2018年黑龙江省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅱ)含答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）i（2+3i）=（　　）

A．3﹣2i    B．3+2i    C．﹣3﹣2i    D．﹣3+2i

2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（　　）

A．{3}    B．{5}    C．{3，5}    D．{1，2，3，4，5，7}

3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（　　）

A．    B．    C．    D．

4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（　　）

A．4    B．3    C．2    D．0

5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（　　）

A．0.6    B．0.5    C．0.4    D．0.3

6．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（　　）

A．y=±x    B．y=±x    C．y=±x    D．y=±x

7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（　　）

A．4    B．    C．    D．2

8．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（　　）

A．i=i+1    B．i=i+2    C．i=i+3    D．i=i+4

9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（　　）

A．    B．    C．    D．

10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（　　）

A．    B．    C．    D．π

11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（　　）

A．1﹣    B．2﹣    C．    D．﹣1

12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（　　）

A．﹣50    B．0    C．2    D．50

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为　   　．

14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　   　．

15．（5分）已知tan（α﹣）=，则tanα=　   　．

16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为　   　．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值．

18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．

20．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣a（x2+x+1）．

（1）若a=3，求f（x）的单调区间；

（2）证明：f（x）只有一个零点．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．

2018年黑龙江省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ）

参与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）i（2+3i）=（　　）

A．3﹣2i    B．3+2i    C．﹣3﹣2i    D．﹣3+2i

【解答】解：i（2+3i）=2i+3i2=﹣3+2i．

故选：D．

2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（　　）

A．{3}    B．{5}    C．{3，5}    D．{1，2，3，4，5，7}

【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，

∴A∩B={3，5}．

故选：C．

3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），

则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，

当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．

当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，

故选：B．

4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（　　）

A．4    B．3    C．2    D．0

【解答】解：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，

故选：B．

5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（　　）

A．0.6    B．0.5    C．0.4    D．0.3

【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，

故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，

（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，

则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，

故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，

故选：D．

6．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（　　）

A．y=±x    B．y=±x    C．y=±x    D．y=±x

【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，

则=====，

即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，

故选：A．

7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（　　）

A．4    B．    C．    D．2

【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，

BC=1，AC=5，则AB====4．

故选：A．

8．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（　　）

A．i=i+1    B．i=i+2    C．i=i+3    D．i=i+4

【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，

该程序运行后输出的是

S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；

累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．

故选：B．

9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，

则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），

C（0，2，0），

=（﹣2，2，1），=（0，﹣2，0），

设异面直线AE与CD所成角为θ，

则cosθ===，

sinθ==，

∴tanθ=．

∴异面直线AE与CD所成角的正切值为．

故选：C．

10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（　　）

A．    B．    C．    D．π

【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣sin（x﹣），

由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，

得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，

取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，

由f（x）在[0，a]是减函数，

得a≤．

则a的最大值是．

故选：C．

11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（　　）

A．1﹣    B．2﹣    C．    D．﹣1

【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），

所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），

解得e=．

故选：D．

12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（　　）

A．﹣50    B．0    C．2    D．50

【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），

∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，

则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），

即函数f（x）是周期为4的周期函数，

∵f（1）=2，

∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，

f（4）=f（0）=0，

则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，

则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）

=f（1）+f（2）=2+0=2，

故选：C．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为　y=2x﹣2　．

【解答】解：∵y=2lnx，

∴y′=，

当x=1时，y′=2

∴曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为y=2x﹣2．

故答案为：y=2x﹣2．

14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　9　．

【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，

化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，

由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，

由，解得A（5，4），

目标函数有最大值，为z=9．

故答案为：9．

15．（5分）已知tan（α﹣）=，则tanα=　　．

【解答】解：∵tan（α﹣）=，

∴tan（α）=，

则tanα=tan（α+）=====，

故答案为：．

16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为　8π　．

【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，△SAB的面积为8，可得：，解得SA=4，

SA与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为：2，圆锥的高为：2，

则该圆锥的体积为：V==8π．

故答案为：8π．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值．

【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15，

∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，

∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；

（2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，

∴Sn===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，

∴当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16．

18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t，

计算t=19时，=﹣30.4+13.5×19=226.1；

利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；

根据模型②：=99+17.5t，

计算t=9时，=99+17.5×9=256.5；．

利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；

（2）模型②得到的预测值更可靠；

因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，

而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，

从2010年到2016年间递增的幅度较大些，

所以，利用模型②的预测值更可靠些．

19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．

【解答】（1）证明：∵AB=BC=2，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三角形，

又O为AC的中点，∴OA=OB=OC，

∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，

∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC；

（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO=，

在△COM中，OM==．

S=××=，

S△COM==．

设点C到平面POM的距离为d．由VP﹣OMC=VC﹣POM⇒，

解得d=，

∴点C到平面POM的距离为．

20．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；

设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，

由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，

∴直线l的方程y=x﹣，；

方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，

∴θ=，则直线的斜率k=1，

∴直线l的方程y=x﹣1；

（2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）

由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，

以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，

由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，

则D（3，2），

过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．．

21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣a（x2+x+1）．

（1）若a=3，求f（x）的单调区间；

（2）证明：f（x）只有一个零点．

【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=x3﹣a（x2+x+1），

所以f′（x）=x2﹣6x﹣3时，令f′（x）=0解得x=3，

当x∈（﹣∞，3﹣2），x∈（3﹣2，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，

当x∈（3﹣2时，f′（x）＜0，函数是单调递减，

综上，f（x）在（﹣∞，3﹣2），（3﹣2，+∞），上是增函数，在（3﹣2上递减．

（2）证明：因为x2+x+1=（x+）2+，

所以f（x）=0等价于，

令，

则，所以g（x）在R上是增函数；

取x=max{9a，1}，则有=，

取x=min{9a，﹣1}，则有=，

所以g（x）在（min{9a，﹣1}，max{9a，1}）上有一个零点，由单调性则可知，f（x）只有一个零点．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．

【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），

转换为直角坐标方程为：．

直线l的参数方程为（t为参数）．

转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．

（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1

整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，

则：，

由于（1，2）为中点坐标，

所以：，

则：8cosα+4sinα=0，

解得：tanα=﹣2，

即：直线l的斜率为﹣2．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=．

当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1，

当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，

当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，

综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，

（2）∵f（x）≤1，

∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，

∴|x+a|+|x﹣2|≤4，

∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，

∴|a+2|≤4，

即﹣4≤a+2≤4，

解得﹣6≤a≤2，

故a的取值范围[﹣6，2]．