2015年中考模拟卷

数    学     

（试卷满分：150分  考试时间：120分钟）

     准考证号                 姓名               座位号        

注意事项：

1．全卷三大题，26小题，试卷共4页，另有答题卡．

2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分．

3．可直接用2B铅笔画图． 

一、选择题（本大题有7小题，每小题3分，共21分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）

1. sin30°的值为

   A．              B．            C．           D．1

2. 4的算术平方根是

   A．16             B．2             C．－2           D．±2

3. 3x2 可以表示为

    A. 9x                    B. x2·x2·x2         C. 3x·3x         D. x2＋x2＋x2 

4. 已知直线AB，CB ，l 在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是

A.                B.                  C.                   D. 

5．已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍” .在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是

A．2k               B． 15               C．24                  D． 42

6. 如图1，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE

于点F，若AC＝BD， AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于 

   A. ∠EDB    B. ∠BED   C.∠AFB   D. 2∠ABF            

图1

7．已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中有一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁.经重新计算后，正确的平均数为a岁，中位数为b岁，则下列结论中正确的是

A．a＜13， b＝13   B．a＜13 ，b＜13   C．a＞13，b＜13   D．a＞13，b＝13

二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）

8. 一个圆形转盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，飞镖落在转盘上，则飞镖落在黄色区域的概率是       .

9．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是            ．

10．四边形的内角和是          ．

11．在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），将线段OA向右平移3个单位，得到线段O1 A1，则点O1的坐标是       ，A1的坐标是        ．

12．已知一组数据是：6，6，6，6，6，6，则这组数据的方差是           ．

【注：计算方差的公式是S2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] 】

13．方程x＋5＝( x＋3)的解是        ． 

14．如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD＝2，BC＝8，

梯形的高是3，则∠B的度数是       ．

15．设a＝192×918，b＝8882－302，c＝10532－7472，则数a，b，c           图2

按从小到大的顺序排列，结果是     ＜     ＜     ．

16．某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，

则这台机器每小时生产         个零件．

17．如图3，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．

    以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，

则直线DF与直线AE的交点坐标是（       ，      ）．

                                                                        图3

三、解答题（本大题有9小题，共分）

18．（本题满分21分）                                                     

（1）计算：(－1) ×(－3) ＋(－)0－(8－2) ；

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（－3,1），

B（－1,0），C（－2, －1）,请在图4中

画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴

对称的图形；                                           图4

   （3）甲口袋中装有3个小球，分别标有号码1，2，3；乙口袋中装有2个小球，分别标有

号码1，2；这些球除数字外完全相同．从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球，

求这两个小球的号码都是1的概率．

19．（本题满分18分）

   （1）如图5，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，

        若DE∥BC，DE＝2 ，BC＝3，求的值；

   （2）先化简下式，再求值：    

       (－x2＋3－7x)＋(5x－7＋2x2)，其中x＝＋1；                    图5

   （3）解方程组

20.（本题满分6分）如图6，在四边形ABCD中，AD∥BC，

    AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N．若∠BAD＝∠BCD，

    AM＝AN，求证四边形ABCD是菱形．

                                                                       图6 

21. （本题满分6分）已知A（x1，y1），B （x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，

     且x1－x2＝－2，x1·x2＝3，y1－y2＝－．当－3＜x＜－1时，求y的取值范围．

22．（本题满分6分）A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线．小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．

    【注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场】

23．（本题满分6分）已知锐角三角形ABC，点D在BC的延长线上，连接AD，若

∠DAB＝90°，∠ACB＝2∠D，AD＝2，AC＝，根据题意画出示意图，并求tanD的值．

24．（ 本题满分6分）当m，n是正实数，且满足m＋n＝mn时，就称点P（m，）为“完美点”．已知点A（0，5）与点M都在直线y＝－x＋b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上．若MC＝，AM＝4，求△MBC的面积．

25．（本题满分10分）已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．

   （1）如图7，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，

求证AC⊥BD；

   （2）如图8，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2 ，

        DC＝4，求⊙O的半径．                                      图7

                                                                    图8

26．（本题满分10分）如图9，已知c＜0，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A（x1，0），

B（x2，0）两点（x2＞x1），与y轴交于点C，

    （1）若x2＝1，BC＝，求函数y＝x2＋bx＋c的最小值；

    （2）过点A作AP⊥BC，垂足为P（点P在线段BC上），AP交y轴于点M．若＝2，求抛物线y＝x2＋bx＋c顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．

                                                                              图9

2014年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试

数学参及评分标准    

说明：

1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分.

2．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后续部分但未改变后继部分得测量目标，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后续部分应得分数的一半.

3．解答题评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．

一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

8.                     9. x≥1         10.    360°         

11.（3,0），（4,3）         12. 0           13. —7             14. 45°

15.a＜c＜b                16.  15            17.（2，4）

三、解答题（本大题共9小题，共分）

18．（本题满分21分）

（1）解：(－1) ×(－3) ＋(－)0－(8－2) 

          ＝3＋1－6                          ……………………………6分

          ＝－2.                             ……………………………7分

（2）解：

    正确画出△ABC ；               ……………………………11分

正确画出△ABC关于y轴对称的图形.      …………………14分

（3）

解： P（两个球的号码都是1）＝.     ……………………………21分

19．（本题满分18分）

（1）解：∵ DE∥BC，

  ∴ △ADE ∽△ABC.          …………………3分

         ∴＝.         ……………………………5分

         ∵DE＝2，BC＝3，

         ∴＝.                 ……………………………6分

（2）解1：(－x2＋3－7x)＋(5x－7＋2x2)

        ＝ －x2＋3－7x＋5x－7＋2x2

        ＝x2－2x－4                              ……………………………10分

当 x＝＋1时，

        原式＝(＋1)2－2(＋1) －4                ……………………………11分

＝ 2＋2＋1－2－2－4               

＝—3.                                 ……………………………12分

     解2：(－x2＋3－7x)＋(5x－7＋2x2)

         ＝ －x2＋3－7x＋5x－7＋2x2

         ＝x2－2x－4 .                          ……………………………10分

         ∵  x2－2x－4＝(x－1)2－5                   

 ∴当 x＝＋1时，

   原式＝(＋1－1)2－5                    ……………………………11分

＝—3.                             ……………………………12分

（3）解1：由①得y＝－2x＋4，                   ……………………………15分

           解得x＝1，                              ……………………………16分

y＝2.                              ……………………………17分

∴                              ……………………………18分

         解2：整理得         ……………………………15分

解得x＝1，                         ……………………………16分

y＝2.                           ……………………………17分

∴                            ……………………………18分

20．（本题满分6分）

     证明1：∵AD∥BC，

∴∠BAD＋∠B＝180°. …………1分

 ∵∠BAD＝∠BCD，

∴∠BCD＋∠B＝180°. …………2分

            ∴ AB∥DC.

             ∴四边形ABCD是平行四边形.        ……………………………3分

∴∠B＝∠D.                   

              ∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，

               ∴Rt△ABM≌Rt△ADN.            ……………………………4分

               ∴AB＝AD.                      ……………………………5分

           ∴平行四边形ABCD是菱形.       ……………………………6分

       证明2：连接BD，

∵AD∥BC， 

∴∠ADB＝∠DBC.                 ……………………………1分

∵∠BAD＝∠BCD， BD＝BD.

              ∴△ABD≌△CDB.                 ……………………………2分

               ∴ AD＝BC.                      

               ∴四边形ABCD是平行四边形.    ………………3分

               ∴∠ABC＝∠ADC.   

              ∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，

               ∴Rt△ABM≌Rt△ADN.      ………………4分

               ∴AB＝AD.                 ………………5分

           ∴  平行四边形ABCD是菱形   ……………………………6分

证明3：连接AC，∵AM＝AN，AC＝AC，AM⊥BC，AN⊥DC， 

           ∴Rt△ACM≌Rt△ACN.    ………………1分

           ∴∠ACB＝∠ACD.

∵AD∥BC，

           ∴∠ACB＝∠CAD，

           ∴∠ACD＝∠CAD.

           ∴DC＝AD.                     ……………………………2分

∵∠BAD＝∠BCD，

∴∠BAC＝∠ACD.               ……………………………3分

∴AB∥DC.                      ……………………………4分

∴四边形ABCD是平行四边形.     ……………………………5分

              ∴ 平行四边形ABCD是菱形.       ……………………………6分

21．（本题满分6分）

解1：y1－y2＝－                        ……………………………2分

＝＝.            ……………………………3分

        ∵  x1－x2＝－2，x1·x2＝3，y1－y2＝－

∴  －＝.

         解得      k＝－2.                       ……………………………4分

                ∴ y＝－.

           ∴当 －3＜x＜－1时，＜y＜2.        ……………………………6分

      解2：依题意得               ……………………………1分

            解得  或           ……………………………2分

            当时，y1－y2＝k－＝，      ……………………………3分

            ∵ y1－y2＝－，∴k＝－2.

            当时，y1－y2＝－＋k＝，

∵ y1－y2＝－，∴k＝－2.             

            ∴ k＝－2.                            ……………………………4分

∴ y＝－.

            ∴当 －3＜x＜－1时，＜y＜2.         ……………………………6分

22．（本题满分6分）

解1：至少要7分才能保证一定出线.               ……………………………2分

依题意得，每队赛3场，本组比赛的场数共6场.  

若A队两胜一平，积7分.                   ……………………………3分

因为输给A队的有2支球队，这2支球队的积分一定小于7分，

所以最多只有与A队打平的那支球队的积分等于7分，所以积7分保证一定出线.                                             ……………………4分 

若A队两胜一负，积6分.                       ……………………5分

若有一队三赛全负，另两队都是两胜一负，则小组中有三个队积6分，

根据规则，在这种情况下，A队不一定出线.    ………………………6分

同理当A队积5分、4分、3分、2分时不一定能出线.

即至少要7分才能保证一定出线.

解2：至少要7分才能保证一定出线.                  ………………………2分

依题意得，每队赛3场，本组比赛的场数共6场.  

若A队两胜一平，积7分.                     ………………………3分

因此其他的球队不可能积9分.依据规则，不可能有球队积8分. 

每场比赛，两队得分之和是2分或3分，        

6场比赛得分总和最少是12分，最多18分，所以最多只有两个队得7分，

所以积7分保证一定出线.                   …………………………4分

若A队两胜一负，积6分.                  …………………………5分

同理当A队积5分、4分、3分、2分时不一定能出线.

即至少要7分才能保证一定出线.

解3：至少要7分才能保证一定出线.                …………………………2分

     因为这时A队两胜一平，                     …………………………3分

由于每场比赛，两队得分之和是2分或3分， 

而至少有一场比赛出现平局，所以各队积分总和m≤3×5＋2＝17. 

     因此不会有3个队都积7分，A队在前2名之内.   ………………………4分

     A队积6分不一定出线.                           ……………………5分

     不妨设A胜B，B胜C，C胜D，A，B，C都胜D，此时A，B，C三支球队都积6分，由于只有2个队出线，故A队不一定出线. ……………………6分

同理当A队积5分、4分、3分、2分时不一定能出线.

即至少要7分才能保证一定出线.

23．（本题满分6分）

       解：正确画图               ……………………2分

∵∠ACB＝∠D＋∠CAD，∠ACB＝2∠D，

          ∴∠CAD＝∠D.  

∴ CA＝CD.         …………………………3分

∵∠BAD＝90°，

          ∴∠B＋∠D＝90°，

          ∵∠BAC＋∠CAD＝90°，

          ∴∠B＝∠BAC.                

          ∴CB＝CA.                              

          ∴ BD ＝2AC.                          ………………………4分

          ∵AC＝，

          ∴BD＝3.                          

          在Rt△BAD中，

∵AD＝2，

          ∴ AB＝.                             ………………………5分

          ∴ tanD＝＝.                      ………………………6分

24．（本题满分6分）

解1： ∵ m＋n＝mn且m，n是正实数，

     ∴＋1＝m.即＝m－1.

     ∴P（m，m－1）.          ……1分

     即“完美点”P在直线y＝x－1上.  

             ∵点A（0，5）在直线y＝－x＋b上，

∴ b＝5.                 …………2分

             ∴ 直线AM： y＝－x＋5.          

             ∵ “完美点”B在直线AM上，

            由  解得  B（3，2）. ………………………………3分

            ∵ 一、三象限的角平分线y＝x垂直于二、四象限的角平分线y＝－x，

而直线y＝x－1与直线y＝x平行，直线y＝－x＋5与直线y＝－x平行，

             ∴直线AM与直线y＝x－1垂直.

∵ 点B是y＝x－1与直线AM的交点，∴ 垂足是B.

  ∵点C是“完美点”，

∴点C在直线y＝x－1上.         

∴△MBC是直角三角形.           ………………………………5分

∵ B（3，2），A（0，5），

∴ AB＝3.                         

∵AM＝4，

∴ BM＝. 

又∵ CM＝

∴ BC＝1 .                      

∴S△MBC＝.                   ………………………………6分

解2： ∵ m＋n＝mn且m，n是正实数，

     ∴＋1＝m.即＝m－1.

   ∴P（m，m－1）.     ……1分

     即“完美点”P在直线y＝x－1上.  

             ∵点A（0，5）在直线y＝－x＋b上，

∴ b＝5.                 …………2分

             ∴ 直线AM： y＝－x＋5.          

     设“完美点”B（c，c－1），即有c－1＝－c＋5，

∴B（3，2）.                       ………………………………3分

∵ 直线AM与x轴所夹的锐角是45°，

直线y＝x－1与x轴所夹的锐角是45°，

             ∴直线AM与直线y＝x－1垂直，

∵ 点B是y＝x－1与直线AM的交点，∴ 垂足是B.

  ∵点C是“完美点”，

∴点C在直线y＝x－1上.          

∴△MBC是直角三角形.             ………………………………5分

∵ B（3，2），A（0，5），

∴ AB＝3.                         

∵AM＝4，

∴ BM＝. 

又∵ CM＝

∴ BC＝1.                          

    ∴S△MBC＝.                   ……………………………………6分        

25．（本题满分10分）

   （1）证明：∵∠ADC＝90°，∴∠CBA＝90°. ……………1分

∵∠BCD＝90°，∴∠DAB＝90°.             

             ∴四边形ABCD是矩形.       …………………2分

             ∵AD＝CD，

             ∴矩形ABCD是正方形.                  ………………………3分

             ∴AC⊥BD.                             ………………………4分

（2）解1：连接DO并延长交⊙O于点F，连接CF.     …………………2分

           ∵DF是直径，

∴∠FCD＝90°.                           ………………………3分

即∠ACD＋∠FCA＝90°.

∵＝.

∴∠ACD＝∠B.

∵AC⊥BD，

          ∴ ∠B＋∠A＝90°，

∴∠A＝∠FCA.                        ………………………4分

          ∴＝.                    

          ∴＝.                     

          ∴ AB＝FC.                            ………………………5分

          在Rt△DFC 中，

DF2＝DC2＋FC2

     ＝42＋22

    ＝20.

          ∴ DF＝2.   

          ∴⊙O的半径是.                         ………………………6分

解2：连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF.     …………………2分

          ∵  AF是直径，

∴∠ABF＝90°.      ………………………3分

即∠ABD＋∠DBF＝90°.

∵AC⊥BD，

∴ ∠ABD＋∠BAC＝90°.

∴∠BAC＝∠DBF.                       ………………………4分

          ∴  ＝.

          ∴＝.

          ∴ DC＝BF.                             ………………………5分

在Rt△ABF 中，

∵AF2＝AB2＋BF2

    ＝42＋22

＝20.

∴ DF＝2.

           ∴⊙O的半径是.                     ………………………6分    

    解3：连接BO并延长交⊙O于点F，连接AF.       ………………2分 

设⊙O的半径为r.

  ∵ BF是直径，

             ∴＋＝πr.   ………………………3分

∵AC⊥BD，

            ∴ ∠ABD＋∠BAC＝90°. 

            ∴＋＝πr.                        ………………………4分

            ∴＋＝πr.

            ∴＋＝＋

            ∴＝.

            ∴ AF＝DC.                           ………………………5分

            在Rt△ABF 中，

BF2＝AF2＋AB2

    ＝42＋22

    ＝20.

∴ BF＝2.

            ∴⊙O的半径是.                    ………………………6分

解4：在上找一点F，使得CF＝AB，连接CF，连接DF. ………………2分

     ∵ CF＝AB，

     ∴＝.            ………………3分

     ∴＝.

     ∴∠A＝∠FCA.           ………………4分

∵＝.

∴∠ACD＝∠ABD.             

∵AC⊥BD，

         ∴ ∠B＋∠A＝90°.

     ∴∠ACD＋∠FCA＝90°.

         ∴ DF是直径.                          ………………………5分

在Rt△DCF 中，

∵DF2＝DC2＋CF2

   ＝42＋22

   ＝20.

∴ DF＝2.

    ∴⊙O的半径是.                      ………………………6分

解5：设∠BAE＝α.

∵AC⊥BD，

   ∴在Rt△ABE中，sinα＝.

      ∵ BA＝2，

∴ BE＝2sinα. ………………………1分

      ∵＝，

      ∴∠BDC＝α.

      在Rt△DEC中，

      sinα＝.

      ∵ DC＝4，

      ∴  CE＝4sinα.                        ………………………2分

      在Rt△BEC中，

     BC2＝CE2＋BE2

        ＝20 sin2α.

     ∴BC＝2sinα.                      ………………………3分

     连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF.  ………………………4分

    ∴∠BFC＝α.

∵BF是直径，

     在Rt△BCF中，

         sinα＝，                          ………………………5分

    ∴BF＝＝2.

        ∴⊙O的半径是.                      ………………………6分

26．（本题满分10分） 

    （1）解1：∵x2＝1，

∴OB＝1.           ……………1分

∵ BC＝，

             ∴ OC＝2.                         

             ∵ c＜0，

∴  c＝－2.         

∴ 1＋b－2＝0.

解得b＝1.        ……………2分    

             得二次函数y＝x2＋x－2              

         ＝(x＋)2－.             

∴二次函数y＝x2＋x－2的最小值是－.       ………………………4分

解2：∵x2＝1，

∴OB＝1.                              ………………………1分

∵ BC＝，

             ∴ OC＝2.                         

              ∵ c＜0，

∴  c＝－2                           

∴ 1＋b－2＝0.

解得b＝1.                          ………………………2分

             得二次函数y＝x2＋x－2.

此抛物线顶点的横坐标是－，纵坐标是－.

∴ 二次函数y＝x2＋x－2的最小值是－.   ………………………4分

（2）解1：∵ AP⊥BC，

∴∠PMC＋∠PCM＝90°，

∵∠OAM＋∠OMA＝90°，

          ∵∠OMA＝∠PMC，

         ∴∠OAM＝∠PCM. 

∴Rt△OAM∽Rt△OCB

∴＝＝2.      ………………1分

即OC＝2OB.

∵c＜0，x2＞0，

∴－c＝2x2.                        ………………………2分

由 x22＋bx2＋c＝0，得

c＝2b－4.                         ………………………3分

∴二次函数y＝x2＋b x＋c

           ＝x2＋b x＋2b－4.

它的顶点坐标是（－，）.

∵＝－(－)2－4·(－)－4，………………………4分

∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是

y＝－x2－4x－4（x＞－）.            ………………………6分

解2：∵ AP⊥BC，

∴∠PMC＋∠PCM＝90°，

∵∠OAM＋∠OMA＝90°，

          ∵∠OMA＝∠PMC，

         ∴∠OAM＝∠PCM. 

∴tan∠OAM ＝tan∠PCM.

∴＝＝.     …………1分

即OC＝2OB.

∵c＜0，x2＞0，

即－c＝2x2.                           ………………………2分

由 x22＋bx2＋c＝0，得

c＝2b－4.                             ………………………3分

∴二次函数y＝x2＋b x＋c

           ＝x2＋b x＋2b－4.

它的顶点坐标是（－，）.

设m＝－，n＝，          ………………………4分

则b＝－2m.

n＝

 ＝－m 2－4m－4（m＞－）.           ………………………6分

∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是

n＝－m 2－4m－4（m＞－）.