行列式的多种计算方法

摘要：行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种行列式的方法有：定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法、变换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方法，从而减轻计算量.

关键词：线性代数、行列式、方法

正文：

1定义法：n阶行列式等于所有取自不同列的n个元素的乘积的代数和．

例1：

解：在n！项中只有一项

2 三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值. 

2.1特殊行列式  2.2 箭形行列式

例2 

解：

2.3 可化为箭形的行列式

 3 降阶法 降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列       式转化为低阶行列式进行计算 

 4 升阶法 将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系，且便于后面的计算

 5 递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的n-1,n阶行列式之间的递推关系，再根据次递推关系式求出所给行列式的值

6数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值

于是又归纳假设得：

故对一切自然数n猜得正确，即

7 利用范德蒙行列式的结果计算：是将原行列式利用性质化成范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算出原行列式

例8

n阶范德蒙行列式为

解 构造n+1阶范德蒙行列式

  由f(x)的表达式知，的系数为

8 拆项法：当行列式中的元素有两数相加时将原行列式拆成n个简单的行列式加以计算

例9  设

解  

9 变换元素法：变换所给行列式中元素的形式，再利用已知行列式的结果，最终得到所求行列式的结果

例10

解令，由（拆项法例题结果）知

因为

10 分解乘积法：根据所给行列式的特点利用行列式的乘法公式，把所给行列式分解成两个易求解的行列式之积，通过对这两个行列式的计算，从而得到所给行列式之值

例11

解

总结：对于低阶行列式的计算常常采用定义法、三角化法和降阶法，但降阶法一般用于零元素较多的行列式，或可以化成零元素较多的行列式；而利用升阶法计算的行列式应满足各行（列）含有共同元素的特点，且升降阶的最终目的是为了降阶；而递推法则满足n-1,n-2……阶行列式之间存在一定的递推关系的特点；而归纳法计算行列式则满足当n=1时成立，假设n=k时成立时n=k+1时也成立的特点；而如果运用范氏行列式应满足范氏行列式的形式特点；对于拆项法则行列式中有和的形式。总之，行列式的计算并没有统一的方法，当然计算方法必须根据行列式的特点来选取，并且灵活运用。

 参考文献：

张友贵   《掌握线性代数》           大连理工大学出版社   

湛少锋   《线性代数习题与分析》     清华大学              

冯红     《线性代数大讲堂》         大连理工大学         

徐仲     《线性代数》               西北工业大学