高考数学中平面向量与其它知识的交汇

　　                     山东省    尚林涛     

向量由于具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。向量与平面解析几何，特别是其中直线部分保持着天然的联系，同时平面向量是处理其它问题的重要方法，通过将元素间的关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，是一种重要的解决问题的手段和方法。平面向量的高考考查要求，其一是主要考查平面向量的性质和运算法则，向量的坐标表示及运算。其三是和其他数学内容结合在一起，如可以和曲线、数列等基础知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力。本文例析高考数学中平面向量与其它知识的交汇及解题策略.

一、平面向量与不等式的交汇

例1  设a、b为不相等的正数，求证： 

证明：   设m=(a,b),  n=(a2,b2), 利用向量的数量积不等式有|m| |n|≥|m·n| , 由于a≠b，故ab2-a2b≠0，也即向量m与n不是平行向量，故|m| |n||m·n|, |m|2  |n|2＞|m·n|2   即成立.

金点子：从整体结构上发现不等式与向量不等式有相似之处，避免了取差比较的繁琐。

二、平面向量与函数的交汇

例2 已知平面向量 若存在实数x和k,使  

(1)试求函数关系式k=f(x);

(2)讨论函数k=f(x)的单调性并求出极大值与极小值.

解：(1).         

(2)   当x变化时，, k 的变化情况如下表：

金点子：第（1）小题关键是发现，以简化计算，利用，建立函数表达式；第（2）小题利用导数不难解决.

三、平面向量和三角函数的交汇

例3 平面直角坐标系内有点P(1,cosx),Q(cosx,1), ,  (1)求向量的夹角θ的余弦用x表示的函数f(x);  (2)求θ的最值.

   解：（1）    

（2）                           

金点子：第（1）小题利用向量夹角公式问题便可解决；第（2）题注意到0≤θ≤π，要求出θ的最值，只需求出cosθ的最值.

四、平面向量与解析几何中的交汇

例4 已知椭圆直线P是上一点，射线OP交椭圆于R，又Q在OP上且满足当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

解：如下图不妨设  因为且所以  所以，有并将其代入直线方程，得…①  同理，  所以知有代入椭圆方程，得…② 由①、②得  所以点Q的轨迹方程为椭圆                                             

金点子：利用两个非零向量a与b共线的充要条件是有且只有一实数λ，使得b=λa.当a与b同方向时，有b=λa；当a与b反方向时，有b=-λa.

五、平面向量在物理中的应用

例5一重物m用绳悬起如下图，绳的另一端系在天花板上，绳长=0.5m，重物经推动后，在一水平面内作匀速圆周运动，转速n=1转/秒，求这时绳和竖直方向所成的角度（g取10米/秒2）.

解：重物作匀速圆周运动时，加速度是向心加速度，由牛顿第二定律知：在竖直方向上，|T|cosθ=|G|=mg(其中为绳与竖直方向所成的角)①，在水平面内，重力所受合力大小|f|=|T|sinθ,即|T|sinθ=|f|=m|a| (其中a为向心加速度)，…②  由①②得  …③  圆半径R=sinθ,圆周长为2πsinθ，故重物在圆周上的速度大小为|v|=|2πnsinθ|  而  …④  把④代入③   得  …⑤  代入已知数字得cos =0.5,故θ=60o 由⑤可知，物体转速n愈大，θ也愈大.

金点子：本题是利用向量求解物理问题，物理中力的合成，速度的合成等都与向量有关.

六、平面向量与其它知识的综合交汇

例6（2002年江西、山西、天津高考试题）已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使成公差小于零的等差数列。（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（x0,y0）,记为与的夹角，求tanθ

解(1)记P(x,y),由M(-1,0),N(1,0)得==（-1-x,-y）, ==(1-x,-y)∴., , ,是公差小于零的等差数列，等价于     ，   所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.

(2) 点P坐标为（x0,y0）, 

         ∴,,

金点子: 此小题以二次曲线为背景，以向量的数量积为工具，综合考察了等差数列、轨迹方程等基础知识，真正体现了高考在知识的交汇处出题的新动向。

综上所述，以平面向量为工具把其它问题化归为简单的向量计算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现了数与形的结合，所以平面向量为载体的数学试题与其它数学知识联系紧密，具有很强的时代气息，因此倍受命题老师的青睐.