变 力 做 功 的 计 算

【学习目标】

掌握变力做功的几种常用方法

进行新课

什么是功？

1.定义：作用在物体上的力并在力的方向上通过一段位移，就说这个力对这个物体做了功。

2.公式：W=FScosθ

适用条件：F必须为恒力，物体做直线运动。

如何计算变力做功的问题？

怎样的力称为变力？1、力的大小不变，方向变

2、力的方向不变，大小变

3、力的方向和大小都在变

下面分三种情况来讨论变力做功的问题

一、力的大小不变，方向变 （转变研究对象法）

例1 如图，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。已知图中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT对物体所做的功？ 

【分析与解】：拉力FT在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。

由题意可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，将问题转化为求恒力做功

由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移为：

所以绳对物体做功：

方法一：化变力做功为恒力做功（微元法）

【例2】如图所示,水平拉力F=10N作用于物体上，在水平面上拉着物体绕半径R=1m的转盘的边缘上转一圈,力F的大小保持不变,但方向始终保持与作用点的切线方向一致,则转动一周这个力F做的总功应为：

　     A、 0   　   B、20πJ　 

　     C、 10J　    D、20J.

方法一：化变力做功为恒力做功

（微元法）

每小段都足够小

（微积分初步思想）

分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故B正确。 

二、力的方向不变，大小变化

方法一：化变力做功为恒力做功（平均力法）

【例3】一辆汽车质量为105kg，从静止开始行驶，行驶过程中所受阻力f为车重的0.05倍，发动机产生的牵引力F的大小与前进的距离x之间有如下关系F=103x+f。求当该车前进100m时，牵引力所做的功是多少？（g取10m/s2） 

方法二：图像法        

应用此法,关键是正确画出力随位移变化的图象,再是正确理解图象“面积”的物理意义.

【分析与解】先写出F-x函数，再作F-x图。

     汽车所受阻力为：f=0.05mg=0.5×105N

     牵引力F的表达式为：

     F＝103x＋0.5×105

      由此函数作出F-x图如右

当x1＝0m时，F1＝0.5×105 N

当x1＝100m时，F2＝1.5×105 N

方法三：利用动能定理

例4、一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂在 O点，小球在水平力F作用下，从P点缓慢移动到Q点，此时绳与竖直方向的偏角为θ，如图所示，则力F所做的功为（    ）

A．mgLcosθ         

B．mgL(1－cosθ)       

C．FLsinθ            

D．FLθ

【分析与解】因小球运动过程中处于动态平衡状态，故过程中F的方向不变，其值在增大，是变力, F对小球做的功不等于FLsinθ 。根据动能定理:

小球在这过程的初速度：v1＝v ≈ 0，末速度：v2＝v ≈ 0 

因为动能定理不涉及做功的过程的细节，只涉及过程的初速度、末速度，初位置、末位置，所以F对小球做的功可根据动能定理计算。

三、力的方向和大小都在变

方法三：利用动能定理

例5、如图所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长L=3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

【分析与解】由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知： 

mgR-μmgL-WAB=0  

即WAB=mgR-μmgL=6(J)

变力做功的求解方法

练习、质量为2千克的均匀链条长为2米，自然堆放在光滑的水平面上，用力F竖直向上匀速提起此链条的一端，已知提起链条的速度v=6米/秒，求该链条全部被提起时拉力F所做的功。

小结

   对于变力做功一般不能依定义式W=Fscosθ直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解.

方法一：将变力做功转化为恒力做功 

（如微元法、平均值法、转变研究对象法） 

方法二：动能定理和功能关系（主要方法）

方法三：图象法