(完整版)相似三角形分析动态平衡问题

一、考点突破

相似关系的寻找。

动态平衡问题还有一类处理方法是使用相似三角形法。

选定研究对象后，倘若物体受三个力作用而平衡，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化转化为三角形边长的大小变化问题进行讨论。

例题1  如图所示，杆BC的B端铰接在竖直墙上，另一端C为一滑轮，重力为G的重物上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡，若将绳的A端沿墙向下移，再使之平衡（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则（　　）

A. 绳的拉力增大，BC杆受压力增大

B. 绳的拉力不变，BC杆受压力增大

C. 绳的拉力不变，BC杆受压力减小

D. 绳的拉力不变，BC杆受压力不变

思路分析：（1）本题比较的是轻绳的A端移动前后的两个平衡状态，两个状态下，滑轮上所受三力均平衡；

（2）B端是铰链，BC杆可以自由转动，所以BC杆受力必定沿杆；

（3）绳绕过滑轮，两段绳力相等，要保证合力沿杆（否则杆必转动），则杆必处于两绳所构成角的平分线上。

方法一： 

选取滑轮为研究对象，对其受力分析，如图所示。绳中的弹力大小相等，即T1＝T2＝G，T1、T2、F三力平衡，将三个力的示意图平移可以组成封闭三角形，如图中虚线所示，设AC段绳子与竖直墙壁间的夹角为θ，则根据几何知识可得，杆对绳子的支持力F＝2Gsin ，当绳的A端沿墙向下移时，θ增大，F也增大，根据牛顿第三定律，BC杆受压力增大。

方法二：

图中，矢量三角形与几何三角形ABC相似，因此，解得F＝·mg，当绳的A端沿墙向下移，再次平衡时，AB长度变短，而BC长度不变，F变大，根据牛顿第三定律，BC杆受压力增大。

方法三：

将绳的A端沿墙向下移，T2大小和方向不变，T1大小不变，但与T2所夹锐角逐渐增大，再使之平衡时，画出两段绳子拉力与轻杆的弹力所构成的封闭三角形如图所示，显然F′大于F，即轻杆的弹力变大，根据牛顿第三定律，BC杆受压力增大。

答案：B

例题2  （辽宁省实验中学模拟）如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一个光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端拴着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对线的拉力F和轨道对小球的弹力N的大小的变化情况是（　　）

A. F大小将不变　　　　　　　　    B. F大小将增大

C. N大小将不变      D. N大小将增大

思路分析：对小球受力分析，其受到竖直向下的重力G，圆环对小球的弹力N和线的拉力F作用，小球处于平衡状态，G大小方向恒定，N和F方向不断在变化，如图所示，可知矢量三角形AGF1与长度三角形BOA相似，得出：，又因为在移动过程中，OA与OB的长度不变，而AB长度变短，所以N不变，F1变小，即F变小，故C选项正确。

答案：C

【综合拓展】极限分析法解决动态平衡问题

运用极限思维，把所涉及的变量在不超过变量取值范围的条件下，使某些量的变化抽象成无限大或无限小去思考解决实际问题的方法。这种方法具有好懂、易学、省时、准确的特点。

示例：A、B两小球由轻杆相连，力F将小球B缓慢向左推进，试分析F的大小变化。

思路：利用极限法，要找到F出现极值的时刻。可以直接从B 被推至竖直墙面时刻入手分析。此时AB只受重力、支持力，水平方向上没有力的作用，故F大小为0。这样就可以初步判断出F是逐渐变小的。接着深入判断F是否会出现先变大后变小的情况即可。

【方法提炼】

A. F逐渐增大，F摩保持不变，FN逐渐增大

B. F逐渐增大，F摩逐渐增大，FN保持不变

C. F逐渐减小，F摩逐渐增大，FN逐渐减小

D. F逐渐减小，F摩逐渐减小，FN保持不变

思路分析：物体在3个力的作用下处于平衡状态，根据矢量三角形法，画出力的矢量三角形，如图所示。其中，重力的大小和方向不变，力F的方向不变，绳子的拉力FT与竖直方向的夹角θ减小，由图可以看出，F随之减小，F摩也随之减小，故选项D正确。

答案：D

（答题时间：30分钟）

1. 如图所示，轻弹簧的一端与物块P相连，另一端固定在木板上。先将木板水平放置，并使弹簧处于拉伸状态，缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大，直至物块P刚要沿木板向下滑动，在这个过程中，物块P所受静摩擦力的大小变化情况是（　　）

A. 先保持不变    B. 一直增大

C. 先增大后减小    D. 先减小后增大

2. 如图所示，在斜面上放两个光滑球A和B，两球的质量均为m，它们的半径分别是R和r，球A左侧有一垂直于斜面的挡板P，两球沿斜面排列并处于静止状态，下列说法正确的是（　　）

A. 斜面倾角θ一定，R>r时，R越大，r越小，则B对斜面的压力越小

B. 斜面倾角θ一定，R＝r时，两球之间的弹力最小

C. 斜面倾角θ一定时，无论半径如何，A对挡板的压力一定

D. 半径一定时，随着斜面倾角θ逐渐增大，A受到挡板的作用力先增大后减小

3. 半径为的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面的距离为，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由到的过程中，半球对小球的支持力和绳对小球的拉力的大小变化的情况是（　　　）

A. 变大，变小　　　　　　　　B. 变小，变大

C. 变小，先变小后变大　　　　D. 不变，变小

4. 竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A，在Q的正上方的P点用细线悬挂一质点B，A、B两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成角，由于漏电使A、B两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点P的拉力T大小（　　）

A. 变小　　

B. 变大　　

C. 不变　　

D. 无法确定

5. 如图所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1。现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小关系为（　　）

A. F1>F2            B. F1＝F2 

C. F16. 如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A。现用力F拉绳，开始时∠BCA＞90°，使∠BCA缓慢减小，直到杆BC接近竖直杆AC。在此过程中，下列说法正确的是（　　）

A. 杆所受力大小不变

B. 杆所受力先减小后增大

C. 绳所受力逐渐减小

D. 绳所受力先增大后减小

7. （广东省汕头市期末）如图所示，运动员的双手握紧竖直放置的圆形器械，在手臂OA沿水平方向缓慢移到A′位置过程中，若手臂OA、OB的拉力分别为FA和FB，下列表述正确的是（    ）

A. FA一定小于运动员的重力G

B. FA与FB的合力始终大小不变

C. FA的大小保持不变

D. FB的大小保持不变 

8.（自贡高三月考）半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN。在P与MN之间放一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止，如图所示。若用外力使MN保持竖直，缓慢地向右移动，在Q到达地面以前，P始终保持静止，在此过程中，下列说法正确的是（    ）

A. MN对Q的弹力逐渐增大

B. 地面对P的摩擦力逐渐增大

C. P、Q间的弹力先减小后增大

D. Q所受的合力逐渐增大

9. 重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力大小F1、F2分别是如何变化的？   

1. D  解析：本题考查共点力的动态平衡问题。对物块进行受力分析可知，由于初始状态弹簧被拉伸，所以物块受到的摩擦力水平向左，当倾角逐渐增大时，物块所受重力在斜面方向的分力逐渐增大，所以摩擦力先逐渐减小，当弹力与重力的分力平衡时，摩擦力减为0；当倾角继续增大时，摩擦力向上逐渐增大，故选项D正确。

2. BC  解析：先对A、B整体受力分析，整体受到三个力的作用，当斜面的倾角θ不变时，不管两球的半径如何变化，这三个力都不变，选项C正确；斜面倾角θ逐渐增大时，采用极限的思维，A受挡板的弹力最大为两者重力之和，则选项D错误；然后采用隔离法对B受力分析，B受三个力，重力不变，斜面对B的支持力方向不变，A对B的弹力方向和斜面的支持力垂直时，A和B之间的弹力最小，此时两球的半径相等，选项B正确；斜面倾角θ一定，R>r时，R越大，r越小，斜面对B的弹力越大，选项A错误。

3. D  解析：如图所示

对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力不变，支持力，绳子的拉力一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力的大小和方向、绳子的拉力的大小和方向，所以还要利用其他条件。实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：

可得：　运动过程中变小，变小。

  运动中各量均为定值，故支持力不变。综上所述，正确答案为选项D。

4. C  解析：有漏电现象，减小，则漏电瞬间质点的静止状态被打破，必定向下运动。对小球漏电前和漏电过程中进行受力分析如图所示。

由于漏电过程缓慢进行，则任意时刻均可视为平衡状态。三力作用构成动态下的封闭三角形，而对应的实物质点、及绳墙和点构成动态封闭三角形，且有如下图所示不同位置时阴影三角形的相似情况。

则有相似比例：

可得：　变化过程、、均为定值，所以不变。正确答案为。

5. B  解析：以小球B为研究对象，分析受力情况，由平衡条件可知，弹簧的弹力N和绳子的拉力F的合力F合与重力mg大小相等，方向相反，即F合=mg，作出力的合成力如图。

由三角形相似得   ，又由题OA=OB=L，得F=F合=mg，可见，绳子的拉力F只与小球B的重力有关，与弹簧的劲度系数k关，所以得到F1=F2。故选B。

6. AC  解析：以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图。

根据平衡条件知，F、N的合力F合与G大小相等、方向相反。据三角形相似得

，又F合=G

得，

现使∠BCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC不变，则得到F变小，N不变，所以绳子越来越不容易断，作用在BC杆上的压力大小不变。选项B、D错误，A、C正确。

7. B  解析：在手臂OA沿水平方向缓慢移到A′位置的过程中，人的受力情况如图所示：

由图可知FA是逐渐减小的，但不一定小于运动员的重力，选项A、C错误；FB是逐渐减小的，选项D错误；FA与FB的合力始终等于人的重力，大小不变，选项B正确。

8. AB  解析：以Q为研究对象，受重力GQ、P对Q的弹力FP、M板对Q的弹力F1的作用而平衡，如图所示：

当Q下移时，FP的方向顺时针偏转，由图可知，挡板的弹力逐渐增大（由图中F1变为F2），P对Q的弹力也逐渐增大（由图中AB1变为AB2），故选项A对，选项C错。Q所受合力始终为零。

9. F1逐渐变小，F2先变小后变大。（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）

解析：由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由图可知，挡板逆时针转动90º的过程中，F2矢量也逆时针转动90º，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大。（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）