重庆大学版电磁场教材习题答案习题(第2章)

2-2 真空中有一长度为l的细直线，均匀带电，电荷线密度为。试计算P点的电场强度：

（1）P点位于细直线的中垂线上，距离细直线中点l远处；

（2）P点位于细直线的延长线上，距离细直线中点l远处。

解：

（1）可以看出，线电荷的场以直线的几何轴线为对称轴，产生的场为轴对称场，因此采用圆柱坐标系，令z轴与线电荷重合，线电荷外一点的电场与方位角无关，这样处取的元电荷，它产生的电场与点电荷产生的场相同，为：

其两个分量：

 （1）

 （2）

又 

所以：  （3）

式（3）分别代入式（1）（2）得：

 ； 

 （4）

又  （5）

式（5）代入式（4）得：

由于对称性，在z方向  分量互相抵消，故有

（2）建立如图所示的坐标系

在x处取元电荷则它在P点产生的电场强度为

其在x方向的分量为：

又 

2-3 真空中有一密度为的无限长线电荷沿y轴放置，另有密度分别为和的无限大带电平面分别位于z=3m和z=-4m处。试求p点（1，-7，2）的电场强度E。

解：和的带电平面产生的电场为

沿y轴放置的线电荷产生的电场为

所以，p点（1，-7，2）的电场强度为

应用叠加原理计算电场强度时，要注意是矢量的叠加。

2-4 真空中的两电荷的量值以及它们的位置是已知的，如题图2-4所示，试写出电位和电场的表达式。

解：为子午面场，对称轴为极轴，因此选球坐标系，由点电荷产生的电位公式得：

又 ， 

2-5解， 

(1)  由静电感应的性质和电荷守恒原理，充电到U0后将电源拆去，各极板带电情况如图（1）所示

C、D板无电荷

(2) 若将C、D板用导线联接，C、D两板的电荷将在电场作用下进行中和，一直到UCD=0，内侧正负电荷全部中和掉，其它部分的电荷由于电场的作用以及电荷守恒（这时电源已拆去）而都不变化，再断开联接线时也不会变化。电荷分布情况如图（2）所示。

； 

；  

C、D板有电荷

（3）由于在联接C、D板时有电源，电源的作用将强迫A、B板间的电压UAB=U0；C、D板被短接强迫UCD=0，为满足UAB=U0的条件，显然必须使增大到，也即相应的电荷密度应增大，如图（3）所示。由于电场力的作用，依次拆去电源与C、D板间联线时，情况不再变化。 

； 

C、D板有电荷

（4）若在继（2）之后将A、B板短接，则A、B板成为一常电位系统，由于在（2）的情况下，，因此电荷将进行中和来达到的强制条件。而C、D板与外界没有导线联接，各自板上的总电荷保持不变，但会在内外两侧间发生电荷转移。达到后，一切电荷的转移都将停止，电荷分布如图（4）所示。

  ，  

解得

  ， 

2-6 半径为b的无限长圆柱中，有体密度为的电荷，与它偏轴地放有一半径为a的无限长圆柱空洞，两者轴线平行且距离为d，如图2-6所示，求空洞内的电场强度。

解：由于空洞存在，电荷分布不具有对称性，由此产生的场亦无对称性，因此不能用高斯定律求解。这是可把空洞看作也充满，使圆柱体内无空洞，然后再令空洞中充满-，并单独作用，分别求出两种场的分布后叠加即可。设空洞内的电场强度为。

第一步  单独作用，如图（b）所示， 由体密度为的电荷产生的电场强度为，由高斯定理

 所以： 

第二步单独作用产生的电场强度为，如图（c）所示。

第三步  将和在空洞中产生的场进行叠加，即

注： 

2-7半径为 a介电常数为ε的介质球内，已知极化强度（k为常数）。

试求：（1）极化电荷体密度和面密度；

 （2）自由电荷体密度；

 （3）介质球内、外的电场强度。

解：(1)  ，    

（2）因为是均匀介质，有

因此  

(3) 球内电场， 

 （ r < a ）

  球外电场，由高斯定理：

  ，    （ r > a ）

或 

2-8 具有两层同轴介质的圆柱形电容器，内导体的直径为2cm，内层介质的相对介电常数，外层的相对介电常数，要使两层介质中的最大场强相等，并且内层介质所承受的电压和外层介质相等，问两层介质的厚度各为多少？

解：以圆柱心为坐标原点，径向为轴，设单位长度上带电荷为，由高斯定理，。

，， 

将电位参考点设在外导体上，即则

，

，  

即，所以，内，外

2-9 用双层电介质制成的同轴电缆如题图2-9所示，介电常数  ,内、外导体单位长度上所带电荷分别为和  

（1）求两种电介质中以及和处的电场强度与电通密度；

（2）求两种电介质中的电极化强度；

（3）问何处有极化电荷，并求其密度。

解：

(1)由高斯定理可得：

图2-9

电场强度， 故 

(2) 由  ，得两种电介质中的电极化强度为

(3) 内、外导体圆柱表面上和两种电介质交界面上有极化电荷，它们分别是：

在处： 

在处：  

在处：: 

2-10 有三块相互平行、面积均为S的薄导体平板，A、B板间是厚度为d的空气层，B、C板间则是厚度为d的两层介质，它们的介电常数分别为和，如题2-10所示。设A、C两板接地，B板的电荷为Q，忽略边缘效应，试求：

（1）板间三区域内的电场强度；

（2）两介质交界面上的极化电荷面密度；

（3）A、C板各自的自由电荷面密度。

解 (1)  在A、C板间的三介质区域内，分别为均匀电场，在Q为正电荷时各电场方向如图所示，从而有

从而解得

（2）在两介质分界面上

（3）在A、C板上的电荷面密度分别为

2-12 如题图2-12所示球形电容器中，对半地填充有介电常数分别为和两种均匀介质，两介质交界面是以球心为中心的圆环面。在内、外导体间施加电压U时，试求：

（1）电容器中的电位函数和电场强度；

（2）内导体两部分表面上的自由电荷密度。

解：（1）

方法一：设内导体带电荷为，外导体带电荷，选球坐标，应用高斯定律

由媒质分界面条件可知，在两种介质中，所以

  （1）

令外导体为参考导体，则电位函数为

 （2）

将上式带入（1）（2）得

， 

方法二 ：用静电场的边值问题求解，在均匀介质1和介质2中，电位分别满足拉普拉斯方程，并且边界面条件相同，所以可判断两个区域的电位函数相同，有

取球坐标系有

在两种介质中，都与、无关，所以

上式的通解为         

有边界条件解得： ＝    ＝

所以      ， 

 (2) 两种介质中的电位移矢量分别为

  ， 

根据分界面条件   

对于本题，设媒质2为介质，媒质1为导体，因此有， 

则内导体两部分表面上的自由电荷密度为 

  ， 

2-15有三个同心导体球壳的半径分别是，导体球壳之间是真空。已知球壳2上的电量为q，内球壳1与外球壳3均接地。求：

（1）球壳2与内、外球壳之间的电场和电位分布

（2）内球壳1的外表面与外球壳3的内平面上的电荷面密度。

解：内球壳外表面电荷密度为，外球壳内表面电荷密度。由高斯定律得：

当时，  ，，又当时，，即   解得： 

在处，  

2-17 在半径分别为a和b（b>a）的同轴长圆柱形导体之间，充满密度为的空间电荷，且内、外筒形导体之间的电压为U，如题图2-16所示。试用边值问题的方法求电荷区内的电位函数。

解：圆柱形导体之间的电位满足泊松方程，对应的边值问题为

在圆柱形坐标中电位仅是的函数，因此泊松方程有如下形式：

上式的通解为

由给定的边界条件确定积分常数：

  ， 

所以： 

2-19 两平行导体平板，相距为d，板的尺寸远大于d，一板的电位为零，另一板电位为，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即。试求两板间的电位分布（注：x ＝0处板的电位为零）。

解：两平行导体平板间的电位满足泊松方程，忽略边缘效应，在直角坐标系对应的边值问题为

 上式泊松方程转化为：

其通解  

由给定的边界条件确定积分常数：

 ， 

所以： 

上式第一项为电源对电位函数的贡献，第二项为电荷的贡献。

2-20 在无限大接地导体平面两侧各有一点电荷和，与导体平面的距离为d，求空间电位的分布。

解：因为是无限大接地导体，所以，当单独作用时，接地导体对相当于屏蔽作用，当单独作用时，接地导体对相当于屏蔽作用，所以：

单独作用时产生的电位在所在侧，设和分别为和的镜像到p的距离，由镜像法得： 

单独作用时产生的电位在所在侧，设和分别为和的镜像到p的距离，由镜像法得： 

2-28 若将某对称的三芯电缆中三个导体相连，测得导体与铅皮间的电容为0.051，若将电缆中的两导体与铅皮相连，它们与另一导体间的电容为0.037，求：

（1）电缆的各部分电容；

（2）每一相的工作电容；

（3）若在导体1、2之间加直流电压100V，求导体每单位长度的电荷量。

解：三芯电缆的结构及各部分电容如图（a）所示

（1）对应于两次测量的等值电容电路分别如图（b）和图（c）所示：

由图（b）得：

， 

由图（c）得：

   图（a）         图（b）

                图（c）                                                       图（d）

图（e）

（2）工作电容是指在一定的工作状态下的等值电容，在这里是指三相工作时一相的电容，等值电容如图（d）和（e）所示：

  所以，一相的工作电容为

（3）若在导体1,2之间接一直流电压100V，则从A, B端看去的等效电容为：

所以

注：电缆是作为无限长来处理的，所以这里的电容均应理解为单位长度的电容。

2-31 一个由两只同心导电球壳构成的电容器，内球半径为a，外球壳半径为b，外球壳很薄，其厚度可略去不计，两球壳上所带电荷分别为+Q和-Q，均匀分布在球面上。求这个同心球型电容器的静电能量。

解：同心球形电容器的电容为：

所以，同心球形电容器中的静电能量为

2-32 空气中，相隔1cm的两块平行导电平板充电到100V后脱离电源，然后将一厚度为1mm的绝缘导电片插入两极间，问：

（1）忽略边缘效应，导电片吸收了多少能量？这部分能量起到了什么作用？两板间的电压和电荷的改变量各为多少？最后存储在其中的能量多大？

（2）如果电压源一直与两平导电行板相连，重答前题。

解：设导电平板的面积为S。两平行板间的间隔为d=1cm。显然，绝缘导电片的厚度。平板间的电压为。

     （1） 忽略边缘效应，未插入绝缘导电片时

 插入导电片后

所以，导电片中吸收的能量为

这部分能量使绝缘导电片中的正、负电荷分离，在导电片进入极板间时，做机械工。

     这是一常电荷系统，电荷守恒，各极板电荷量不变，。而插入绝缘导电片后的电压为

所以电压的改变量为

（2）如果电源一直连接着，则

所以，电荷的改变量为

而

因此，导电片吸收的能量为

其作用同（1）。

2-33 

解 选取坐标系如图中所示。设液体上升的高度为h，液面的面积为S（da），极板长度为l，电场强度为

则静电能量密度为

 ， 

静电能量为

将两极板看作电容器，则电容为

电容中储存的能量：

空气与液体分界面上的电场力为：

因为，所以静电力沿z负方向，有将液体吸向空气的趋势。升高液体的重力为

由