用均值不等式求最值的方法和技巧 完美

一、几个重要的均值不等式

①当且仅当a = b时，“=”号成立；

②当且仅当a = b时，“=”号成立；

③当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

④,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

② 熟悉一个重要的不等式链： 。

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧

1、求几个正数和的最小值。

3、用均值不等式求最值等号不成立。

例3、若x、y，求的最小值。

(故当时，在上有最小值5)

4、条件最值问题。

例4、已知正数x、y满足，求的最小值。

解法一：（利用均值不等式）

,当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法二：（消元法）

由得，由则。当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。

评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：。原因就是等号成立的条件不一致。

5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数满足，试求、的范围。

解法一：

由，则，即解得，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。

又，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是

解法二：

由，知，

则，由，则：

，当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。

，当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。

三、用均值不等式求最值的常见的技巧

1、 添、减项（配常数项） 

　　例1 求函数的最小值. 

　　分析：是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而可与相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即，再用均值不等式. 

　当且仅当，即时,等号成立. 所以的最小值是. 

评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项. 

2、 配系数（乘、除项） 

　　例2 已知，且满足，求的最大值. 

　　分析 , 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否定值，而已知是与的和为定值，故应先配系数，即将变形为，再用均值不等式. 

当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是. 

评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用来解决. 

　　3、 裂项 

　　例3 已知，求函数的最小值. 

　　分析 在分子的各因式中分别凑出，借助于裂项解决问题. 

　　　当且仅当，即时，取等号. 　　所以. 

　　4、 取倒数 

　　例4 已知，求函数的最小值. 

　　分析 分母是与的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为 (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题. 

　　解 由，得，. 

　　取倒数，得 

　　　当且仅当，即时，取等号. 

　　故的最小值是. 

　　5、 平方 

　　例5 已知且求的最大值. 

　　分析 条件式中的与都是平方式，而所求式中的是一次式，是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决. 

当且仅当，即，时，等号成立. 

故的最大值是. 

　　评注 本题也可将纳入根号内，即将所求式化为，先配系数，再运用均值不等式的变式. 

　　6、 换元（整体思想） 

　　例6 求函数的最大值. 

　　7、 逆用条件 

　　例7 已知,则的最小值是  （16） .　 

8、 巧组合 

　　例8 若且,求的最小值 . 

　　分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用+b来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了. 

9、 消元

例9、设为正实数，，则的最小值是. 

　　分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得，则可对进行消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.