2020-2021学年江苏省南通市中考数学模拟试卷及答案解析

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题3分，满分30分．

1．﹣3的倒数是（　　）

A．3    B．﹣3    C．    D．

2．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（　　）

A．70°    B．80°    C．90°    D．100°

3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．若二次根式有意义，则x的取值范围为（　　）

A．x≥    B．x≤    C．x≥﹣    D．x≤﹣

5．在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（　　）

A．（2，﹣3）    B．（2，3）    C．（3，﹣2）    D．（﹣2，﹣3）

6．若分式的值为0，则x的值为（　　）

A．3    B．3或﹣3    C．﹣3    D．0

7．一次函数y=﹣3x﹣2的图象不经过（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

8．解关于x的不等式，正确的结论是（　　）

A．无解    B．解为全体实数    C．当a＞0时无解    D．当a＜0时无解

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　）

A．    B．    C．    D．2

10．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．6π    B．5π    C．4π    D．3π

二、填空题：不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上，每小题3分，满分24分．

11．我国的陆地面积居世界第三位，约为9 597 000平方千米，用科学记数法表示为　　　　　　平方千米．（保留三个有效数字）

12．分解因式：ax2﹣a=　　　　　　．

13．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是　　　　　　．

14．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为　　　　　　．

15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E为AB边的中点，P为对角线BD上任意一点，AB=4，则PE+PA的最小值为　　　　　　．

16．如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为　　　　　　．

17．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B′，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为　　　　　　．

18．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为　　　　　　．

三、解答题：本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（1）计算： |；

（2）先化简，再求值：，其中x=5﹣4．

20．上海世博园开放后，前往参观的人非常多．5月中旬的一天某一时段，随机调查了部分入园游客，统计了他们进园前等候检票的时间，并绘制成如下图表．表中“10～20”表示等候检票的时间大于或等于10min而小于20min，其它类同．

（1）这里采用的调查方式是　　　　　　；

（2）求表中a、b、c的值，并请补全频数分布直方图；

（3）在调查人数里，等候时间少于40min的有　　　　　　人；

（4）此次调查中，中位数所在的时间段是　　　　　　～　　　　　　min．

21．如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）若点（﹣a，y1），（﹣2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；

（3）求△AOB的面积．

22．如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处．

（1）求灯塔C到航线AB的距离；

（2）若海轮的速度为20海里/时，求海轮从A处到B处所用的时间（结果精确到0.1小时）

（参考数据：，）

23．如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有﹣1，1，2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形＞．

（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；

（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”．用列表法（或画树状图）求两人“不谋而合”的概率．

24．江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价50千元/件，乙种产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙产品需要A种原料3吨/件，B种原料1吨/件，每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨．

（1）如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？

（2）在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，并且要求甲种产品比乙种产品多生产25件，问如何安排甲、乙两种产品，使总产值是1375千元，A，B两种原料还剩下多少吨？

25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，

（1）求证：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．

26．A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．

（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当它们行驶了7小时时，两车相遇，求乙车速度．

27．如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=．点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与A、D点重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的长与点D的坐标．

（2）说明△AEF与△DCE相似．

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

28．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

江苏省南通市中考数学模拟试卷

参与试题解析

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题3分，满分30分．

1．﹣3的倒数是（　　）

A．3    B．﹣3    C．    D．

【考点】倒数．

【专题】常规题型．

【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．

【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）=1，

∴﹣3的倒数是﹣．

故选：D．

【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．

2．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（　　）

A．70°    B．80°    C．90°    D．100°

【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．

【专题】计算题．

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数．

【解答】解：∵AB∥CD，∠C=125°，

∴∠EFB=125°，

∴∠EFA=180﹣125=55°，

∵∠A=45°，

∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°．

故选B．

【点评】本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；三角形内角和定理．

3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．

故选：A．

【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．若二次根式有意义，则x的取值范围为（　　）

A．x≥    B．x≤    C．x≥﹣    D．x≤﹣

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，1+2x≥0，

解得x≥﹣．

故选C．

【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

5．在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（　　）

A．（2，﹣3）    B．（2，3）    C．（3，﹣2）    D．（﹣2，﹣3）

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【专题】常规题型．

【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．

【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．

故选：A．

【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．

6．若分式的值为0，则x的值为（　　）

A．3    B．3或﹣3    C．﹣3    D．0

【考点】分式的值为零的条件．

【专题】计算题．

【分析】分式值为0，则要求分子为0，分母不为0，解出x．

【解答】解：∵x2﹣9=0，

∴x=±3，

当x=3时，x2﹣4x+3=0，

∴x=3不满足条件．

当x=﹣3时，x2﹣4x+3≠0，

∴当x=﹣3时分式的值是0．

故选C．

【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．

7．一次函数y=﹣3x﹣2的图象不经过（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【考点】一次函数的性质．

【分析】根据一次函数的性质容易得出结论．

【解答】解：∵解析式y=﹣3x﹣2中，﹣3＜0，﹣2＜0，

∴图象过二、三、四象限．

故选A．

【点评】在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．

8．解关于x的不等式，正确的结论是（　　）

A．无解    B．解为全体实数    C．当a＞0时无解    D．当a＜0时无解

【考点】不等式的解集．

【专题】计算题．

【分析】根据两不等根据两不等式，大大取大，小小取小，大小中间找的规律进行讨论即可．

【解答】解：根据题意可得：①当a≥0时，无解．

②当a＜0时解为a＜x＜﹣a．

所以，当a≥0时，无解或当a＜0时解为a＜x＜﹣a．

故选C．

【点评】本题考查不等式的解集，解答此题要根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　）

A．    B．    C．    D．2

【考点】线段垂直平分线的性质．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】利用线段的垂直平分线的性质和三角形相似进行计算．

【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，

根据勾股定理得：AB=5，

而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，

∴∠BDE=90°，∠B=∠B，

∴△ACB∽△EDB，

∴BC：BD=AB：（BC+CE），又BC=3，AC=4，AB=5，

∴3：2.5=5：（3+CE），

从而得到CE=．

故选：B．

【点评】本题主要考查直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及相似三角形性质的应用及方程的数学思想．

10．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．6π    B．5π    C．4π    D．3π

【考点】扇形面积的计算．

【专题】压轴题．

【分析】从图中可以看出阴影部分的面积=扇形面积+半圆面积﹣半圆面积，即等于扇形面积，依扇形的面积公式计算即可．

【解答】解：阴影部分面积==6π．

故选：A．

【点评】本题主要考查了扇形的面积公式．即S=．

二、填空题：不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上，每小题3分，满分24分．

11．我国的陆地面积居世界第三位，约为9 597 000平方千米，用科学记数法表示为　9.60×106　平方千米．（保留三个有效数字）

【考点】科学记数法与有效数字．

【专题】应用题．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．题中9 597 000有7位整数，n=7﹣1=6．

有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字．

用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．

【解答】解：9597000≈9.60×106．

【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．分解因式：ax2﹣a=　a（x+1）（x﹣1）　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】应先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解．

【解答】解：ax2﹣a，

=a（x2﹣1），

=a（x+1）（x﹣1）．

【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．

13．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是　a＜1且a≠0　．

【考点】根的判别式．

【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：

（1）二次项系数不为零；

（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．

【解答】解：根据题意列出不等式组，

解之得a＜1且a≠0．

故答案为：a＜1且a≠0．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

14．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为　±6　．

【考点】待定系数法求二次函数解析式．

【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），因为抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标为零，列方程求解．

【解答】解：∵抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，

∴顶点的纵坐标为零，即y===0，

解得b=±6．

【点评】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是掌握顶点的表示方法和x轴上的点的特点．

15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E为AB边的中点，P为对角线BD上任意一点，AB=4，则PE+PA的最小值为　　．

【考点】勾股定理；菱形的性质．

【专题】计算题．

【分析】根据轴对称的性质，首先准确找到点P的位置．根据菱形的性质，知：点A和C关于BD对称．则连接CE交BD于点P，P即为所求作的点．PE+PA的最小值即为CE的长．

【解答】解：∵∠ABC=60°，AB=AC

∴△ABC是等边三角形

∴CE⊥AB

∴CE===2

故答案为，2

【点评】此题的难点在于能够正确找到点P的位置．注意综合运用等边三角形的判定、等腰三角形的三线合一、勾股定理、菱形的四边相等进行求解．

16．如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为　20　．

【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．

【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；

∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；

∴△ADB为等边三角形；

∴BD=AD=AB=12；

∴OD=4，又∵∠ADB=60°，

∴DE=OD=2；

∴BE=10；

∴BC=2BE=20；

故答案为20．

【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用．

17．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B′，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为　（，）　．

【考点】坐标与图形变化-旋转；等腰三角形的性质．

【分析】过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后写出点O′的坐标即可．

【解答】解：如图，

过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，

∵A（2，），

∴OC=2，AC=，

由勾股定理得，OA===3，

∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，

∴OB=2OC=2×2=4，

由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，

∴O′D=4×=，

BD=4×=，

∴OD=OB+BD=4+=，

∴点O′的坐标为（，），

故答案为：（，）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

18．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为　（2，﹣6）　．

【考点】二次函数综合题．

【分析】首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．

【解答】解：∵抛物线经过点A（4，0），

∴×42+4b=0，

∴b=﹣2，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，

∴抛物线的对称轴为：直线x=2，

∵点C（1，﹣3），

∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），

直线AC′与x=2的交点即为D，

因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；

设直线AC′的解析式为y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，

当x=2时，y=﹣6，

∴D点的坐标为（2，﹣6）．

故答案为：（2，﹣6）．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．

三、解答题：本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（1）计算： |；

（2）先化简，再求值：，其中x=5﹣4．

【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题；分式．

【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：（1）原式=2﹣4×+1+4=5；

（2）原式=•=•=x+4，

当x=5﹣4时，原式=5﹣4+4=5．

【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．上海世博园开放后，前往参观的人非常多．5月中旬的一天某一时段，随机调查了部分入园游客，统计了他们进园前等候检票的时间，并绘制成如下图表．表中“10～20”表示等候检票的时间大于或等于10min而小于20min，其它类同．

（1）这里采用的调查方式是　抽样调查　；

（2）求表中a、b、c的值，并请补全频数分布直方图；

（3）在调查人数里，等候时间少于40min的有　32　人；

（4）此次调查中，中位数所在的时间段是　20　～　30　min．

【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；中位数．

【专题】图表型．

【分析】（1）由于前往参观的人非常多，5月中旬的一天某一时段，随机调查了部分入园游客，统计了他们进园前等候检票的时间，由此即可判断调查方式；

（2）首先根据已知的一组数据可以求出接受调查的总人数c，然后乘以频率即可求出b，利用所有频率之和为1即可求出a，然后就可以补全频率分布直方图；

（3）根据表格知道被调查人数里，等候时间少于40min的有第一、二、三小组，利用表格数据即可求出等候时间少于40min的人数；

（4）由于知道总人数为40人，根据中位数的定义就可以知道中位数落在哪个小组；

【解答】解：（1）填抽样调查或抽查；

（2）∵a=1﹣0.200﹣0.250﹣0.125﹣0.075=0.350；

b=8÷0.200×0.125=5；

c=8÷0.200=40；

频数分布直方图如图所示．

（3）依题意得

在调查人数里，等候时间少于40min的有8+14+10=32人；

故填32．

（4）∵总人数为40人，

∴中位数所在的时间段是20～30．

故填20，30．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查了中位数、频率和频数的定义．

21．如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）若点（﹣a，y1），（﹣2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；

（3）求△AOB的面积．

【考点】反比例函数综合题．

【专题】计算题；数形结合．

【分析】（1）由S△AOC=xy=2，设反比例函数的解析式y=，则k=xy=4；

（2）由于反比例函数的性质是：在x＜0时，y随x的增大而减小，﹣a＞﹣2a，则y1＜y2；

（3）连接AB，过点B作BE⊥x轴，交x轴于E点，通过分割面积法S△AOB=S△AOC+S梯形ACEB﹣S△BOE求得．

【解答】解：（1）∵S△AOC=2，

∴k=2S△AOC=4；

∴y=；

（2）∵k＞0，

∴函数y在各自象限内随x的增大而减小；

∵a＞0，

∴﹣2a＜﹣a；

∴y1＜y2；

（3）连接AB，过点B作BE⊥x轴，

S△AOC=S△BOE=2，

∴A（a，），B（2a，）；

S梯形=，

∴S△AOB=S△AOC+S梯形ACEB﹣S△BOE=3．

【点评】此题重点检查函数性质的应用和图形的分割转化思想．同学们要熟练掌握这类题型．

22．如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处．

（1）求灯塔C到航线AB的距离；

（2）若海轮的速度为20海里/时，求海轮从A处到B处所用的时间（结果精确到0.1小时）

（参考数据：，）

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，得到∠CAD=30°，在Rt△ACD中，利用含30°的直角三角形的三边关系可求出CD、AD的长；

（2）在Rt△BCD中，由∠BCD=45°，根据CD的长，即可求得BD的长；根据AB=AD+BD即可求出AB的长．根据时间=路程÷速度可求出海轮从A到B所用的时间．

【解答】解：（1）过C作CD⊥AB于D．

∴∠A=30°，∠BCD=45°，

在Rt△ACD中，AC=80，∠A=30°，

∴CD=40，

∴tan30°=，

∴AD=CD=40．

∴灯塔C到AB的距离为40海里；

（2）Rt△BCD中，∠BCD=45°，

∴BD=CD=40（海里）．

∴AB=AD+BD=40+40≈109.2（海里）．

∴海轮所用的时间为：109.2÷20≈5.5（小时）．

答：灯塔C到航线AB的距离为40海里；海轮从A处到B处所用的时间约为5.5小时．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用：方向角问题，具体就是在某点作出东南西北，即可转化角度，也得到垂直的直线；还考查了含30度的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．

23．如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有﹣1，1，2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形＞．

（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；

（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”．用列表法（或画树状图）求两人“不谋而合”的概率．

【考点】列表法与树状图法．

【专题】计算题．

【分析】（1）由转盘被等分成三个扇形，上面分别标有﹣1，1，2，利用概率公式即可求得小静转动转盘一次，得到负数的概率；

（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．

【解答】解：（1）∵转盘被等分成三个扇形，上面分别标有﹣1，1，2，

∴小静转动转盘一次，得到负数的概率为：；

（2）列表得：

 小静

两人得到的数相同的有3种情况，

∴两人“不谋而合”的概率为=．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

24．江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价50千元/件，乙种产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙产品需要A种原料3吨/件，B种原料1吨/件，每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨．

（1）如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？

（2）在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，并且要求甲种产品比乙种产品多生产25件，问如何安排甲、乙两种产品，使总产值是1375千元，A，B两种原料还剩下多少吨？

【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】（1）可设生产甲种产品x件，生产乙种产品y件，根据等量关系：①生产甲种产品需要的A种原料的吨数+生产乙种产品需要的A种原料的吨数=A种原料120吨，②生产甲种产品需要的B种原料的吨数+生产乙种产品需要的B种原料的吨数=B种原料50吨；依此列出方程求解即可；

（2）可设乙种产品生产z件，则生产甲种产品（z+25）件，根据等量关系：甲种产品的产值+乙种产品的产值=总产值1375千元，列出方程求解即可．

【解答】解：（1）设生产甲种产品x件，生产乙种产品y件，依题意有

，

解得，

15×50+30×20

=750+600

=1350（千元），

1350千元=135万元．

答：生产甲种产品15件，生产乙种产品20件才能恰好使两种原料全部用完，此时总产值是135万元；

（2）设乙种产品生产z件，则生产甲种产品（z+25）件，依题意有

（1+10%）×50（z+25）+（1﹣10%）×30z=1375，

解得z=0，

z+25=25，

120﹣25×4

=120﹣100

=20（吨），

50﹣25×2

=50﹣50

=0（吨）．

答：安排生产甲种产品25件，使总产值是1375千元，A种原料还剩下20吨．

【点评】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．

25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，

（1）求证：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．

【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义．

【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；

（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即=，所以可以求得圆的直径．

【解答】（1）证明：∵∠C=∠P

又∵∠1=∠C

∴∠1=∠P

∴CB∥PD；

（2）解：连接AC

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°

又∵CD⊥AB，

∴=，

∴∠P=∠CAB，

又∵sin∠P=，

∴sin∠CAB=，

即=，

又知，BC=3，

∴AB=5，

∴直径为5．

【点评】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．

26．A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．

（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当它们行驶了7小时时，两车相遇，求乙车速度．

【考点】一次函数的应用．

【专题】应用题．

【分析】（1）先根据图象和题意知道，甲是分段函数，所以分别设0≤x≤6时，y=k1x；6＜x≤14时，y=kx+b，根据图象上的点的坐标，利用待定系数法可求解．

（2）注意相遇时是在6﹣14小时之间，求交点时应该套用甲中的函数关系式为y=﹣75x+1050，直接把x=7代入即可求相遇时y的值，再求速度即可．

【解答】解：（1）①当0＜x≤6时，设y=k1x

把点（6，600）代入得

k1=100

所以y=100x；

②当6＜x≤14时，设y=kx+b

∵图象过（6，600），（14，0）两点

∴

解得

∴y=﹣75x+1050

∴y=．

（2）当x=7时，y=﹣75×7+1050=525，

V乙==75（千米/小时）．

【点评】本题根据实际问题考查了一次函数的运用，注意分段函数的求算方法和代数求值时对应的函数关系式．

27．如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=．点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与A、D点重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的长与点D的坐标．

（2）说明△AEF与△DCE相似．

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形．

【专题】代数几何综合题；压轴题．

【分析】（1）利用矩形的性质，在Rt△ABC中，利用三角函数求出AC、BC的长度，从而得到A点坐标；由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标；

（2）欲证△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可．如图①，在△AEF与△DCE中，易知∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，从而问题解决；

（3）当△EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：

①当CE=EF时，此时△AEF与△DCE相似比为1，则有AE=CD；

②当EF=FC时，此时△AEF与△DCE相似比为，则有AE=CD；

③当CE=CF时，F点与A点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在．

【解答】解：（1）由题意tan∠ACB=，

∴cos∠ACB=．

∵四边形ABCO为矩形，AB=16，

∴BC==12，AC==20，

∴A点坐标为（﹣12，0），

∵点D与点A关于y轴对称，

∴D（12，0）．

（2）点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO，

∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，

∴∠CDE=∠CEF，

又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质）

∴∠AEF=∠DCE．

则在△AEF与△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，

∴△AEF∽△DCE．

（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：

①当CE=EF时，

∵△AEF∽△DCE，

∴△AEF≌△DCE

∴AE=CD=20，

∴OE=AE﹣OA=20﹣12=8，

∴E（8，0）；

②当EF=FC时，如图②所示，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，

∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=EF．

∵△AEF∽△DCE，

∴，即，解得AE=，

∴OE=AE﹣OA=﹣12=，

∴E（，0）；

③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，

∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，

∴∠CFE=∠CAO，即此时E点与D点重合，这与已知条件矛盾．

综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（8，0）或（，0）．

【点评】本题综合考查了矩形、等腰三角形、直角三角形等平面几何图形在坐标平面内的性质与变换，相似三角形的判定与性质应用是其核心．难点在于第（3）问，当△EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解．

28．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可．

（2）平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式．

①将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长；如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形．

②如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为（3，﹣3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点．

【解答】解：（1）因为抛物线的对称轴是x=，

设解析式为y=a（x﹣）2+k．

把A，B两点坐标代入上式，得，

解得a=，k=﹣．

故抛物线解析式为y=（x﹣）2﹣，顶点为（，﹣）．

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=（x﹣）2﹣，

∴y＜0，

即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．

∵OA是OEAF的对角线，

∴S=2S△OAE=2××OA•|y|=﹣6y=﹣4（x﹣）2+25．

因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），

所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．

①根据题意，当S=24时，即﹣4（x﹣）2+25=24．

化简，得（x﹣）2=．

解得x1=3，x2=4．

故所求的点E有两个，

分别为E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），

点E1（3，﹣4）满足OE=AE，

所以平行四边形OEAF是菱形；

点E2（4，﹣4）不满足OE=AE，

所以平行四边形OEAF不是菱形；

②当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，

此时点E的坐标只能是（3，﹣3），

而坐标为（3，﹣3）的点不在抛物线上，

故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．

【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的性质、菱形和正方形的判定等知识．综合性强，难度适中．