2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课标)全解全析版

数学（文史类）

第I卷

一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。

1、已知集合，，则∩（ ）

A．（0，2）          B．[0，2]              C．{0，2}           D．{0，1，2}

【解析】选择D。

因为，，所以∩{0，1，2}。

2、、为平面向量，已知=（4，3），2+=（3，18），则、夹角的余弦值等于（ ）

A．              B．             C．                D． 

【解析】选择C。

因为，所以。

3、已知复数，则（ ）

A．                  B．                 C．1                D．2

【解析】选择B。

解法1：因为

，

所以。

解法2：。

4、曲线在点（1，0）处的切线方程为（ ）

A．           B．           C．       D．

【解析】选择A。因为，所以，因此切线方程为。

5、中心在远点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，－2），则它的离心率为（ ）

   A．            B．             C．            D．

【解析】选择D。

双曲线的一条渐近线为，由已知过点（4，－2），代入得，

因此它的离心率。

6、如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，

角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为（ ）

【解析】选择C。

解法1：显然，当t=0时，d=，排除（A）、（D）；当t=时，d=0，排除（B），因此选择（C）。

解法2：显然，当时，由已知得，故排除A、D，又因为质点是按逆时针方向转动，

随时间的变化质点P到轴的距离先减小，再排除B，即得C。

解法3：根据已知条件得，再结合已知得质点P到轴的距离关于时间的函数为，画图得C。

7、设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A．3a2                 B．6a2              C．12a2              D．24a2

【解析】选择B。

依题意，，因此该球的表面积。

8、如果执行右面的框图，输入N =5，则输出的数等于（ ）

A．   B．   C．    D． 

【解析】选择（D）。

（1），；（2），；

（3），；

（4），；

（5），。结束。

9、设偶函数满足（），

则=（ ）

A．或     B．或

C．或      D．或

【解析】选择B。

解法1：数形结合法。画出的图象，向右平移两个单位，得到的图象，观察图象，

可得（B）为正确答案。

解法2：，，

令，得或，解得或。

解法3：因为为偶函数，所以，

从而等价于，也等价于，

又函数在[0，+∞）上是增函数，所以，解得或。

解法4：验证法

10、若，是第三象限的角，则（ ）

A．   B．   C．    D． 

【解析】选择A。

因为，是第三象限的角，所以。

所以=。

11、已知平行四边形ABCD的三个顶点为A（－1，2），B（3，4），C（4，－2），点（x，y）在平行四边形ABCD的内部，则的取值范围是（ ）

A．（－14，16）      B．（－14，20）        C．（－12，18）        D．（－12，20）

【解析】选择B。

先画出可行域，将化为。

如图所示，当直线过点D（0，－4）时，；

当直线过点B（3，4）时，。

因此，的取值范围是（－14，20）

12、已知函数，若，，互不相等，且，

则的取值范围是（ ）

  A．（1，10）  B．（5，6）   C．（10，12）  D．（20，24）

【解析】选择C。

不妨设，由，结合图象得，，，

因为，所以，，，因此=。

第II卷

本试卷包括必考题和选考题两部分。第（13题）～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22题）～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。          

13、圆心在原点与直线相切的圆的方程为                

【答案】。

【解析】圆的半径，所求圆的方程为。

14、设函数在区间[0，1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线及直线，，所围成部分的面积。先产生两组

（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数，，…，和，，…，，由此得到N个点

（，）（i=1，2，…，N）。再数出其中满足（i=1，2，…，N）的点数，那么由随机模拟方法可得的近似值为                

【答案】。

【解析】根据几何概型易知=。

15、一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的              （填入所有可能的几何体前的编号）

①三棱锥    ②四棱锥    ③三棱柱    ④四棱柱    ⑤圆锥    ⑥圆柱

【答案】①②③⑤。

【解析】①②③⑤。

16、在△ABC中，D为BC边上一点，，，。若，

则BD=        

【答案】。

【解析】由已知AD=，∠ADB=135°，∠ADC=45°，设BD=x，

DC=2x，因为，所以，

即。

化简整理得，解得。

三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）          

设等差数列满足，。

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和及使得最大的序号的值。

【解析】（1）由及，，得

，可解得。

因此数列的通项公式。

（2）由（1）知，

因为，所以当=5时，取得最大值。

18、（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，

AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高。

（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；

（2）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，

求四棱锥P-ABCD的体积。

【解析】（1）因为PH是四棱锥的高，所以AC⊥PH。

 又AC⊥BD，PH、BD都在平面PBD内，且PH∩BD=H，所以AC⊥平面PBD。

而AC在平面PAC内，故平面PAC⊥平面PBD。

（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=，所以HA=HB=。

因为∠APB=∠ADB=60°，所以PA=PB=，HD=HC=1。

可得PH=，等腰梯形ABCD的面积为。

所以四棱锥P-ABCD的体积为。

19、（本小题满分12分）

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别

是否需要志愿者

（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。

附：

【解析】

（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为。

（2）。

由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关。

（3）由（2）的结论知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好。

20、(本小题满分12分)

设,分别是椭圆E：+=1（）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。

（Ⅰ）求；（Ⅱ）若直线的斜率为1，求的值。

【解析】（1）由椭圆定义知，

又，得。

（2）直线的方程为，其中。

设A（，），B（，），则A、B两点坐标满足方程组。

化简得，

则，。

因为直线AB斜率为1，所以，

得，

则，解得。

21、（本小题满分12分）

设函数。

（Ⅰ)若，求的单调区间；

（Ⅱ）若当时，求的取值范围。

【解析】（1）当时，，

。

当时，；

当时，；

当时，。

故在，单调递增，在上单调递减。

（2），令，。

若，则当时，，为增函数，

而，从而当，，即。

若，则当时，，为减函数，

而，从而当时，，即。

综合得的取值范围为。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。          

22、 (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲

如图，已知圆上的弧=，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

（Ⅰ)=；

（Ⅱ）。

【解析】

（1）因为=，

所以∠BCD=∠ABC。又因为EC与圆相切于点C，

故∠ACE=∠ABC，所以=。

（2）因为∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠CBA=，∠CDB=，

所以∠BCE=∠CDB，又∠CBE=∠DCB，

所以△BDC∽△ECB，故，即。

23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线: （t为参数），圆: (为参数)，

（Ⅰ)当=时，求与的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点O作的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

【解析】（1）当=时， 的普通方程为，的普通方程为。

联立方程组，解得与的交点坐标为（1，0），（，－）。

另解：的普通方程为，当=时，

直线的参数方程为（t为参数），代入，得，

解得或。

当时，代入直线的参数方程得；

当时，代入直线的参数方程得。

因此与的交点坐标为（1，0），（，－）。

（2）直线: （t为参数）化成普通方程得

的普通方程为，

直线OA的方程为，联立，

解得，所以A点坐标为（，－），

故当变化时，P点轨迹的参数方程为（为参数）。

由，消去参数，得

因此P点轨迹的普通方程为。

故P点轨迹是圆心为（，0），半径为的圆。

24、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数。

（Ⅰ)画出函数的图像；

（Ⅱ）若不等式的解集非空，求的取值范围。

【解析】

（1）由于，

则函数的图像如图所示。

（2）由函数与函数的图像可知，

当且仅当或时，

函数与函数的图像有交点。

故不等式的解集非空时，

的取值范围为∪。