2013年重庆高考数学理科试卷(带详解)

(重庆卷)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集U＝{1,2,3,4},集合A＝{1,2},B＝{2,3},则                                    (  )

A.{1,3,4}      B.{3,4}      C.{3}         D.{4}

【测量目标】集合的并集与补集运算.

【考查方式】先求出两个集合的并集,再结合补集概念求解.

【难易程度】容易 

【参】D

【试题解析】∵＝{1,2,3},而U＝{1,2,3,4},故＝{4}，故选D．

2.命题“对任意,都有”的否定为                                                    (  )

A.对任意,都有              B.不存在,使得

C.存在,使得               D.存在,使得

【测量目标】含有一个量词的命题的否定.

【考查方式】根据含有一个量词的命题的否定的方法直接求解.

【难易程度】容易

【参】D

【试题解析】全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D．

3. 的最大值为                                                    (  )

A.9                  B.                 C.3                   D. 

【测量目标】函数的最值.

【考查方式】利用配方法结合函数的定义域求解.

【难易程度】容易

【参】B

【试题解析】

＝，因为，

所以当时取得最大值,故选B.

4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) .已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为                                            (  )

A.2,5               B.5,5               C.5,8              D.8,8

第4题图  

【测量目标】茎叶图.

【考查方式】结合茎叶图上的数据，根据中位数和平均数的概念求解.

【难易程度】容易

【参】C

【试题解析】由甲组数据中位数为15，可得x＝5；而乙组数据的平均数，可解得y＝8.故选C．

5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为                                            (  )

第5题图  

A.               B.              C.200             D.240

【测量目标】由三视图求几何体的体积.

【考查方式】先将三视图还原为空间几何体，在根据体积公式求解.

【难易程度】容易

【参】C

【试题解析】由几何体的三视图可得,该几何体是一个横放的直棱柱,棱柱底面为梯形,梯形两底长分别为2和8,高为4,棱柱的高为10,故该几何体体积V＝×(2＋8)×4×10＝200,故选C．

6.若a＜b＜c,则函数f(x)＝(x－a) (x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间        (  )

A. (a,b)和(b,c)内                    B. (－∞,a)和(a,b)内

C. (b,c)和(c,＋∞)内                  D. (－∞,a)和(c,＋∞)内

【测量目标】函数零点的求解与判断.

【考查方式】利用函数在区间端点处的函数值并判断符号.

【难易程度】容易

【参】A

【试题解析】由题意a＜b＜c,可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.显然f(a) f(b)＜0,f(b) f(c)＜0,所以该函数在(a,b)和(b,c)上均有零点,故选A．

7.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1,圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|＋|PN|的最小值为                                                                    (  )

A.            B.            C.            D. 

【测量目标】圆与圆的位置关系. 

【考查方式】利用圆心坐标和半径，在结合对称性求解.

【难易程度】中等

【参】A

【试题解析】圆C1,C2的圆心分别为C1,C2,由题意知|PM||PC1|－1,|PN||PC2|－3，

∴|PM|＋|PN||PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值.(步骤1 )

又C1关于x轴对称的点为C3(2,－3),所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值为|C3C2|－4＝,故选A.(步骤2)

8.执行如图所示的程序框图,如果输出s＝3,那么判断框内应填入的条件是                        (  )

A.          B.           C.            D. 

第8题图  

【测量目标】循环结构的程序框图.

【考查方式】利用循环结构运算并结合输出结果求解.

【难易程度】中等

【参】B

【试题解析】由程序框图可知,输出的结果为s＝log23×log34××logk(k＋1)＝log2(k＋1) .由s＝3,即log2(k＋1)＝3,解得k＝7.又因为不满足判断框内的条件时才能输出s,所以条件应为k7.故选B.

9.                                                                        (  ) 

A.           B.           C.           D. 

【测量目标】同角三角函数的基本关系,诱导公式.

【考查方式】利用商数关系，三角恒等及角度拆分求解.

【难易程度】较难

【参】C

【试题解析】

＝(步骤1 )

＝

＝.故选C. (步骤2 )

10.在平面上,⊥,||＝||＝1,＝＋.若||＜,则||的取值范围是(  )

A.            B.          C.          D. 

【测量目标】平面向量的数量积运算.

【考查方式】利用所给条件转化为以为起点的向量表示，再利用所给关系列出不等式求解.

【难易程度】较难

【参】D

【试题解析】因为⊥,所以可以A为原点,分别以,所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.设B1(a,0),B2(0,b),O(x,y)，

则＝＋＝(a,b),即P(a,b)．(步骤1 )

由||＝||＝1,得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1.

所以(x－a)2＝1－y2≥0,(y－b)2＝1－x2≥0. (步骤2 )

由||＜,得(x－a)2＋(y－b)2＜，

即0≤1－x2＋1－y2＜.(步骤3 )

所以＜x2＋y2≤2，即.

所以||的取值范围是,故选D.(步骤4 )

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．

11.已知复数(i是虚数单位),则|z|＝__________.

【测量目标】复数代数形式的四则运算.

【考查方式】先化简复数，再利用定义求解.

【难易程度】容易

【参】

【试题解析】，

∴.

12.已知是等差数列,公差,为其前项和,若成等比数列,则__________.

【测量目标】等差数列的前项和，等比数列性质. 

【考查方式】利用等比中项及等差数列的通项公式求解.

【难易程度】中等

【参】

【试题解析】由a1＝1且a1，a2，a5成等比数列,得a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2,解得d＝2,故S8＝8a1＋d＝.

13.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．

【测量目标】排列组合及其应用.

【考查方式】利用两个计数原理,组合数公式求解.

【难易程度】中等

【参】590

【试题解析】设选骨科医生x名,脑外科医生y名，

则需选内科医生(5－x－y)人. (步骤1 )

(1)当x＝y＝1时,有种不同选法；

(2)当x＝1,y＝2时,有种不同选法；

(3)当x＝1,y＝3时,有种不同选法；

(4)当x＝2,y＝1时,有种不同选法；

(5)当x＝2,y＝2时,有种不同选法；

(6)当x＝3,y＝1时,有种不同选法;(步骤2 )

所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．(步骤3 )

考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分．

14.如图,在△ABC中,∠C＝90,∠A＝60,AB＝20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为__________．

第14题图  

【测量目标】圆的性质的应用.

【考查方式】利用圆的几何性质、解三角形求解.

【难易程度】中等

【参】5

【试题解析】在Rt△ABC中,∠A＝60,AB＝20,可得BC＝.

由弦切角定理,可得∠BCD＝∠A＝60. (步骤1)

在Rt△BCD中,可求得CD＝,BD＝15.

又由切割线定理，可得CD2＝DEDB,可求得DE＝5. (步骤2)

15.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|＝__________.

【测量目标】坐标系与参数方程.

【考查方式】利用极坐标方程与参数方程转化为普通方程求解.

【难易程度】较难

【参】16

【试题解析】由极坐标方程ρcos θ＝4,化为直角坐标方程可得x＝4,而由曲线参数方程消参得x3＝y2，

∴y2＝43＝,即y＝±8,(步骤1)

∴|AB|＝|8－(－8)|＝16. (步骤2)

16.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解,则实数a的取值范围是________．

【测量目标】解绝对值不等式.

【考查方式】利用不等式的解法求解.

【难易程度】较难

【参】(－∞，8]

【试题解析】由绝对值不等式,得|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，(步骤1)

∴不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解时,a的取值范围为(－∞,8]．(步骤2)

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分13分,(1)小问6分,(2)小问7分.)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx,其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．

(1)确定a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值．

【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的极值.

【考查方式】利用导数的运算、函数的定义域、函数的单调性求解.

【难易程度】容易

【试题解析】(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，

故＝2a(x－5)＋.(步骤1)

令x＝1,得f(1)＝16a,＝6－8a，

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1),由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6,故.(步骤2)

(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x＞0)，

＝x－5＋＝.(步骤3)

令＝0，解得x1＝2,x2＝3.

当0＜x＜2或x＞3时, ,故f(x)在(0,2),(3,＋∞)上为增函数;当2＜x＜3时, ,故f(x)在(2,3)上为减函数.(步骤4)

由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2,在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3. (步骤5)

18.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分.)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下：

(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．

【测量目标】古典概型，离散型随机变量的期望.

【考查方式】利用概率公式求解古典概型和事件的概率.

【难易程度】中等

【试题解析】设Ai(i＝0,1,2,3)表示摸到i个红球,Bj(j＝0,1)表示摸到j个蓝球，

则Ai与Bj．(步骤1)

(1)恰好摸到1个红球的概率为

P(A1)＝.(步骤2)

(2)X的所有可能值为0,10,50,200,且

P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝，

P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝，

P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝，

P(X＝0)＝.(步骤3)

综上知X的分布列为

19.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分.)如图,四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC＝CD＝2，AC＝4,∠ACB＝∠ACD＝,F为PC的中点,AF⊥PB．

(1)求PA的长；

(2)求二面角B－AF－D的正弦值．

第19题图  

【测量目标】二面角，空间直角坐标系.

【考查方式】利用线面位置关系建立空间直角坐标系求解.

【难易程度】中等

【试题解析】(1)如图,连接BD交AC于O,因为BC＝CD,即△BCD为等腰三角形.又AC平分∠BCD,故AC⊥BD.以O为坐标原点, , ,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向，建立空间直角坐标系,则OC＝CD＝1,而AC＝4,得AO＝AC－OC＝3,又OD＝CD＝,故A(0,－3,0),B(,0,0)，C(0,1,0),D(,0,0).(步骤1)

第19题图  

因PA⊥底面ABCD,可设P(0,－3,z),由F为PC边中点,F.(步骤2)

又＝,＝(,3,)，

因AF⊥PB,故＝0,(步骤3)

即6－＝0, (舍去)，

所以||＝.(步骤4)

(2)由(1)知＝(,3,0),＝(,3,0),＝(0,2,),

设平面FAD的法向量为n1＝(x1,y1,z1),平面FAB的法向量为n2＝(x2,y2,z2),(步骤5)

由n1＝0,n1＝0，得(步骤6)

因此可取n1＝(3, ,－2)．(步骤7)

由n2＝0,n2＝0，

得故可取n2＝(3, ,2)．(步骤8)

从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为

cos〈n1，n2〉＝，

故二面角B－AF－D的正弦值为.(步骤9)

20.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分.)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2＋b2＋ab＝c2.

(1)求C；

(2)设cos Acos B＝, ,求的值．

【测量目标】余弦定理,同角三角函数的基本关系.

【考查方式】利用余弦定理的变形求解,借助三角恒等变换将所给等式化简求解.

【难易程度】中等

【试题解析】(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，

由余弦定理有cos C＝，(步骤1)

故.(步骤2)

(2)由题意得

＝.(步骤3)

因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，

tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，

tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝.①(步骤4)

因为,A＋B＝，

所以sin(A＋B)＝,(步骤5)

因为cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，

即－sin Asin B＝，

解得sin Asin B＝.(步骤6)

由①得tan2α－5tan α＋4＝0，

解得tan α＝1或tan α＝4. (步骤7)

21.(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A′两点,|AA′|＝4.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ⊥P′Q,求圆Q的标准方程．

第21题图  

【测量目标】椭圆的标准方程,圆锥曲线中的轨迹问题.

【考查方式】利用椭圆的方程,集合性质,平面向量数量积及轨迹方程的求法求解.

【难易程度】较难

【试题解析】(1)由题意知点A(－c,2)在椭圆上，

则.(步骤1)

从而e2＋＝1.

由得，

从而.

故该椭圆的标准方程为.(步骤2)

(2)由椭圆的对称性，可设．

又设M(x，y)是椭圆上任意一点，

则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x02＋

＝(x－2x0)2－x02＋8(x∈[－4,4])．(步骤3)

设P(x1，y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点，

因此,上式当x＝x1时取最小值.(步骤4)

又因x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，

从而x1＝2x0,且|QP|2＝8－x02.

因为PQ⊥P′Q，且P′(x1,－y1)，

所以＝(x1－x0,y1) (x1－x0,－y1)＝0，(步骤5)

即(x1－x0)2－y12＝0.

由椭圆方程及x1＝2x0得，

解得,.(步骤6)

从而|QP|2＝8－x02＝.

故这样的圆有两个,其标准方程分别为,.(步骤7)

22.(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)对正整数n，记In＝{1,2，…，n}，.

(1)求集合P7中元素的个数；

(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．

【测量目标】集合的表示,集合中元素的基本特征,间接证明.

【考查方式】利用集合元素的特征、分类讨论思想和反证法求解论证.

【难易程度】较难

【试题解析】 (1)当k＝4时,中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7－3＝46.(步骤1)

(2)先证:当n≥15时,Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然,设A,B为不相交的稀疏集,使AB＝PnIn,不妨设I∈A,则因1＋3＝22,故3A,即3∈B.同理6∈A,10∈B,又推得15∈A,但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾.(步骤2)

再证P14符合要求,当k＝1时,可分成两个稀疏集之并,事实上,只要取A1＝{1,2,4,6,9,11,13},B1＝{3,5,7,8,10,12,14},则A1,B1为稀疏集,且A1B1＝I14. (步骤3)

当k＝4时,集合中除整数外剩下的数组成集合,可分解为下面两稀疏集的并：,.(步骤4)

当k＝9时,集合中除正整数外剩下的数组成集合,可分解为下面两稀疏集的并:,.(步骤5)

最后,集合中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数,因此，令A＝A1A2A3C,B＝B1B2B3,则A和B是不相交的稀疏集,且AB＝P14.

综上,所求n的最大值为14.注:对P14的分拆方法不是唯一的．(步骤6)