线性代数复习题带答案

一、填空题1．已知四阶行列式，则=    0   .

2. 已知为二阶方阵，且，则         8         .

3. 设是的矩阵，则线性方程组有解的充要条件是   .

4. 已知三阶矩阵的特征值分别为 设，则 18 .

5．已知对称矩阵，则所对应的二次型  

6．中，的系数是   -2   .

7．已知矩阵方程，其中，，则    .

8．设，，，则    . 

9．为3阶方阵，，则=   3   . 

10．元齐次线性方程组，，则有基础解系且基础解系含有解向量的个数为  . 

11． 设的基为，， ，则在基

下的坐标为 (1,1,2) .

12．设向量，正交，则=  2  . 

13．设阶可逆矩阵的特征值分别为，矩阵,则=  360  . 

14．若矩阵与相似，则的特征值为 1,2,3  . 

15．二次型的矩阵=     . 

16．行列式中的系数是      2   .

17．设，，则    .

18．设，，，则      . 

19．设为阶方阵，，则   0  .

20．设3×4矩阵的秩,齐次线性方程组的基础解系含解向量 3 个. 

21．向量在基，，下的坐标为  (3,-4,3)  . 

22．设为正交矩阵，则     . 

23. 若四阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，则行列式    24  . 

24．已知方阵与相似，则与的关系为  相等  .

25．二次型的矩阵A=     . 

26．已知，则中 这一项的系数为  4  .

27. 已知为阶方阵，且，则    .

28. 设是的矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充要条件是    .

29. 已知三阶矩阵的特征值分别为 设，则 3/2  .

30．已知，则二次型的矩阵为  

二、选择题

1.已知五阶行列式，下面哪一个不是该行列式中的项.( C )

(A)   (B)   (C)    (D)            

2.若矩阵A的秩为，则下列命题正确的是(C ).

(A) 所有的阶子式都不等于0         (B)所有的阶子式全等于0

(C) 至少有一个阶子式不等于0         (D)所有的阶子式都不等于0

3.设是的矩阵，已知齐次线性方程组有非零解，且，则其基础解系所含解向量的个数为（B）. 

(A)             (B)             (C)             (D)   

4. 设是阶矩阵，若，则下列命题不正确的是 (D).

(A) 若可逆，则可逆         (B) 和是等价的

(C) 和具有相同的迹         (D) 和是合同的

5. 二次型的秩为（ B ）.

(A) 0         (B)　1          (C) 2         (D) 3

6．若，则                       【A】

A. -6d           B. 6d           C. 4d            D. -4d 

7．设、为阶方阵，则成立的充要条件是           【D】

A. 可逆      B. 可逆     C.     D.    

8．向量组线性相关的充分必要条件是                   【C】

A. 中至少有一个零向量             

B. 中至少有两个向量对应分量成比例 

C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示               

D. 可由线性表示 

9．阶方阵不可逆，则必有                                     【A】

A.  ＜ B. C.    D. 方程组只有零解

10.若矩阵，则的特征值为                             【C】

A.   B.      C.   D. . 

11．设，为同阶方阵，且,则                          【C】

A.与相似     B.与合同     C.与等价    D.     

12.已知五阶行列式，下面哪一个不是该行列式中的项.( C )

(A)   (B)   (C)    (D)            

13.已知为阶方阵，且，则下列命题不正确的是(D).

(A) 的列向量组是线性无关的         (B) 的所有特征值都不为0

(C)矩阵的秩为                    (D)线性方程组有无穷多解

14.有个维向量组成的向量组，当    时，该向量组一定线性相关. （B）

(A)          (B)         (C)            (D)   

15. 设是阶矩阵，若为阶可逆矩阵且，则下列命题不正确的是 (C ).

(A) 若可逆，则可逆 (B) 和是等价的   (C)和具有相同的迹 (D) 

16. 二次型的秩为2，则的取值为（ D ）.

(A) 0         (B)　1          (C) 2         (D) 3

17．若，则                     【A】

A. -6M          B. 6M          C. 4M         D. -4M 

18．设、为阶方阵，则成立的充要条件是  【D】

A. 可逆        B. 可逆       C.       D. 

19．若个维向量线性无关，则                                   【B】

A.再增加一个向量后也线性无关          B.再去掉一个向量后仍线性无关

C.其中只有一个向量不能被其余向量线性表出          D. 以上都不对 

20．阶方阵不可逆，则必有                                     【A】

A.  ＜               B. 

C.                    D. 方程组只有零解

21. 设是3阶矩阵，，，均不可逆，则的三个特征值是【C】

A.         B.       C.        D. 

22．设与均为阶实对称矩阵，若与合同，则                 【B】

A. 与有相同的特征值            B. 与有相同的秩 

    C. 与有相同的特征向量          D. 与有相同的行列式

三、判断题

1.的代数余子式与所处的行列有关，与的取值无关.     (√ )

2.设为阶方阵，则 .             (× )

3.若向量组与向量组等价，则.       (× )

4.含有零向量的向量组一定是线性相关的.                     (√)

5.设为阶可逆矩阵，则的对应于的特征向量也是对应于的特征向量.                                                    (√)

6．每行元素之和为零的行列式值为零．                         【√】

7．若阶方阵可逆而不可逆，则一定可逆.               【×】

8．若向量组线性无关，线性相关，则必可由线性表示.【√】

9．正交的向量组必定线性无关．                               【√】

10．设是阶方阵的分别对应于特征值的特征向量，则一定线性无关. 【×】                                                      

11．若阶实对称矩阵与合同，则与的特征值相同.        【×】

12.阶行列式主对角线上元素乘积必带正号.                   (√ )

13.设为阶方阵，则 .             (× )

14.若向量组可由向量组线性表出，则. (× )

15.含有零向量的向量组一定是线性相关的.                     (√ )

16.设为阶矩阵，则的对应于的特征向量也是对应于的特征向量. (× )   

17．各列元素之和为零的行列式值为零．                        【√ 】

18．若阶方阵或不可逆，则一定不可逆．               【√】

19．正交的向量组必定线性无关．                              【√ 】

20.设是阶方阵的分别对应于特征值的特征向量，则时一定线性无关.                                                 【×】

21．若阶实对称矩阵与合同，则与的特征值相同.       【× 】

22．若向量组线性无关，线性相关，则必不可由线性表示.【×】

四、计算题

1.计算阶行列式

解  原式                                                   

2.设，, 满足，求.

解因为可得且 ，所以 可逆.       则               

3.用基础解系表示出线性方程组 的全部解.

解

               则原方程组的一般解为

              其中   为自由未知量.

令自由未知量 ，得方程组的一个解 

自由未知量，导出组的基础解系为 

所以原方程组的通解为 其中 为任意常数.                                    

4.已知矩阵的三个特征值为，，

（1）求出的值；(2) 判断A是否可对角化，若可对角化，求出矩阵使得.

解  （1）因为 ，所以                  

（2）对于，解齐次线性方程组 

                    所以A不相似于对角阵                      

5.将二次型化为标准型并求出所用的非退化线性变换.

解                  

   令，即，.         于是

 所用的非退化线性变换为. 

6．计算行列式.                 

  解   = = = =     

7．设矩阵，判断矩阵可逆，并求出. 

解  由知，可逆.       

  所以  .                          

8.求向量组

的一个极大无关组，并将其余的向量用该向量组用极大无关组表示出来. 

  解  

因此，向量组的一个极大无关组为；                         

于是，可用极大无关组线性表示为：, 

9．求矩阵的特征值和全部特征向量.

解  的特征多项式

所以的特征值                    当 时，解方程由

得基础解系

所以属于 的全部特征向量为．  当时，解方程由

得基础解系

所以属于的全部特征向量是(不同时为)．     

10.计算阶行列式 

解  原式                   

   (8分)  

11.设，, 满足，求.

解       

12.用基础解系表示出线性方程组 的全部解.

解   则原方程组的一般解为 

                        其中   为自由未知量.

令自由未知量 ，得方程组的一个解 

自由未知量，导出组的基础解系为 

所以原方程组的通解为        其中 为任意常数.  （10分）

13.已知矩阵， 判断A是否可对角化，若可对角化，求出矩阵和 使得.

14.将二次型化为标准型并求出所用的非退化线性变换.

解：      则原方程组的一般解为 

                       其中   为自由未知量.

令自由未知量 ，得方程组的一个解 

自由未知量，导出组的基础解系为 

所以原方程组的通解为 其中 为任意常数.                                     

五、证明题

1.已知线性无关，设，，，证明向量组线性无关.

证明：设          因为，，

则                      

则 因为线性无关所以      所以 

因此向量组线性无关.                                   

2．已知可逆，证明可逆，且，为单位矩阵.

证  因为           

所以可逆，且.      

3．证明：若向量组线性无关，则向量组也线性无关. 

证明   设有使， 

整理得，       

因线性无关，有 ，方程组的系数行列式， 

齐次方程组只有零解 ，所以线性无关． 

4.已知线性无关，设，，，证明向量组线性无关.

证明：设       因为，，则

    则   

因为线性无关所以      所以 因此向量组线性无关.                                    

5．如果（是正整数），求证：.

证明  由于，且                   

                                 故，且，结论成立.      

6．设向量组线性无关，令，，，试确定向量组的线性相关性.

证  设有使 ，     

即         ，

整理得    ， 

若线性无关，有，

方程组的系数行列式 ，        齐次方程组有非零解，所以线性相关．    

《线性代数》试卷A

一、填空题（共 5 题，每小题 3 分，共 15 分）

1．已知四阶行列式，则=    0   .

2. 设是的矩阵，则线性方程组有解的充要条件是   .

3. 已知三阶矩阵的特征值分别为 设，则 18 .

4．已知对称矩阵，则所对应的二次型  

5．中，的系数是   -2   .

6．已知矩阵方程，其中，，则    .

7．元齐次线性方程组，，则有基础解系且基础解系含有解向量的个数为  . 

8． 设的基为，， ，则在基

下的坐标为 (1,1,2) .

9．设向量，正交，则=  2  .  

10．若矩阵与相似，则的特征值为 1,2,3  . 

二、选择题（共 5 题，每小题 3 分，共 15 分）

1.已知五阶行列式，下面哪一个不是该行列式中的项.( C )

(A)   (B)   (C)    (D)            

2.若矩阵A的秩为，则下列命题正确的是(C ).

(A) 所有的阶子式都不等于0         (B)所有的阶子式全等于0

(C) 至少有一个阶子式不等于0         (D)所有的阶子式都不等于0

3.设是的矩阵，已知齐次线性方程组有非零解，且，则其基础解系所含解向量的个数为（B）.        (A)         (B)          (C)         (D)   

4. 设是阶矩阵，若，则下列命题不正确的是 (D).

(A) 若可逆，则可逆         (B) 和是等价的

(C) 和具有相同的迹         (D) 和是合同的

5. 二次型的秩为（ B ）.

(A) 0         (B)　1          (C) 2         (D) 3

6．若，则                       【A】

A. -6d           B. 6d           C. 4d            D. -4d 

7．设、为阶方阵，则成立的充要条件是           【D】

A. 可逆      B. 可逆     C.     D.    

8．阶方阵不可逆，则必有                                     【A】

A.  ＜ B. C.    D. 方程组只有零解

9.若矩阵，则的特征值为                             【C】

A.   B.      C.   D. . 

10．设，为同阶方阵，且,则                          【C】

A.与相似     B.与合同     C.与等价    D.     

三、判断题，正确的打“√”，错误的划“×”（共 5 题，每题 2 分，共 10 分）

1.的代数余子式与所处的行列有关，与的取值无关.     (√ )

2.设为阶方阵，则 .             (× )

3.含有零向量的向量组一定是线性相关的.                     (√)

4.设为阶可逆矩阵，则的对应于的特征向量也是对应于的特征向量. (√)                                               

5．每行元素之和为零的行列式值为零．                         【√】

6．若阶方阵可逆而不可逆，则一定可逆.               【×】

7．若向量组线性无关，线性相关，则必可由线性表示.【√】

8．正交的向量组必定线性相关．                               【×】

9．设是阶方阵的分别对应于特征值的特征向量，则一定线性无关. 【×】                                                      

10．若阶实对称矩阵与合同，则与的特征值相同.        【×】

四、计算题（共 5 题，每小题 10 分，共 50 分）

1.设，, 满足，求.

解  因为可得                   （2分） 

       且 ，所以 可逆.            (2分)

           则 

                  （8分）

      （10分）

2.用基础解系表示出线性方程组 的全部解.

解

 则原方程组的一般解为 

                        （5分）   

其中   为自由未知量.

令自由未知量 ，得方程组的一个解 

自由未知量，导出组的基础解系为 

所以原方程组的通解为 

其中 为任意常数.                                     （10分）

3．设矩阵，判断矩阵可逆，并求出. 

解  由知，可逆.        ……………………………3分

  ……………………5分

所以  .                          …………………………2分

4.求向量组

的一个极大无关组，并将其余的向量用该向量组用极大无关组表示出来. 

  解  …………4分

因此，向量组的一个极大无关组为；                          …………2分

于是，可用极大无关组线性表示为：,………4分

5．求矩阵的特征值和全部特征向量.

解  的特征多项式

所以的特征值                           …………………4分

当 时，解方程由得基础解系

所以属于 的全部特征向量为．       …………………3分

当时，解方程由

得基础解系

所以属于的全部特征向量是

  (不同时为)．     …………………3

五、证明题（共 1 题，每小题 10 分，共 10 分）

1.已知线性无关，设，，，证明向量组线性无关.

证明：设           （2分）

因为，，

则                      

则   （4分）

因为线性无关所以      

所以 

因此向量组线性无关.                                    (10分)

2．证明：若向量组线性无关，则向量组也线性无关. 

证明   设有使， 

整理得，        …………………3分

因线性无关，有 ，方程组的系数行列式，…………………3分

齐次方程组只有零解 ，所以线性无关．………1分

《线性代数》试卷B

二、填空题（共 5 题，每小题 3 分，共 15 分）

1．已知，则二次型的矩阵为  

2．设，，则    .

3．设，，，则      . 

4．已知三阶矩阵的特征值分别为 设，则 3/2  .

5．已知为阶方阵，且，则    .

6．向量在基，，下的坐标为  (3,-4,3)  . 

7．设为正交矩阵，则     . 

8. 已知，则中 这一项的系数为  4  .

9．已知方阵与相似，则与的关系为  相等  .

10．设是的矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充要条件是    .

二、选择题（共 5 题，每小题 3 分，共 15 分）

1. 设与均为阶实对称矩阵，若与合同，则                 【B】

A. 与有相同的特征值            B. 与有相同的秩 

    C. 与有相同的特征向量          D. 与有相同的行列式

2.已知为阶方阵，且，则下列命题不正确的是(D).

(A) 的列向量组是线性无关的         (B) 的所有特征值都不为0

(C)矩阵的秩为                    (D)线性方程组有无穷多解

3.有个维向量组成的向量组，当    时，该向量组一定线性相关. （B）

(A)          (B)         (C)            (D)   

4. 设是阶矩阵，若为阶可逆矩阵且，则下列命题不正确的是 (C ).

(A) 若可逆，则可逆 (B) 和是等价的   (C)和具有相同的迹 (D) 

5. 二次型的秩为2，则的取值为（ D ）.

(A) 0         (B)　1          (C) 2         (D) 3

6．若，则                     【A】

A. -6M          B. 6M          C. 4M         D. -4M 

7．设、为阶方阵，则成立的充要条件是  【D】

A. 可逆        B. 可逆       C.       D. 

8．若个维向量线性无关，则                                   【B】

A.再增加一个向量后也线性无关          B.再去掉一个向量后仍线性无关

C.其中只有一个向量不能被其余向量线性表出          D. 以上都不对 

9．阶方阵不可逆，则必有                                     【A】

A.  ＜               B. 

C.                    D. 方程组定有零解

10. 设是3阶矩阵，，，均不可逆，则的三个特征值是【C】

A.         B.       C.        D. 

三、判断题，正确的打“√”，错误的划“×”（共 5 题，每小题 2 分，共 10 分）

1.阶行列式主对角线上元素乘积必带正号.                   (√ )

2.设为阶方阵，则 .             (× )

3.若向量组可由向量组线性表出，则. (× )

4.含有零向量的向量组一定是线性无关的.                     (×)

5.设为阶矩阵，则的对应于的特征向量也是对应于的特征向量. (× )   

6．各列元素之和为零的行列式值为零．                        【√ 】

7．若阶方阵或不可逆，则一定不可逆．               【√】

8．正交的向量组必定线性无关．                              【√ 】

9. 若向量组线性无关，线性相关，则必不可由线性表示.【×】

10．若阶实对称矩阵与合同，则与的特征值相同.       【× 】

四、计算题（共 5 题，每小题 10 分，共 50 分）

1.计算阶行列式 

解  原式                    （4分）

   (8分)  （10分）

2.设，, 满足，求.

解       （8分）

      （10分）

3.用基础解系表示出线性方程组 的全部解.

解            

 则原方程组的一般解为 

                        （5分）   

其中   为自由未知量.

令自由未知量 ，得方程组的一个解 

自由未知量，导出组的基础解系为 

所以原方程组的通解为        其中 为任意常数.  （10分）

三、证明题（共 1 题，每小题 10 分，共 10 分）

1.已知线性无关，设，，，证明向量组线性无关.

证明：设       （2分）

因为，，则

    则

       （4分）

因为线性无关所以      

所以 因此向量组线性无关.                                    (10分)