均值不等式求最值的常用技巧

一．基本不等式的常用变形

1.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当   

  _____________时取“=”）

 若，则  (当且仅当____________时取“=”）

2.若，则  (当且仅当____________时取“=”）

  若，则  (当且仅当_________时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

二、利用基本不等式求最值的技巧：

技巧一：直接求：

例1 已知，且满足，则xy的最大值为  ________。

解：因为x>0，y>0，所以(当且仅当，即x=6，y=8时取等号)，于是，，故xy的最大值3.

变式：若，求的最小值.并求x,y的值

解：∵               即xy=16

        当且仅当x=y时等号成立

技巧二：配凑项求

例2：已知，求函数的最大值。

解：，

当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

例3. 当时，求的最大值。

解：

  当，即x＝2时取等号  当x＝2时，的最大值为8。

变式：设，求函数的最大值。

解：∵∴∴

当且仅当即时等号成立。

例4. 求的值域。

解：

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

练习：1、已知，求函数的最大值.；

2、，求函数

技巧三：“1”的巧妙利用

错解：，且，  故  。

错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：，

当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。

变式： （1）若且，求的最小值

(2)已知且，求的最小值

2：已知，且，求的最小值。

(3) 设若的最小值为（　　）．

 ．8．4． ． 

解析：因为，所以。

又所以，当且仅当即时取“=”。故选（Ｂ）．

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。

解：令，则

因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。

因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。

所以，所求函数的值域为。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

   （1） （2）  (3) 

的最大值.

技巧六、已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。

同时还应化简中y2前面的系数为 ，  x＝x ＝x·

下面将x，分别看成两个因式：

x·≤＝＝  即x＝·x ≤ 

技巧七：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a＝，      ab＝·b＝ 

　　　由a＞0得，0＜b＜15

　　　令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8

　　　∴ ab≤18       ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2   　∴ 30－ab≥2

　　　令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3 

　　　∴≤3，ab≤18，∴y≥

点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧八、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单

　＋ ≤＝＝2 

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

　　∴ W≤＝2 

变式: 求函数的最大值。

解析：注意到与的和为定值。

又，所以

当且仅当=，即时取等号。   故。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。