人教中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合含详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .

（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；

（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.

【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）

(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】

分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；

（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；

（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．

详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩

，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，

∴抛物线的解析式为223y x x =--+.

∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，

∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，

得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩

， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.

（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，

∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.

（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，

∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，

②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，

③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭

. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．

2．如图，抛物线y ＝x 2﹣mx ﹣（m +1）与x 轴负半轴交于点A （x 1，0），与x 轴正半轴交于点B （x 2，0）（OA ＜OB ），与y 轴交于点C ，且满足x 12+x 22﹣x 1x 2＝13．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以点B 为直角顶点，BC 为直角边作Rt △BCD ，CD 交抛物线于第四象限的点E ，若EC ＝ED ，求点E 的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q ，使得S △ACQ ＝2S △AOC ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113

+113

+

3）点Q的坐

标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；

（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1

2

CD＝CE．利

用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；

（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛

物线的解析式联立，得出方程组

223

33

y x x

y x

⎧=--

⎨

=-+

⎩

，求解即可得出点Q的坐标．

【详解】

（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），

∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），

∵x12+x22﹣x1x2＝13，

∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，

∴m2+3（m+1）＝13，

即m2+3m﹣10＝0，

解得m1＝2，m2＝﹣5．

∵OA＜OB，

∴抛物线的对称轴在y轴右侧，

∴m＝2，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）连接BE 、OE ．

∵在Rt △BCD 中，∠CBD ＝90°，EC ＝ED ，

∴BE ＝12CD ＝CE ． 令y ＝x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，

∴A （﹣1，0），B （3，0），

∵C （0，﹣3），

∴OB ＝OC ，

又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ，

∴△OBE ≌△OCE （SSS ），

∴∠BOE ＝∠COE ，

∴点E 在第四象限的角平分线上，

设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，

得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝

113±， ∵点E 在第四象限，

∴E 点坐标为（113+，﹣113+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．

∵S △ACQ ＝2S △AOC ，

∴S △ACF ＝2S △AOC ，

∴AF ＝2OA ＝2，

∴F （1，0）．

∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），

∵AC∥FQ，

∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，

将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．

联立

223

33

y x x

y x

⎧=--

⎨

=-+

⎩

，

解得1

1

3 12

x y =-

⎧

⎨

=⎩，2

2

2

3

x

y

=

⎧

⎨

=-

⎩

，

∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．

【点睛】

本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．

3．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？

【答案】（1）y＝﹣20x+500，（x≥6）；（2）当x＝15.5时，w的最大值为1805元；（3）当x＝13时，w＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．

【解析】

【分析】

（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y＝kx+b即可求解；

（2）由题意得：w＝y（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），∵﹣20＜0，故w有最大值，即可求解；

（3）当x＝15.5时，y＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，当x＝13时，既能销售完又能获

得最大利润．

【详解】

解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k b k b =+⎧⎨=+⎩

， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩

， 即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；

（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，

则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），

∵﹣20＜0，故w 有最大值，

当x ＝﹣2b a ＝312

＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190，

50×190＜12000，

故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；

设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，

由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，

w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），

当x ＝13时，w ＝1680，

此时，既能销售完又能获得最大利润．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.

4．如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x ＝3．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；

（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．

【答案】（1）21342

y x x =

-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．

【解析】

【分析】

（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；

（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为12y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组1222y x y x t

⎧=⎪⎨⎪=-⎩得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112S 4t t t 223∆=

⋅⋅-⋅⋅然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）设Q 213m,m m 42⎛

⎫- ⎪⎝⎭，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC

=时，△PQO ∽△COA ，则213m m 2|m |42-=；当PQ PO AC OC

=时，△PQO ∽△CAO ，则2131m m m 422

-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标． 【详解】

解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3，

∴B 点坐标为（6，0），

设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6），

把A （8，4）代入得a•8•2＝4，解得a ＝

14， ∴抛物线解析式为y ＝

14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32

x ； （2）设M （t ，0），

易得直线OA 的解析式为y ＝

12

x ， 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ， 把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 2b 12=⎧⎨=-⎩

， ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12，

∵MN ∥AB ，

∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ，

把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ，

∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ， 解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得4323x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则42N t,t 33⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM

1124t t t 223

=⋅⋅-⋅⋅ 21t 2t 3

=-+ 21(t 3)33

=--+， 当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；

（3）设213m,m m 42⎛

⎫- ⎪⎝⎭

， ∵∠OPQ ＝∠ACO ，

∴当PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84

=， ∴PQ ＝2PO ，即

213m m 2|m |42-=， 解方程

213m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程

213m m 2m 42-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48

=， ∴PQ ＝

12PO ，即2131m m m 422-=， 解方程2131m m m 422

=-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）；

解方程2131m m m 422

=

-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．

【点睛】 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

5．如图1，二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点()0,3C -.

（1）求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;

（2）若点D 在二次函数图像上，且45

DBC ABC S S =△△，求点D 的横坐标; （3）将直线BC 向下平移，与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧)，如图2，过M 作ME y ∥轴，与直线BC 交于点E ，过N 作NF y ∥轴，与直线BC 交于点F ，当MN ME +的值最大时，求点M 的坐标.

【答案】（1）y ＝239344

x x --，A （﹣1，0），B （4，0）；（2）D 点的横坐标为22﹣2，2；（3）M （

13，﹣113） 【解析】

【分析】

（1）求出a ，即可求解；

（2）求出直线BC 的解析式，过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ，根据三角形面积的关系求解；

（3）过点M 作MG ∥x 轴，交FN 的延长线于点G ，设M （m ，

34m 2﹣94m ﹣3），N （n ，34

n 2﹣94n ﹣3），判断四边形MNFE 是平行四边形，根据ME ＝NF ，求出m +n ＝4，

4

m2+3m+5﹣

5

2

m＝﹣

3

4

（m﹣

1

3

）2+

61

12

，即可求M；【详解】

（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C（0，﹣3），

∴a＝

3

4

，

∴y＝

3

4

x2﹣

9

4

x﹣3，

与x轴交点A（﹣1，0），B（4，0）；

（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∴

40

3

k b

b

+=

⎧

⎨

=-

⎩

，

∴

3

4

3

k

b

⎧

=-

⎪

⎨

⎪=-

⎩

，

∴y＝

3

4

x﹣3；

过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，

设H（x，

3

4

x﹣3），D（x，

3

4

x2﹣

9

4

x﹣3），

∴DH＝|

3

4

x2﹣3x|，

∵S△ABC＝115

53

23

⨯⨯=，

∴S△DBC＝415

52

⨯＝6，

∴S△DBC＝2×|

3

4

x2﹣3x|＝6，

∴x＝2+22，x＝2﹣22，x＝2；

∴D点的横坐标为2+22，2﹣22，2；

（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，设M（m，3

4

m2﹣

9

4

m﹣3），N（n，

3

4

n2﹣

9

4

n﹣3），

则E（m，3

4

m﹣3），F（n，

3

4

n﹣3），

∴ME＝﹣3

4

m2+3m，NF＝﹣

3

4

n2+3n，

∵EF∥MN，ME∥NF，

∴四边形MNFE是平行四边形，∴ME＝NF，

∴﹣3

4

m2+3m＝﹣

3

4

n2+3n，

∴m+n＝4，

∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，

∴∠NMG＝∠OBC，

∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝MG OB

MN BC

,∵B（4，0），C（0，﹣3），

∴OB＝4，OC＝3，

在Rt△BOC中，BC＝5，

∴MN＝5

4（n﹣m）＝

5

4

（4﹣2m）＝5﹣

5

2

m，

∴ME+MN＝﹣3

4

m2+3m+5﹣

5

2

m＝﹣

3

4

（m﹣

1

3

）2+

61

12

，

∵﹣3

4

＜0，

∴当m＝1

3

时，ME+MN有最大值，

∴M（1

3，﹣

11

3

）

【点睛】

本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.

6．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（1

2

，

9

2

），对称轴交AB于点N．

①求抛物线的解析式；

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．

【解析】

【分析】

（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝

a

2

19

22

x

⎛⎫

-+

⎪

⎝⎭

，把点B的坐标代入求得a的值即可；

②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，

根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝3

2

，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐

标，然后推知PN＝MN是否成立即可；

（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD ＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数

S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．

【详解】

解：①如图1，

∵顶点M的坐标是

19

,

22

⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

∴设抛物线解析式为y＝

2

19

22

a x

⎛⎫

-+

⎪

⎝⎭

（a≠0）．

∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．

又∵点B在该抛物线上，

∴

2

19

22

a

⎛⎫

-+

⎪

⎝⎭

＝4，

解得a＝﹣2．

故该抛物线的解析式为：y＝

2

19

2

22

x

⎛⎫

--+

⎪

⎝⎭

＝﹣2x2+2x+4；

②不存在．理由如下：

∵抛物线y＝

2

19

2

22

x

⎛⎫

--+

⎪

⎝⎭

的对称轴是直线x＝

1

2

，且该直线与直线AB交于点N，

∴点N的坐标是

1

,3

2

⎛⎫ ⎪⎝⎭

．

∴93

3

22

MN=-=．

设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．

∵PD∥MN．

当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝3

2

．

解得 m1＝1

2

（舍去），m2＝

3

2

．

此时P（3

2

，1）．

∵PN

∴PN≠MN，

∴平行四边形MNPD不是菱形．

∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，理由如下：

设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．

由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝1

2

OB•OA＝

1

2

×4×2＝4．

则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．

S△ABD＝1

2

（y D﹣y P）（x A﹣x B）

＝y D﹣y P

＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）

＝﹣2n2+4n

＝﹣2（n﹣1）2+2．

当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．

【点睛】

主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

7．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

【答案】（1）；（2）E的坐标为（，）、（0，﹣4）、

（，）；（3），（，）．

【解析】

试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；

（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；

（3）利用△PBD的面积即可求得．

试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C （8，0）两点，

∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；

（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，

∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），

当DC=CE时，即，解得，（舍去），∴E（，）；

当DC=DE时，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；

当EC=DE时，解得=，∴E（，

）．

综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，

）、（0，﹣4）、（，

）；

（3）过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点F ，∵P 点的横坐标为m ，∴P 点的纵坐标为：

，

∵△PBD 的面积

==

=，

∴当m=

时，△PBD 的最大面积为

，∴点P 的坐标为（

，

）．

考点：二次函数综合题．

8．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线

y x m =+过顶点C 和点B ． （1）求m 的值；

（2）求函数2

(0)y ax b a =+≠的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）﹣3；（2）y 13

=x 2

﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】 【分析】

（1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；

（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可． 【详解】

（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：

m ＝﹣3；

（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得： x ＝3，

所以点B 的坐标为（3，0），

将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：

3

90b a b =-⎧⎨

+=⎩

， 解得：13

3

a b ⎧

=⎪⎨⎪=-⎩，

所以二次函数的解析式为：y 13

=

x 2

﹣3； （3）存在，分以下两种情况：

①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ， 则∠ODC ＝45°+15°＝60°， ∴OD ＝OC •tan30°3=

设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3=

联立两个方程可得：2

3313

3y x y x ⎧=-⎪

⎨=-⎪⎩

， 解得：1212033

36

x x y y ⎧=⎧=⎪⎨

⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；

②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ， 则∠OEC ＝45°-15°＝30°， ∴OE ＝OC •tan60°＝3

设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3

=

联立两个方程可得：233133

y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

，

解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩

， 所以M 2（3，﹣2）．

综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，﹣2）． 【点睛】

此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．

9．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）三点． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC 面积为3，求点P 的坐标； （3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存

在，（32-

，32）或（34-，9

4

），见解析. 【解析】 【分析】

（1）利用待定系数法，然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2））过P 点作PQ 垂直x 轴，交AC 于Q ，把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ，把PQ 作为两个三角形的底，通过点A ，C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．

（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM 为y=-x ，若∠AOM=∠CBA ，则OM 为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M ． 【详解】

（1）把A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）代入抛物线解析式y ＝ax 2+bx+c 得

93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩

，

解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩

，

所以抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．

（2）如解（2）图1，过P 点作PQ 平行y 轴，交AC 于Q 点，

∵A （﹣3，0），C （0，3），

∴直线AC 解析式为y ＝x+3，

设P 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3．），则Q 点坐标为（x ，x+3），

∴PQ ＝﹣x 2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x 2﹣3x ．

∴S △PAC ＝

1PQ A 2O ⋅， ∴()

213332x x --⋅=， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2．

当x ＝﹣1时，P 点坐标为（﹣1，4），

当x ＝﹣2时，P 点坐标为（﹣2，3），

综上所述：若△PAC 面积为3，点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），

（3）如解（3）图1，过D 点作DF 垂直x 轴于F 点，过A 点作AE 垂直BC 于E 点，

∵D 为抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的顶点，

∴D 点坐标为（﹣1，4），

又∵A （﹣3，0），

∴直线AC 为y ＝2x+4，AF ＝2，DF ＝4，tan ∠PAB ＝2，

∵B （1，0），C （0，3）

∴tan ∠ABC ＝3，BC ＝10，sin ∠ABC ＝

310，直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3． ∵AC ＝4，

∴AE ＝AC•s in ∠ABC ＝310410⨯

＝6105，BE ＝2105， ∴CE ＝310， ∴tan ∠ACB ＝

2AE CE =， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠PAB ＝2，

∴∠ACB ＝∠PAB ，

∴使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如解（3）图2

Ⅰ．当∠AOM ＝∠CAB ＝45°时，△ABC ∽△OMA ，

即OM 为y ＝﹣x ，

设OM 与AD 的交点M （x ，y ）

依题意得：3y x y x =-⎧⎨=+⎩

， 解得3232x y ⎧=-⎪⎪

⎨⎪=⎪⎩

， 即M 点为（32-，32

）． Ⅱ．若∠AOM ＝∠CBA ，即OM ∥BC ，

∵直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3．

∴直线OM 为y ＝﹣3x ，设直线OM 与AD 的交点M （x ，y ）．则

依题意得：33y x y x =-⎧⎨=+⎩

， 解得3494x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

， 即M 点为（34-，94

）， 综上所述：存在使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似的点M ，其坐标为

（32-

，32）或（34-，94

）． 【点睛】 本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

10．如图1，抛物线C 1：y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点O 为坐标原点，OC=3OA ，抛物线C 1的顶点为G ．

（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：

（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；

（3）M1（113

+

，0）、N1（13，﹣1）；M2（

113

+

，0）、N2（1，﹣1）；M3

（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【解析】

【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，

3m），代入所设解析式求解可得；

（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且

∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证

△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．

【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA=1，

∴OC=3OA，

∴点C的坐标为（0，3），

将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：

20

3

a a c

c

++=

⎧

⎨

=

⎩

，

解得：

1

3

a

c

=-

⎧

⎨

=

⎩

，

∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

所以点G的坐标为（1，4）；

（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，

∵△A′B′G′为等边三角形，

∴G′D=3

B′D=3m ，

则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m ），

将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：

24043m k k m

⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1104m k =⎧⎨=⎩（舍），2231m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴k=1；

（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2），

∴PQ=OA=1，

∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角，

∴△AOQ ≌△PQN ，

如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，

则∠QHN=∠OMQ=90°，

又∵△AOQ ≌△PQN ，

∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，

∴∠MOQ=∠HQN ，

∴△OQM ≌△QNH （AAS ），

∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1，

解得：113± 当x=1132+HN=QM=﹣x 2+2x+2=1312，点M （1132

+，0）， ∴点N 113+131-1131）； 113+131-1），即（1，﹣1）； 如图3，

同理可得△OQM≌△PNH，

∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，

解得：x=﹣1（舍）或x=4，

当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，

∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；

综上点M1113

+

0）、N1131）；M2

113

+

0）、N2（1，﹣1）；M3

（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.