高的主要原因之一。

为了进行计算，利用分析公式σan=（参看图1-4）。最实用的时线性公式（图1-5，a）：

                                             （1-12）

式中——材料对非对称循环的敏感系数（可从参[1]中选取)

 在静压应力范围内≈ 0。

在已知脉动循环下的疲劳极限的情况下，应力有0增大到，可以采用通过脉动循环点的极限直线。这时，等式（1-12）中的系数

                                              （1-13）

在利用上面等式的时候，应该对静强度进行，取（图1-5，b)

                                               (1-14)

                                          (1-15)

除直线外，还可以利用下面的比较复杂的公式：

                                          (1-16)

式中ɑ，β—材料的常数。

对于碳钢与合金钢，在ɑ=2，β=1的情况下，公式（1-16）给出满意的结果。这时，公式（1-16）变成下面的形式：

                                              （1-17）

对于钛合金，铝合金和热强合金，可以去ɑ=β=1。

  1.4、应力集中的影响

在交变载荷的作用下，应力集中有很大的危险性。大量的疲劳破坏都是与圆角半径过小、表面划伤、孔以及其他高的应力集中源有关。与静强度不同，疲劳强度具有极为明显的局部特性，这就说明应力局部增高，材料的点缺陷有很大的影响。

应力集中由理论应力集中系数来表明，理论应力集中系数为：

                                                  （1-18）

式中 σmax—高应力区的最大应力；

     σθ —高应力区的名义应力。

名义应力按最简单的计算公式确定。但是，总是应该说明具体的确定方法。各种应力集中源的理论应力集中系数的数值已在参[2]中给出。

疲劳强度的试验研究表明.疲劳破坏首先从应力集中部位开始，这时，存在下面的条件：

                                              （1-19）

式中—光滑试样试验确定出的疲劳极限。

    对应于疲劳破坏时的名义应力值。试验表明，有效最大应力值总是小于理想弹性材料所确定的最大应力（用计算方法或者试验方法确定的），即：

                                                    （1-20）

    为了计算方便，引出了有效应力集中系数概念：

                                                     （1-21）

    条件（1-20）意味着

                                                        （1-22）

公式（1-20）对于尺寸大的零件盒对应力集中非常敏感的材料制成的零件也适用。

    考虑疲劳破坏条件（1-19），可以写成下式：

                                                    （1-23）

式中—具有应力集中的零件（试样）的疲劳极限；

     —尺寸相同的光滑零件（试样）的疲劳极限。

通常，用下式表示系数与之间的关系：

式中q—材料对应力集中的敏感系数。

不同材料的q值不同，总的来说，零件的绝对尺寸增大时，q值增大。在很强的应力集中源的情况下，应力集中达到“饱和”，导致q值减小。

考虑到应力集中增高而达到‘饱和’，公式（1-24）中的q可以按照下式确定：

  （1-25）

式中q0、ɑ—材料的常数。

由公式（1-24）和公式（1-25）可以知道，当ɑσ→∞时，有效应力集中系数的最大可能值为：

  （1-26）

  1.5、零件绝对尺寸对疲劳强度的影响

试验的结果确定，零件的疲劳强度随着它们的绝对尺寸的增大而降低。这一点可以用破坏的统计理论来解释。这种理论认为：随着零件绝对尺寸增大，材料里有缺陷的晶粒处于应力高的区域内的概率增高了。

可能产生尺寸效应还有其他一些原因：尺寸大的零件材料均匀性低；工艺过程的稳定性不易保证；检查条件较难等等。

尺寸效应借用尺寸系数来评定：

  （1-27）

式中—直径为d的光滑试样的疲劳极限；

 —用标准的光滑试样求出的材料的疲劳极限。

尺寸效应主要取决于工件的截面尺寸（直径），而与零件长度的关系不大。对于铸造材料和具有分散的微观与宏观缺陷（非金属夹杂物、缩孔等）以及粗晶粒结构的零件和材料，尺寸效应表现得更为强烈。合金钢对非金属夹杂物和其他缺陷比较敏感，而且绝对尺寸对这种钢的影响比对碳素钢的影响强烈得多。

当绝对尺寸增大时，尺寸系数趋近一定的极限ε∞。为估计尺寸系数，可利用下式：

 （1-28）

在近似运算中ε∞各有不同。

  1.6、表面液态与强化对疲劳强度的影响

   如试验研究结果所表明的那样，零件的表面状态对其疲劳强度的影响很大。

    利用表面状态系数表明表面状态对疲劳强度的影响。

  （1-29） 

式中  —直径为d的具有一定表面状态的零件的疲劳极限；

 —直径为d、应力集中和前一个零件相同，但表面状态与标准试验相同的试样 （或相似零件）的疲劳极限。

 这样一来， 和之间的差别仅仅是有表面状态所造成的。

 结果表面状态的影响是对没有应力集中的零件确定的，则表面状态系数为：

 （1-30）

有应力集中和没有应力集中，其表面状态系数是不相等的。这一点可用不同应力集中源的相互影响遵守统计学规律来说明。

表面状态系数βσ取决于三个主要因素：

表面粗糙度和表面层的机械性能；

腐蚀破坏的存在；

表面的强化加工。

因此，表面状态系数可以用乘积的形式来表示：

                                                  （1-31）

                                                   （1-32）

角标字母R与0分别表示零件中有应力集中和没有应力集中。

系数βτ（图1-6）表示粗糙度的影响。假定不同表面状态下表面层内的残余应力和机械性能没有明显的差别。

若工艺过程能保证达到良好的表面质量，那么，合金钢用来制造这类零件较为合适。

可以认为，表面质量的影响与应力集中敏感系数之间存在直线关系。冷作硬化与残余应力的影响将在后文中加以叙述。

系数和的数值按实际工艺制造的零件的疲劳极限对按“标准工艺”制造类似的试样的疲劳极限之比来确定。

利用系数和表明因为表面层腐蚀破坏，结果疲劳极限下降，其中，表示具有应力集中的试样；表示光滑试样（图1-7）。腐蚀对高强度钢的影响特别严重。

在表面层中形成压应力是提高腐蚀作用下材料疲劳极限的有效方法之一。由于钛耐腐蚀的性能较高，用它来代替钢常常可以把疲劳强度提高很多。而威力减弱腐蚀作用，采用了各种复层。

在紧配合联接中，在交变应力的作用下，产生微小位移，导致表面层的破坏。在接触区内，不仅发生机械磨损过程，还有物理-化学过程。在交变应力较低的情况下，也会产生疲劳破坏，这就证明了摩擦腐蚀具有相当大的影响。

为了减小摩擦腐蚀的作用，提高接触表面的硬度，采用硬化的表面以及软复层。

强化系数和等于承受强化加工的零件的疲劳强度极限对没进行强化加工的零件的疲劳极限之比。

2、零件疲劳极限的确定

  2.1、试验确定

在很接近实际工作条件下进行模拟实验研究是确定零件疲劳极限的最精确的方法。试验时在万能或者专用疲劳试验机上进行的。为了确定疲劳强度，应该对6~20个试样进行试验。在必须得到统计的评估值的时候，被试验试样应该增加到几十个。参[3]详细介绍了这种试验研究方法。

但是，实际元件的试验研究并不总是可能的，而且是不合适的。

在这种情况下，要进行试样试验，模拟实型零件危险区的应力状态，模拟应力集中源、绝对尺寸、工艺、复层、温度、介质等方面应尽可能地接近实际工作条件。

  2.2、计算-试验确定

这种方法是以试样的试验数据为基础进行疲劳极限的计算。

利用直径为 的标准光滑试验做试验来确定材料的疲劳极限。试样按一定的工艺进行制造，其中包括热处理，并且应该具有一定的表面质量。表面质量下一步用来作为评定的基础。试样在一定的应力状态下进行疲劳试验。随后的试验时在同样形式的应力状态下进行。

具有特征尺寸d和应力集中零件的疲劳极限 可以用单独地评定每一种因素影响的方法来加以确定。为了达到这一点，采用两种方法：

                                                           （2-1）

或者

                                                               （2-2）

式中

                                                               （2-3）

                                                               （2-4）

                                                               （2-5）

                   

                                                               （2-6）

在第一种方法中，尺寸系数按光滑试样考虑，而有效应力集中系数按零件的主要尺寸确定；而在第二种方法中，量 是在小直径的试样上确定的，尺寸系数是在具有应力集中的试样上确定的。

可以同时考虑应力集中和尺寸因素：

                                                           （2-7）

式中的 是有效应力集中系数：

                                                               （2-8）

对公式  和 进行比较，我们得到：

                                                           （2-9）

选用计算公式 或者 取决于系数 和 的已知数值。在用计算方法确定疲劳极限时，还应该考虑表面层状态的影响。

借助于单独考虑各个因素影响来确定零件的疲劳极限 ；可以用不同方法。

如果已知应力集中和尺寸因素的影响，那么

                                                          （2-10）

上式中， 是具有应力集中的直径为d的试样表面状态系数：

                                                              （2-11）

如果引入同时考虑应力集中、尺寸因素和表面状态的总有效应力集中系数

则

                                                              （2-12）

系数 由实型试验确定。在用计算-试验法确定疲劳极限时，主要公式如下：

                                                              （2-13）

系数 、 和 之间的相互有关系的确定方法在前文中已做称述。

3、疲劳强度条件

  3.1、简单应力状态

我们来研究一下在交变的和恒定的正应力作用下光轴的弯曲。设在应力最大的截面的危险点上作用着交变应力 和静应力 考虑线性关系式（1-13），将疲劳强度条件用下式表示：

                                                            (3-1)

式中 —静正应力影响系数。

如果引入当量交变应力概念，即令：

                                                           （3-2）

则疲劳强度条件将为：

                                                               （3-3）

在具有应力集中的情况下，并考虑尺寸效应和表面状态等因素的时候，正如试验研究所表明的那样，这些因素只对交变循环的部分产生影响。此时，疲劳强度条件有如下形式：

                                                           （3-4）

有应力集中时的当量交变应力为：

                                                           （3-5）

有时，零件的疲劳强度条件写成另一种形式较为方便，此形式为：

                                                           （3-6）

式中  —零件上静应力影响系数；

      —零件的疲劳极限。

在公式（3-6）中，量 和 乃是零件上危险点的名义应力。

对于条件（3-3），当量应力为：

                                                           （3-7）

在剪应力作用下，疲劳强度条件的形式为：

                                                           （3-8）

式中 —扭转疲劳极限；

     —静剪应力影响因素。

对于考虑应力集中、表面状态和尺寸因素的零件，存在下式：

                                                           （3-9）

或者

                                                              （3-10）

  3.2、复杂应力状态

首先来研究按对称循环变化的交变应力作用（即无静应力）。

根据试验研究，对于普通的结构材料，可采用如下疲劳强度条件：

                                                          （3-11）

式中 —交变应力强度。

当轴承受交变弯曲和交变扭曲时

                                                         （3-12）

这样，条件（3-11）就具有下面的形式

                                                             （3-13）

因此，可把扭转与拉伸-压缩（弯曲）时的疲劳极限写成下面的形式：

                                                         （3-14）

对于许多塑性材料的试验，很好地证实了这一数值关系。如果 的数值不同于此数值，则可以引入两参数的修正疲劳强度条件：

                                                         （3-15）

疲劳强度条件（3-15）的最通用的形式为：

                                                          (3-16)

对于低塑性和脆性材料来说，交变正应力对强度有附加的影响。这时，疲劳强度条件的形式如下：

                                                         （3-17）

式中 —决定材料参数的系数；

     —最大主交变应力。

对于在正应力作用下的疲劳试验，应用条件（3-3），我们得到：

                                                         （3-18）

对于交变扭转情况

                                                          (3-19）

有方程式（3-18）和（3-19）可以知道

将 和 的数值代入条件（3-17），可得到：

                                                          （3-20）

上式的疲劳强度条件比条件（3-16）更通用。在条件（3-14）下，公式（3-11）和公式（3-20）是一致的；对于脆性材料来讲， ，有条件（3-20），我们得到：

                                                          （3-21）

式中 —零件的疲劳极限。

采用类似发的方法，也可以构成其他的强度条件。一般情况下，应力状态的每一种组成都具有 、 、 、 ...等交变分量和静分量。

利用归纳法，向公式（3-1）中引入当量应力，可以得到疲劳强度条件：

                                                          （3-22）

式中 、 —分别是当量交变应力与当量静应力：

                                                              （3-23）

计算复杂应力状态下非对称循环的另一种方法是：利用线性交换法将非对称循环加在对称循环上去，这样

                                                          （3-24）

                                                          （3-25）

对于折算应力强度，疲劳强度条件为：

                                                          （3-26）

存在应力集中，并考虑尺寸因素和表面状态时，循环的交变应力按相应的方式增高。将公式（3-26）中的 和 用零件的疲劳极限 和 代替，公式（3-24）和（3-25）中的 和 用 和 代替，还可以使考虑上述因素的问题变得更简单一些。

4、疲劳强度安全系数的确定

  4.1、安全系数的基本理论

安全系数表示在交变应力偶然增高和材料强度偶然降低等情况下零件的可靠性。安全系数是新创建的结构与运行中类似结构的比较准则。采用对相似的或者相同的机器零件的比较和对比计算方法确定安全系数所必须的数值。我们用 ， ， ， ...等符号来表示工作时作用在零件上的应力，用 ， ，...等符号表示疲劳破坏瞬时的应力。显然，为了使机器零件可靠地工作，真实应力应该小于其极限值。交变应力和静应力作用下的疲劳破坏条件为；

                                                           （4-1）

式中 ， —分别是开始发生疲劳破坏时的应力的极限值。

对于具有应力集中的零件，破坏条件为：

                                                           （4-2）

在确定疲劳强度的安全系数时，应该考虑交变应力和静应力增长的特点。例如，在齿轮的齿上，如果交变应力和静应力呈正比地增长，从M点增到N点（图4-1),则极限应力为：

                                                           （4-3）

式中 -按类似的循环特性状态下的安全系数。

将这些值代入公式（4-2）中，我们得到确定类似循环特性状态下的安全系数的常用公式：

                                                            (4-4)

如果考虑公式

                                                           （4-5）

公式（4-4）可改写成下面的形式：

                                                           （4-6）

式中 —零件的疲劳极限，可以再实物上试验确定；

     —零件上静正应力影响系数；

     —当量交变应力。

在许多情况下，循环的交变应力分量数值从M点增大到P点（图4-1），就可能发生疲劳破坏，可是这是循环的静应力分量却没有变化。这样，在疲劳破坏的瞬时

                                                           （4-7）

式中 —交变应力的安全系数。

将这些数值代入公式（4-2）中去，我们得到按交变应力计算的安全系数为：

                                                           （4-8）

或者另外一种等同的形式：

                                                           （4-9）

可以利用类似的方法确定剪应力作用下的安全系数。例如，按交变剪应力确定的安全系数为：

 

应该将求出的安全系数的数值和它们的许用值进行比较，即：

                                                          （4-10）

                                                              （4-11）

[n]和 的数值可以有类似产品的计算确定或者从强度标准等选取。从（图4-1）和计算公式中可以知道，按交变应力确定的安全系数总是大于按相似循环特点的公式确定的安全系数，即 >n。

但是，不应形式地对这两个安全系数进行比较，因为它们反映具有不同分散特性的不同过程。通常， > 。

例如，对于工作良好的螺纹联接；来讲，取 = ， =1.5。因此，具有 =2.2和n=1.8的螺纹联接认为是不可靠的。

  4.2、复杂应力状态下的疲劳强度安全系数

我们先来确定对称循环交变应力作用下轴同时受弯曲和扭转时的安全系数。这种循环状态下的安全系数可由公式（3-15）确定，这时，将公式（4-3）代入（3-15）中去，得到：

                                                         （4-12）

上面的公式可以改成下面的形式：

                                                         （4-13）

式中 ， —分别为正应力和剪应力单独作用是的部分安全系数。

经常把公式（4-13）写成下面形式：

                                                         （4-14）

在具有应力集中的情况下

                                                         （4-15）

我们来研究当交变应力与静应力共同作用情况下确定其疲劳强度安全系数的方法。

当存在应力集中时，利用公式（3-26），我们得到疲劳强度条件：

                                                         （4-16）

式中 ， ， ， —零件上危险点的名义应力值。

在相类似循环特性条件系的安全系数n将为：

                                                         （4-17）

如果取单项的部分安全系数为：

                                                         （4-18）

则可以把公式（4-18）写成公式（4-14）的形式。

交变应力的安全系下面的条件确定，这些条件为：

                                                         （4-19）

将上面的数值代入公式（4-16）中去，可以得到：

                                                         （4-20）

由上面式子得到 的二次方程式。采用类似的方法可以确定只有交变正应力或则只有交变剪应力增大时的安全系数。所研究的每一种安全系数都反映出结构受载的特性。例如，比较两根轴的扭转振动或则弯曲振动的危险时，考虑“危险”应力增大可能性的交变应力安全系数就能较好地反映出轴的实际可靠性。利用同样的方法可以确定同时存在几种应力状态时的安全系数。

  4.3、不稳定载荷作用时疲劳强度安全系数的确定

在实际运行中，机器零件经常受到幅值变化的交变应力的作用，这种不稳定载荷通常有以下几种形式：1、阶梯型载荷（图4-2，a），在这种载荷作用下，零件在几种载荷水平状态下工作。2、连续变载荷（图4-2，b），其特征是实际应力的幅值连续的变化。3、间断载荷（图4-2，c），且在每一阶段里还存在不同的加载状态。周期性地作用的机器上具有典型的间断载荷。

根据损伤线性积累学说来计算不稳定载荷作用下的安全系数。我们假设以正量 表示破坏量度。在机器刚开始投入运行瞬时， ；而在达到破坏的瞬时， 。在加载过程中，随着循环次数的增加， 值单调地增大，即

                                                        （4-21）

认为破坏速度取决于真实应力和温度：

                                                        （4-22）

式中 ， 和 —分别是载荷加到N次时的交变应力，静应力与温度。

对应于载荷循环次数N的时间t和加载的频率f有关，即

          

假定在稳定载荷下，即 、 和T为常数时，破坏前的循环次数等于 。这时，有公式（4-22）可得到：

                                                         （4-23）

由上式求出

       

量 也取决于 ， 和T。将F值带进公式（4-23），我们可以求出不稳定载荷下破坏瞬时的 值：

式中 —破坏前的载荷总循环次数。

等式

                                                         （4-24）

表明损伤线性积累学说，将理式（4-24）同试验结果进行比较可以知道，引进材料参数a可以得到很相近的关系式：

                                                             （4-25）

在近似计算中a=1.

在静应力和常温下，破坏前的循环次数 很离散。这种离散是和疲劳强度的统计性质有关。对于公式（4-25）中的 ，应该理解为破坏前的平均循环次数。

阶梯型载荷与当量安全系数 假定零件在k个不同的工况下工作，并且第i个工况下的循环次数等于 ,则循环次数之和为：

                                                         （4-26）

由公式（4-24）可以得到损伤线性积累学说的破坏条件为：

                                                         （4-27）

i载荷工况下的疲劳曲线示于（图4-3，a）之上。对于i载荷工况，单项安全系数为：

                                                         （4-28）

式中 和 —i载荷工况下的交变破坏应力和交变真实应力。

假定载荷循环式对称的。

我们先来研究对于任何应力水平都相同的疲劳曲线方程：

                                                          （4-29）

现在，可以将破坏条件改写成下面的形式：

                                                          （4-30)

我们使阶梯载荷与稳定的等效载荷状态相对应。对于等效状态，破坏条件（4-30）为：

                                                          （4-31）

令公式（4-30）和（4-31）相等，我们就得到阶梯载荷时的疲劳强度安全系数：

                                                        （4-32）

因为m的数值较大，因此，确定当量安全系数时主要的是最小安全系数状况。

确定当量安全系数的其它方法基于下面的假设：在破坏的瞬时所有的交变应力幅都增大到 倍。

这时，由破坏条件（4-30）我们得到：

                                                         （4-33）

在某些情况下，要求确定寿命的当量安全系数。对于i工况，寿命的安全系数为：

                                                         （4-34）

由条件（4-28）推出：

                                                          （4-35）

按寿命确定的安全系数远远大于按应力确定的安全系数，这时因为m 。

把公式（4-34）变成下面的形式：

                                                         （4-36）

在一个等效工况下工作时:

                                                          (4-37)

从上面的式子推出：

                                                          （4-38）

可以把按寿命确定的当量安全系数看做是下面的比值：

                                                          (4-39)

式中 ， —分别是阶梯载荷作用下的总循环次数和直到破坏前的循环次数。

上面各式还可以推广只用于不同工况下疲劳曲线的情况。

当量应力 当量应力的概念可以将不稳定的载荷转化成稳定的当量载荷。

如果不稳定工况转化成具有基本循环次数为 的稳定工况，则：

                                                          （4-40）

考虑等式（4-32），可得到：

                                                          （4-41)

因为

         

所以，得到当量应力公式：

                                                          （4-42）

阶梯载荷，但疲劳曲线包括两个区段的情况 前面所研究的公式属于单一疲劳曲线。这些曲线是在高温和腐蚀性介质中发生疲劳的某些材料所特有的。

在大多数的情况下，借助于双折线可以对疲劳曲线进行更为精确的描绘。损伤线性街垒学说对这里所研究的情况仍然适用，即

                                                          （4-43）

但是，寿命与应力之间将取决于i循环时的应力水平。

5、疲劳强度的统计模型

试验研究表明，机器零件的疲劳强度具有统计性质，也就是说，疲劳强度取决于实际上不可能预先考虑其他数值的一些因素。因此，试验结果，尤其是疲劳寿命的试验结果呈现出非常强的离散性。按照同一种循环次数差别可达到好几倍。

为了描绘交变载荷作用下零件的寿命，常用的是对数正太规律。在交变应力水平 为常量下工作时，疲劳破坏前循环次数的对数分布密度为：

式中 ， —分别是破坏前循环次数的平均值与标准偏差。

当实际的应力水平很低时，在低寿命区，实际应力偏离了对数正太分布。

在循环次数一定的情况下，疲劳极限的离散情况远小于寿命的离散情况。

对疲劳统计模型比较完整的叙述可参考文献[参2]

6、总结

    对于疲劳强度的计算分析，在这里仅做了很浅显的研究与探讨，这时一门很高深的学问，在这次学习探索过程中，我学到很多知识，特别是关于零件疲劳强度方面的计算方法与原理。希望在今后的学习工作过程中，能在这门课程上有深入的研究，取得进一步的结果。