(易错题)高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试(含...

1．“”是“”的（ ）．

A．充分不必要条件 ．必要不充分条件

C．充要条件 ．既不充分也不必要条件

2．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）

A． ． ． ．

3．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2+x﹣2≤0}，集合N＝{y|y＝}，则（CUM）∪N等于（　　）

A．{x|x＜﹣2或x≥0} ．{x|x＞1}

C．{x|x＜﹣1或1＜x≤3} ．R

4．设原命题：若，则中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（ ）

A．原命题与逆命题均为真命题 ．原命题真，逆命题假

C．原命题假，逆命题真 ．原命题与逆命题均为真命题

5．设集合，，，则

A． ．

C． ．

6．设集合，，，则的取值范围为（ ）

A．或 ． ． ．或

7．已知下列命题：

①“”的否定是“”；

②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；

③“”是“”的充分不必要条件；

④“若，则且”的逆否命题为真命题.

其中真命题的序号为（ ）

A．③④ ．①② ．①③ ．②④

8．已知命题；命题，且的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）

A． ． ． ．

9．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）

A． ． ． ．

10．已知在等比数列中，是与的等比中项，则“”是“数列唯一”的（ ）

A．充分不必要条件 ．必要不充分条件

C．充要条件 ．既不充分也不必要条件

11．若集合，，，则，，之间的关系是（ ）

A． ． ． ．

12．在下列三个结论中，正确的有（ ）

①x2>4是x3<－8的必要不充分条件；

②在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充要条件；

③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件.

A．①② ．②③

C．①③ ．①②③

二、填空题

13．给出下列三种说法：

①命题p：∃x0∈R，tan x0＝1，命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧()”是假命题．

②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3.

③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．

其中所有正确说法的序号为________________．

14．已知集合，，则__________．

15．已知，集合中有且仅有三个整数，则实数的取值范围为________.

16．已知集合若则实数的取值范围是______.

17．已知数集，且有下列说法：①；②；③，则满足的数值有________组.

18．若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a＝________.

19．已知集合，若,则实数________.

20．已知，．若是的充分不必要条件，则的取值范围是________．

三、解答题

21．已知集合，或.

（1）当时，求；

（2）当时，若“”是“”的充分条件，求的取值范围.

22．已知集合，集合.

（1）求集合；

（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.

23．知，.

（Ⅰ）若为真命题，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若为成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.

24．设集合，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）当时，求的非空真子集个数；

（3）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.

25．已知，设：实数满足，：实数满足．

（1）若，且为真，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

26．已知集合，.

（1）若，，求实数的取值范围；

（2）若，且，求实数的取值范围.

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一、选择题

1．B

解析：B

【分析】

设，，然后根据集合包含关系分析充分性和必要性.

【详解】

设或，设，可得 ，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：充分性和必要性的判断方法：1、定义法，2、命题法，3、传递法，4、集合法.

2．C

解析：C

【分析】

由题意可知，命题“，”是真命题，分和两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.

【详解】

由题意可知，命题“，”是真命题.

当时，则有，不合乎题意；

当时，由，可得，则有，

，当且仅当时，等号成立，

所以，.

综上所述，实数的取值范围是.

故选：C.

【点睛】

结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

3．A

解析：A

【分析】

解出不等式x2+x﹣2≤0的解集，求出补集，根据集合的运算法则求解.

【详解】

解不等式x2+x﹣2≤0得：-2≤x≤1，CUM=，

N＝{y|y＝}，

（CUM）∪N={x|x＜﹣2或x≥0}.

故选：A

【点睛】

此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解二次不等式，根据集合的运算法则求解.

4．B

解析：B

【分析】

写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真.

【详解】

原命题的逆否命题为：若中没有一个大于等于1，则，

等价于“若，则”，显然这个命题是对的，所以原命题正确；

原命题的逆命题为：“若中至少有一个不小于1，则”，取则中至少有一个不小于1，但，所以原命题的逆命题不正确.

【点睛】

至少有一个的否定为“0个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题.

5．C

解析：C

【解析】

分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.

详解：由并集的定义可得：，

结合交集的定义可知：.

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.

6．B

解析：B

【解析】

 ，所以 ，选A.

点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.

7．B

解析：B

【分析】

由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．

【详解】

“”的否定是“”，正确；

已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题，正确；

“”是“”的必要不充分条件,错误；

“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.

故选：B．

【点睛】

本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．

8．B

解析：B

【分析】

解一元二次不等式化简命题，再利用集合间的基本关系，求得参数的取值范围.

【详解】

由，知或，

则为，为，

是的充分不必要条件，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用命题的充分不必要条件求参数的取值范围，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将充分不必要条件转化为真子集的关系.

9．C

解析：C

【分析】

求出，的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论.

【详解】

由，即，解得，

由得，

若是的充分不必要条件，则，

解得，实数的取值范围为，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于中档题.

10．C

解析：C

【分析】

根据条件“在等比数列中，是与的等比中项”求解数列，然后由充分必要条件的定义判断．

【详解】

在等比数列中，是与的等比中项，则，，

设的公比为，则，

（*），，因为，所以此方程一定有两不等实解，

当等比数列只有一解时，方程（*）的两解中一解为需舍去，此时；

若，方程（*）有一个解是，另一解．数列只有一解，

由上分析知是数列唯一的充要条件．

故选：C．

【点睛】

本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．

11．B

解析：B

【分析】

分别将集合中的元素表示为，和即可得结果.

【详解】

∵，

，

显然，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查集合间的包含关系的判断，考查集合的包含关系等基础知识，属于基础题.

12．C

解析：C

【分析】

①，证明x2>4是x3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确；

②，在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误；

③,证明“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件，所以该命题正确.

【详解】

①，x2>4即或，x3<－8即，因为或成立时，不一定成立，所以x2>4是x3<－8的不充分条件；因为成立时，或一定成立，所以x2>4是x3<－8的必要条件.即x2>4是x3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确.

②， AB2＋BC2＝AC2成立时，ABC为直角三角形一定成立；当ABC为直角三角形成立时，AB2＋BC2＝AC2不一定成立，所以在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.

③,即判断“”是“a2＋b2=0”的什么条件，由于a2＋b2=0即，所以“”是“a2＋b2=0”的充要条件，所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件，所以该命题正确.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查充分必要条件的判定，考查逆否命题和原命题的等价性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、填空题

13．①③【解析】试题分析：①若命题p：存在x∈R使得tanx=1；命题q：对任意x∈Rx2-x+1＞0则命题p且¬q为假命题此结论正确对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题故可得p且¬q为假命题②已知

解析：①③

【解析】

试题分析：①若命题p：存在x∈R，使得tanx=1；命题q：对任意x∈R，x2-x+1＞0，则命题“p且¬q”为假命题，此结论正确，对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题，故可得“p且¬q”为假命题.

②已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0.则l1⊥l2的充要条件为＝−3，若两直线垂直时，两直线斜率存在时，斜率乘积为＝−3，当a=0，b=0时，此时两直线垂直，但不满足＝−3，故本命题不对.

③命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2-3x+2≠0”，由四种命题的书写规则知，此命题正确；

考点：复合命题的真假；四种命题

14．【分析】根据集合的交集补集运算即可求解【详解】因为所以因此故答案为【点睛】本题主要考查了集合的补集交集运算属于中档题

解析：

【分析】

根据集合的交集补集运算即可求解.

【详解】

因为，

所以

因此.

故答案为

【点睛】

本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.

15．【分析】首先分析出集合里面必有元素1再讨论集合为三种情况讨论求的取值范围【详解】所以集合里的元素一定有1集合有3个元素当集合是时有集合是空集；当集合是时有解得：；当集合是时有集合是空集；综上：的取值

解析：

【分析】

首先分析出集合里面必有元素1，再讨论集合为，， 

三种情况讨论，求的取值范围.

【详解】

 ， ，所以集合里的元素一定有1，

集合有3个元素，

当集合是时，有 ，集合是空集；

当集合是时，有 ，解得： ；

当集合是时，有 ，集合是空集；

综上：的取值范围是 

故答案为

【点睛】

本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，意在考查分类，转化，和计算求解能力，属于中档题型.

16．或或【解析】【分析】由指数不等式的解法得由集合的运算及集合元素的互异性可得实数的取值范围是或或【详解】解:解不等式可得即又且则或或故答案为:或或【点睛】本题考查了指数不等式的解法及集合的运算重点考查

解析：或 或

【解析】

【分析】

由指数不等式的解法得，由集合的运算及集合元素的互异性可得实数的取值范围是或或.

【详解】

解:解不等式可得,即,

又,且,则或或,

故答案为:或 或.

【点睛】

本题考查了指数不等式的解法及集合的运算，重点考查了集合元素的互异性，属基础题.

17．【分析】列举出符合条件的数组即可【详解】则的取值可以是或①时即数组为；②时则或即数组为和因此符合题中条件的数组有组故答案为：【点睛】本题主要考查集合相等的应用根据条件进行分类讨论是解本题的关键考查分

解析：

【分析】

列举出符合条件的数组即可.

【详解】

，，，则的取值可以是或.

①时，，，即数组为；

②时，则，或，，即数组为和.

因此，符合题中条件的数组有组，故答案为：.

【点睛】

本题主要考查集合相等的应用，根据条件进行分类讨论是解本题的关键，考查分类讨论数学思想，属于中等题.

18．0或1【分析】根据B⊆A讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅分别求出a的范围；【详解】∵B⊆A若B=∅则a=0；若B≠∅则因为若2∈B∴2a﹣2=0∴a=1若3∈B则3a﹣2=0∴a=∵a∈Z∴a≠∴a

解析：0或1

【分析】

根据B⊆A，讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅，分别求出a的范围；

【详解】

∵B⊆A，

若B=∅，则a=0；

若B≠∅，则因为若2∈B，∴2a﹣2=0，∴a=1，

若3∈B，则3a﹣2=0，∴a=，∵a∈Z，∴a≠，

∴a=0或1，

故答案为a=0或1．

【点睛】

此题主要考查集合关系中的参数的取值问题，此题是一道基础题，注意a是整数．

19．0【解析】分析：根据集合的并集的含义有集合A或B必然含有元素0又由集合AB可得从而求得结果详解：根据题意若则A或B必然含有元素0又由则有即故答案是0点睛：该题考查的是有关集合的运算问题利用两个集合的

解析：0. 

【解析】

分析：根据集合的并集的含义，有集合A或B必然含有元素0，又由集合A,B可得，从而求得结果.

详解：根据题意，若，则A或B必然含有元素0，

又由，则有，即，故答案是0.

点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的并集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.

20．【分析】解不等式和由题意可得是的必要不充分条件转化为两集合的包含关系由此可求得实数的取值范围【详解】因为是的充分不必要条件所以是的必要不充分条件解不等式得解不等式解得 所以即因此实数的取值范围是故答

解析：

【分析】

解不等式和，由题意可得是的必要不充分条件，转化为两集合的包含关系，由此可求得实数的取值范围.

【详解】

因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，

解不等式，得，解不等式，解得.

，， ，

所以，即．

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用充分不必要条件求参数，解答的关键就是转化为集合的包含关系来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

三、解答题

21．（1）或；（2）.

【分析】

（1）当时，解出集合A，计算；

（2）由集合法判断充要条件，转化为，进行计算.

【详解】

解：（1）当时，由不等式，

得，故，

又或，

所以或.

（2）若“”是“”的充分条件，等价于，

因为，由不等式，得，

又或，

要使，则或，

综合可得的取值范围为.

【点睛】

结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：

(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）解分式不等式可得集合；

（2）由已知条件可得出，对和的大小关系进行分类讨论，结合可得出实数所满足的不等式（组），综合可解得实数的取值范围.

【详解】

（1）因为，所以，

所以，所以，故；

（2）由得，

由是的必要条件，知.

①当，即时，，则，解得；

②当，即时，，则，解得；

③当，即时，，不满足.

综上可得，实数的取值范围为.

【点睛】

结论点睛：本题考查利用充分条件求参数，一般可根据如下规则求解：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含．

23．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）解不等式即得；

（Ⅱ）再求出不等式的解，由充分不必要条件与集合包含的关系得出不等关系，可求得结论．

【详解】

（Ⅰ）若为真命题，解不等式得，

实数的取值范围是.

（Ⅱ）解不等式得，

为成立的充分不必要条件，是的真子集.

且等号不同时取到，得.

实数的取值范围是.

【点睛】

结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

24．（1）（2）254 （3）

【分析】

（1）对集合B分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当时，，再求的非空真子集个数；（3）分和两种情况讨论得解.

【详解】

（1）当，即时，，满足.

当，即时，要使成立，

只需即.

综上，当时，的取值范围是.

（2）当时，，

∴集合的非空真子集个数为.

（3）∵，且，，

又不存在元素使与同时成立，

∴当，即，得时，符合题意；

当，即，得时，

或解得.

综上，所求的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

25．(1) ;(2) .

【解析】

试题分析：（1）为真时实数的取值范围是，为真时实数x的取值范围是，然后求交集即可；（2）是的充分不必要条件即即是的充分不必要条件，易得：且.

试题

（1）由得

当时，，即为真时实数的取值范围是

由，得，即为真时实数x的取值范围是 

因为为真，所以真且真，

所以实数的取值范围是

  （2）由得，

所以，为真时实数的取值范围是

因为 是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件

所以且

所以实数的取值范围为：

26．（1）；（2）

【分析】

结合指数函数和对数函数性质可分别求得集合和集合；

（1）由交集定义得到，分别在和两种情况下构造不等式求得结果；

（2）由并集定义得到，根据交集结果可构造不等式求得结果.

【详解】

（1）

当时，，解得：，满足

当时，，解得：

综上所述：实数的取值范围为

（2）

 ，解得：

实数的取值范围为

【点睛】

本题考查根据集合包含关系、交集结果求解参数范围的问题，涉及到指数函数和对数函数性质的应用；易错点是在根据包含关系求参数范围时，忽略子集可能为空集的情况，造成范围求解错误.