河南科技大学数学建模优秀论文

我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.

我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：C

队员签名：1.郑文坡

2.李玉娟

3.叶静斌

日期：2012年8月19日编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：

评阅记录（评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注C题数学建模竞赛成绩评价与预测

一、摘要

近20年来，CUMCM的规模平均每年以20％以上的增长速度健康发展，是目前全国高校中规模最大的课外科技活动之一。本文对数学建模竞赛成绩的评价与预测问题进行了建模、求解和相关分析。

对于问题一，首先对广东赛区各院校2008-2011年建模奖励数据进行统计分析，将决策问题分为三个层次，建立多层次模糊综合评判模型。在该模型中，将因素集{国家一等奖，国家二等奖，省一等奖，省二等奖，省三等奖}看作准则层，将2008-2011各年建模情况看作方案层，结合实际情况，给出改进综合评判模型，解得广东金融学院、华南农业大学的总体综合评定成绩分别2.9474、2.7141,排名第一、第二。

对于问题二，首先建立单年的综合评定模型，得出广州赛区各院校2008-2011年的综合评定成绩。鉴于仅有4组数据，分别采用GM(1，1)法、回归曲线最小二乘法、移动平均法进行建模，最后结合实际情况并根据结果对比以上三种模型，确定了移动平均法方案最优，最终得出广东金融学院、华南农业大学的综合评定成绩分别为0.7369、0.6785，依旧排名第一、第二，较好地解决了问题二。

对于问题三，鉴于附件2所给数据冗杂庞大，故从中抽取2008-2011年的建模数据作为样本，分别统计出本科组和专科组在这四年中每年获得国家一等奖和国家二等奖的人数；将问题一中国家一等奖、二等奖的权重进行归一化处理，建立类似问题一的特殊综合评判模型，得出本科组哈尔滨工业大学、信息工程大学的综合评定成绩分别为5.5117、4.6609；专科组海军航空工程学院、太原理工轻纺与美术学院的综合评定成绩分别为1.3931、1.3095，名列各组第一、第二，问题三得到了较好解决。

对于问题四，除全国竞赛成绩、赛区成绩外，讨论了学生的能力、参赛队数、师资力量、学校的综合实力、硬件设施等因素对建模成绩评估的影响，考虑首先对因素集进行模糊聚类分析，然后用层次分析法来进行评价，用BP神经网络结合Matlab软件来进行预测，理论上问题四能够得到较好地得到解决。

关键词:模糊综合评判模型GM（1，1）模型移动平均法综合评定成绩一、背景

近20年来，CUMCM的规模平均每年以20％以上的增长速度健康发展，是目前全国高校中规模最大的课外科技活动之一。2011年，来自全国33个省/市/自治区(包括和澳门特区)及新加坡、美国的1251所院校、19490个队（其中本科组16008队、专科组3482队）、58000多名大学生报名参加本项竞赛。

二、问题重述

在数学建模活动开展20周年之际，有必要对以往的数学建模工作进行总结及对未来的发展进行预测，所以提出以下问题:

问题一：根据2008-2011年广东赛区的数学建模成绩数据，建立合理的评价模型，并给出给出广东赛区各校建模成绩科学、合理的排序；

问题二：对广东赛区各院校2012年建模成绩进行合理预测；

问题三：根据附件2全国数学建模成绩，试建立评价模型，给出全国各院校自建模竞赛活动开展以来建模成绩的科学、合理的排序；

问题四:如果科学、合理地进行评价和预测，除全国竞赛成绩、赛区成绩外，还需要考虑那些因素？

三、问题分析与思路流程图

3.1问题分析

由题意可知，目标是建立数学模型，对广东赛区各院校数学建模水平进行评价并对2012年成绩进行预测，进而在此基础上对全国各院校建模水平进行合理的评价与预测。

（1）对广东赛区各院校2008-2011年建模奖励数据进行统计分析，将决策问题分为三个层次，建立多层次模糊综合评判模型。在该模型中，将因素集{国家一等奖，国家二等奖，省一等奖，省二等奖，省三等奖}看作准则层，将2008-2011年建模情况看作方案层，通过奖金分配或构造成对比较阵，确定每层的权向量，结合此题，给出一个较为公正的综合评判模型。

（2）基于问题二中各院校有关的数据只有四组且与时间有关，首先想到通过插入数据，然后做累加，使数据变化清晰，接着做累减还原，即GM（1,1）灰色预测模型；为了便于比较并尽可能使广东赛区2012年各高校的建模成绩预测的更为准确，还可采取另外两种方法进行预测，分别为移动平均法，回归曲线最小二乘法。

（3）问题三在问题二的基础上进一步扩大了研究范围，需要对自数学建模竞赛活动开展以来全国各高校的建模成绩进行合理的排序，而国家一等奖和国家二等奖对高校建模总体成绩的贡献度不同，因此可利用问题一算出的有关权重进行归一化处理后，建立类似问题一的综合评判模型，求出各高校的综合评定成绩，以此为据进行排序。

（4)问题四中，关于建模成绩的评价与预测，影响因素有很多，模型虽然考虑了参赛人数，但并没有消除参赛人数的影响，所以还要考虑其它因素的影响。可在准则层中增加以下因素:参赛队数、学校的综合实力、学校所处的地理位置、师资力量、学校的重视程度、硬件设施等多种因素。这样，由于问题的复杂化、因素的多样性，原来的方案也需要改进。首先需要考虑进行进行模糊聚类分析，将因素合理分类，然后利用层次分析法求出各层权重，进而求出最终的组合权向量，从而完成对建模成绩的评价与预测。

3.2思路流程图

图3.2-1问题一层次分析框架图

四、模型假设

针对本问题，建立以下合理假设：

（1）假设年份离当前越近，获奖成绩越能反映出该学校的数模水平；

（2）假设问题一中各奖项所占的权重与与对应奖金所占的比重可以认为正相关；（3）假设问题一中2008-2011年数模中各奖项在这四年所占的权重可以认为一样；（4）假设问题二中广东赛区建模组当年报成全国为几等奖就可以认为为全国几等奖；（5）假设问题三中同组不同赛区所评全国一等、全国二等奖含金量可以认为相同；（6）假设附件中所给数据为学校真实考试成绩，不存在作弊问题的影响；

（7）不考虑意外偶然或其他反常情况。

五、符号定义与说明

这里只给出主要符号的意义，其他符号将在文中给出，在此不再一一赘述

六、模型建立与求解

6.1问题一的模型建立与求解

通过对广东赛区2008-2011年各院校建模奖励数据的分析，决定将决策问题分为三个层次，建立多层次模糊综合评判改进模型。在该模型中，将因素集{国家一等奖，国家二等奖，省一等奖，省二等奖，省三等奖}看作准则层，其中j=1,2,3,4,5分别依次对应集合中所给奖项；将2008-2011年建模情况看作方案层，其中i=1,2,3,4分别对应2008-2011年，准则层的权重可以通过目前河南省建模每个奖项所获奖金来确定，方案层通过构造成对比较阵，确定该层的权向量，接着通过模型解得数据，然后就可以对广东赛区各院校的总体综合评定成绩进行合理、科学的排序。

6.1.1建模前的数据处理

在对附件1的数据整理分析过程中，发现2008、2010年没有统计全国奖。因此参照附件二所给数据进行修复，之后统计出广东赛区2008-2011年各院校数学建模所获各个奖项的具体情况，见下表：符号

定义与说明j

W i

w ij

a S i s (0)()x k (1)()x k j W 'i w '

准则层第j 等奖对目标层的权重方案层第i 年所占总体的权重第i 年获得j 等奖的人数某校总体综合评定成绩

某校第i 年综合评定成绩

第k 年的综合评定成绩

第k 年之前（包括k ）综合评定成绩加和

第j 等奖的所占权重

第i 年所占总体的权重

表6.1-1广东赛区2008-2011各院校获奖情况

学校国家一等奖国家二等奖省一等奖省二等奖省三等奖0809101108091011080910110809101108091011广东金融学院2003023600370531161098华南农业大学0423403210005731010527华南师范大学10012204001054116312215暨南大学珠海校区50125013100220461046中山大学23011102000248111313广东商学院00310105100133251444暨南大学10012014010235003503广州大学00010003000124443213华南理工大学101000011002501970115惠州学院0102301010123462419南方医科大学00010001000200220035广东药学院0001111000131024231广东工业大学00000012100125134415佛山科技学院00000002000041062433韶关学院03100200010135203417电子科技中山学院10001101110143103516韩山师范学院00000001000001042305广东石油化工学院00000001000100130003肇庆学院0002000040042033236五邑大学00001001000041219113北京师范珠海分校00000011000000111003仲恺农业工程学院01100100010013132403东莞理工学院01000000000210002226嘉应学院00000000000003020028深圳大学00002000200101002105汕头大学00000000200101102313广东海洋大学00000100010101100302广东白云学院00000000000000211034浸会国际学院00100000000000010006湛江师范学院0001100000000001004北京理工珠海学院00100000000000010004广州中医药大学000000002000020021广州大学松田学院00100000000000013012广东技术师范学院00000000000001101101中山大学新华学院00000000000000000010

6.1.2准则层权向量W 的求解

基于河南省获国家一等奖、国家二等奖、省一等、省二等、省三等的奖金分别为15000元、7500元、2500元、1500元、800元，通过其分别占的比重作为其各自的权重，进而将其看成问题一中准则层的权重，从而进行合理的预测。可得准则层权向量：

1507525158==273273273273273

T

W （

，，）（0.549,0.275,0.092,0.055,0.029）虽然凭经验给出的权重往往带有主观性，但在一定程度上还是能反映出实际情况，这样得出的评判结果也比较符合实际。

6.1.3方案层权向量w 的求解及一致性检验

多层次模糊综合评价模型的关键在于利用层次分析法确定权重。在对方案层权向量的求解过程中，认为年份距离现在越近，越能反应出该学校的建模水平，基于此给出如下成对比较阵：

11113570.06250.06250.06250.06250.062533310.1875

0.18750.18750.18750.187557550.37500.37500.37500.37500.375051370.43750.43750.43750.43750.437577713

5

A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥

⎢

⎥⎢⎥⎢⎥=−−−−→−−−→⎢

⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

列向量归一化算术平均w ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦

显然得

4.000

λ=,一致性指标

4.0004

041CI -=

=-，一致性比率CR<0.1通过。

6.1.4模糊综合评判模型的建立与求解

结合本题，分析后认为一个学校建模水平的高低与该校获奖的数目及获奖的含金量

有重要关系，进而将多层次模糊综合评判模型加以改进，从而得出符合实际的数学模型，各高校建模水平的高低可通过以下模型进行预测：

45

11

j i ij

i j S W w a ===∑∑注：含金量可以理解为各奖项对应的权重

根据上述模型计解得：

表6.1.4-2

广东赛区2008-2011各高校建模成绩总体综合评定情况

名次学校总体成绩名次学校总体成绩1广东金融学院 2.947419韩山师范学院0.30982华南农业大学 2.714120北京师范珠海分校0.30723广东商学院 1.875221浸会国际学院0.30614暨南大学珠海校区 1.847322东莞理工学院0.29935华南师范大学 1.672323五邑大学0.29716中山大学 1.5424广东石油化工学院0.2917暨南大学 1.121325北京理工珠海学院0.28078广州大学0.932226广州大学松田学院

0.27169华南理工大学0.914627嘉应学院0.202310韶关学院0.904928广东海洋大学0.181511惠州学院0.883829深圳大学0.168812广东工业大学0.3130汕头大学0.151613南方医科大学0.62631广东白云学院0.150514广东药学院0.60132湛江师范学院0.121115仲恺农业工程学院0.568133广州中医药大学0.099216佛山科技学院0.504334广东技术师范学院0.050917电子科技中山学院

0.470935中山大学新华学院

0.0109

18

肇庆学院

0.3349

36

6.1.5问题一的结果分析与模型评价

在对问题一建立模型时，认为高校的建模成绩与获奖多少、获奖含金量和年份有关，通过层次分析法，最终建立的模糊综合评判模型还是较为清晰的反映了广东赛区各院校的建模成绩，且与实际情况大致一致，说明本问题中建立的模型是准确有效的。一般常理上，认为一个学校数学建模强弱是其获国家一等，国家二等数目的多少。也就是说，在最终的模糊评判模型中忽略各院校参赛队伍数的影响是可以的，但也在一定程度对建模总体综合评定成绩评定的准确性造成影响。

6.2问题2模型的建立与求解

通过对问题二的分析，首先给出以下模型来反应各院校2008-2011的各学年的数学建模成绩，模型如下：

5

1

i j

i ij

j s W

w a ==

∑通过上述模型得到各院校2008-2011的各学年建模综合评定成绩，如下表所示：

学校08建模成绩09建模成绩10建模成绩11建模成绩广东金融学院0.07950.20870.5715 2.0878

华南农业大学0.10960.51110.8036 1.28

广东商学院0.01790.10410.7024 1.0509暨南大学珠海校区0.271600.4346 1.141

华南师范大学0.09120.20930.0769 1.295

中山大学0.11580.50250.05330.9179

暨南大学0.08430.0960.10280.8383

广州大学0.01230.05210.09340.7744

华南理工大学0.069900.23740.6073

韶关学院0.01580.50210.2580.1291

惠州学院0.04480.3270.09340.4187

广东工业大学0.01990.07330.13430.4156

南方医科大学000.07390.5521

广东药学院0.03470.07260.03260.4611仲恺农业工程学院0.00710.22430.22650.1103

佛山科技学院0.01740.03210.03260.4222

电子科技中山学院0.070.12680.03150.2363肇庆学院0.05340.10050.03260.1483

韩山师范学院0.00360.026600.2796

北京师范珠海分校0.001800.12340.182

注：由于学校较多，表中仅给出6.1-2中综合建模成绩排名前20的学校。

由数据项处理后数据分析得出，该模型基本能够反映广东赛区一院校当年数学建模的总体水平。在此基础上建立模型分析建模成绩指数在时间轴上变化的内在规律，就能够预测广东赛区2011年各院校的建模综合评定成绩，即i s。为了提高成绩预测的精确度，下面以广东金融学院、华南农业大学、广州大学、广东工业大学、佛山科技学院等五所高校为例，分别采用GM(1，1)灰色预测法、回归曲线最小二乘法、移动平均法进行建模分析。

6.2.1GM(1，1)灰色预测法

灰色系统理论把一切随机变量都看作灰色数-即在指定范围内变化的所有白色数的全体。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

首先对数据进行分析时我们发现建模所给的数据比较少，为了增加预测的准确度，在各院校每年建模成绩之间插入一个相邻两年份成绩的平均值，得下表：

表6.2.1-3

GM （1,1）灰色预测模型初始序列表

现以广东金融学院为例，用GM(1，1)灰色预测法进行建模。

1、对原始数据建模(0)

x 作一次累加

原始数据：(0)

x =（0.079，0.1441，0.2087，0.3901，0.5715，1.3297，2.0878）得

(1)x =（0.0795，0.2236，0.4323，0.8224，1.3939，2.7236，4.8114)

学校成绩08插入值1成绩09插入值2成绩10插入值3成绩11广东金融学院0.07950.14410.20870.39010.5715 1.3297 2.0878华南农业大学0.10960.31040.51110.65740.8036 1.0467 1.28广东商学院0.01790.06100.10410.40330.70240.8767 1.0509暨南大学珠海校区0.27160.13580.00000.21730.43460.7878 1.1410华南师范大学0.09120.15030.20930.14310.07690.6860 1.2950中山大学0.11580.30920.50250.27790.05330.48560.9179暨南大学0.08430.09020.09600.09940.10280.47060.8383广州大学0.01230.03220.05210.07280.09340.43390.7744华南理工大学0.06990.03500.00000.11870.23740.42240.6073韶关学院0.01580.25900.50210.38010.25800.19360.1291惠州学院0.04480.18590.32700.21020.09340.25610.4187广东工业大学0.01990.04660.07330.10380.13430.27500.4156南方医科大学0.00000.00000.00000.03700.07390.31300.5521广东药学院0.03470.05370.07260.05260.03260.24690.4611仲恺农业工程学院0.00710.11570.22430.22540.22650.16840.1103佛山科技学院0.01740.02480.03210.03240.03260.22740.4222电子科技大学中山学院0.070.10160.12680.0792

0.03150.13390.2363肇庆学院0.05340.07700.10050.06660.03260.09050.1483韩山师范学院0.00360.01510.02660.01330.00000.13980.2796北京师范大学珠海分校0.00180.00090.00000.0617

0.12340.1527

0.1820

2、构造数据矩阵B 及数据向量

0.151610.328010.627411.108212.058713.76751B -⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪-=

⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝

⎭

0.14410.20870.39010.57151.32972.0878Y ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪= ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

3、计算出α

∧

()10.55590.0436T T B B B Y ααμ∧

--⎛⎫⎛⎫

=== ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭得0.5559

α=-0.0436

μ=4、建立模型

(1)

(1)dx ax dt

μ+=解得：

(1)(1)0.5559(1)((1)0.15790.0784k k x k x e e αμμ

αα

--+=-

+=-5、求生成数列值^

(1)

(1)x k +及模型还原值^

(0)

(1)

x k +令1,2,3,4,5,6k =，由上面的时间响应函数可算得，

()

(1)

()0.0795,0.1969,0.4017,0.7587,1.3811,2.4663,4.3583x k ∧

=由^^^

(0)(1)

(1)

()()(1)x k x k x k =--，取2,3,4,5,6,7,k =得

()

(0)

()0.0795,0.1174,0.2047,0.3570,0.6224,1.0852,1.21x k ∧=6、残差检验

()

(0)

(0)

()()(),1,2,7error k x k x k k ∧=-=⋅⋅⋅残差()

(0)

(0)

()()

()1,2,7x k x k e k k ∧-=

=⋅⋅⋅相对残差

7

1

1()()

7e e k e k ==∑平均相对残差有MATLAB 求的平均相对残差0.0937ψ=，残差检验可以认为通过。7、预测广东赛区2012年各院校综合评定成绩

用MATLAB 软件求得X9=5.7518

其他四个学校可以按以上方法求得，要进行残差检验，如下表所示：表6.2.1-4五所高校建模成绩灰色预测结果及检验学校12年成绩平均相对残差检验通过与否广东金融学院 5.75180.0937通过华南农业大学 2.1470.0519通过广州大学 1.04950.5819通过广东工业大学0.90370.14未通过佛山科技学院0.26190.5595未通过

6.2.2回归曲线最小二乘法

数据拟合的具体做法是根据实际得到的数据之间存在的相关关系，采用适当的方

法，建立一个数学模型，给出一个用来表示各个变量之间的数学表达式，并在坐标系中画出一条近似曲线，以反映数据内在的变动趋势。通过对数据分析，做散点图，发现各个散点的分布近似于一条直线，可采用线性模型*

(b )y a b x a =+、为待定系数来描述，为使所做的直线与原来的各个散点靠近，既保证观测值y 与构造出来的拟合值的离差尽可能地小，运用最小二成原理进行数据拟合的关键是是构造如下直线模型：

**+(1,2,,),(1,2,3,),i i i i i i i y a bx i n y y y a bx i n δ===-=--= 记称为误差。

问题转化为：

*

2i i 1

y =a (1,2,3,),=m in,b n

i i bx i n Q a δ=+==∑ 求直线模型使得误差平方和最小，即、可称为回归系数。

根据微积分学求极值原理，建立如下正则方程组：

1

12()02()0

n

i i i n

i i

i Q

y a bx a Q y a bx b ==∂⎧=---=⎪⎪∂⎨∂⎪=---=⎪∂⎩

∑∑xy

a i i

xx y x b n n L b L ⎧=-⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩

∑∑解得2

2

11111

11()n

n n

n n xx i i xy i i i i

i i i i i L x x L x y x y n n ======-=-∑∑∑∑∑其中，计算出a 、b 值后，还要进行相关性检验。所谓相关性检验是指判定y 与x 的相关程度，

本例中n=4,查表得相关系数的临界值为0.874。

表6.2.2-5五所高校建模成绩回归曲线最小二乘法预测结果

学校a b2012成绩r值>0.874

广东金融学院-0.86010.6388 2.3338是

华南农业大学-0.27980.3833 1.6368是

广州大学-0.340.23280.815是

广东工业大学-0.15130.12480.4728是

佛山科技学院0.03060.05210.291是

6.2.3移动平均法

移动平均法是用一组最近的实际数据值来预测未来值的常用方法，适用于即期预测，其基本思想是：根据时间序列资料，逐项推移，依次计算包含一定项数的序时平均值，以反应长期趋势的方法。

依据移动平均法的步骤对表6.2-2进行数据处理，利用Excel软件辅助分析，解出五所高校2012—2015年建模综合评定成绩预测值。

五校建模综合评定成绩预测结果如下表6.2.3-1所示：

6.2.4三种方法的模型结果分析与比较

上述三种方法均能对广东赛区2012年建模综合评定成绩进行预测，对比表6.2.1-4、表6.2.1-5和表6.2.1-6，经过观察、比较和结合现实情况分析，可以看到：灰色模型得到的成绩预测结果具有很大的跳动性，即使事先增加了插入值，但佛山科技学院等还是无法通过残差检验，显然该模型存在很大的缺点，同时结合生活实际进行分析，高校的建模成绩实际上会随着外界竞争和内部投入而缓慢上升最终会渐趋于稳定；回归曲线最小二乘法模型中，表6.2.1-5中显示的成绩预测结果比较符合生活实际，但在做散点图时可取的点较少，只有4个，缺乏说服力，虽然用最小二乘法已经尽可能的减少了误差；移动平均法模型得到的成绩预测结果同样比较符合生活实际，且计算其标准误差都很小，最大也不超过1/6，说明利用移动平均法预测的成绩结果是比较准确的。

综上所述：三种方法建立的成绩预测模型中，移动平均法模型最优，回归曲线最小二乘法次之，GM(1,1)灰色预测模型最差。故，最终选取移动平均法对广东赛区2012

建模综合评定成绩进行预测，所得结果如下表：

表6.2.4-7广东赛区2012年建模成绩预测结果

名次学校12成绩名次学校12成绩1广东金融学院0.736911惠州学院0.22102华南农业大学0.678512广东工业大学0.16083广东商学院0.468813南方医科大学0.15654暨南大学珠海校区0.461814广东药学院0.15035华南师范大学0.418115仲恺农业工程学院0.14216中山大学0.397416佛山科技学院0.12617暨南大学0.280417电子科技大学中山学院

0.11788广州大学0.233118肇庆学院0.08379华南理工大学0.228719韩山师范学院0.077510

韶关学院

0.2263

20

北京师范大学珠海分校

0.0768

注:由于学校太多，仅给出前20名作以说明。

6.3问题三的模型建立与求解

问题三在问题二的基础上进一步扩大了研究范围，需要对自数学建模竞赛活动开展以来全国各高校的建模成绩进行合理的排序，而国家一等奖和国家二等奖对高校建模总体成绩的贡献度明显不同，因此可利用问题一算出的有关权重通过归一化处理后建立类似于问题一的特殊综合评判模型，求出各高校的综合评定成绩，可以以此为据进行排序。

6.3.1确定全国一等、全国二等分别所占的权重在问题一中得到准则层的权向量：

1507525158==273273273273273

T

W （

，，）（0.549,0.275,0.092,0.055,0.029）将前两个权重进行归一化处理得到全国一等和全国二等分别占的权重为：

120.667,0.333W W ''==。

6.3.2

问题三的数学模型建立与求解

鉴于自数学建模竞赛活动开展以来全国各高校各年度的建模成绩原始数据量冗杂庞大，结合各高校的建模成绩会随着外界竞争和内部投入而渐趋于稳定状态的生活实际，将所有源数据作为总体，从中抽取2008—2011年的建模数据作为样本进行分析，分别统计本科组和专科高校这四年中每年获得国家一等奖和国家二等奖的个数。

根据实际情况，给出如下数学模型：

42

j i i 1

1

=ij

j S W w a =='∑∑全国综合成绩 注：i 含义同问题一，本例中j=1,2分别对应数模国一等，国二等。

表6.3.2-1本科组全国各高校建模成绩前25名获奖人数及排名

名次学校

一等奖人数二等奖人数

总成绩0809101108091011

1哈尔滨工业大学22279787 5.5117 2信息工程大学54443655 4.6609 3西南财经大学34155866 4.5548 4山东大学23336777 4.5329 5南京大学43513759 4.5121 6北京航空航天大学21536747 4.4095 7中南大学34236677 4.3873 8重庆邮电大学21347956 4.3256 9国防科学技术大学44316678 4.2407 10武汉大学244344 4.1196 11东南大学32237875 3.9919 12北京邮电大学31406969 3.96 13南京邮电大学33321757 3.9300 14厦门大学021310695 3.8034 15华中农业大学13215769 3.8027 16理工大学33152635 3.7242 17西南交通大学22324457 3.6388 18北京理工大学23244544 3.5993 19浙江大学44424244 3.5376 20复旦大学01534244 3.5376 21浙江工业大学00332438 3.4518 22西北工业大学33244443 3.4335 23三峡大学02410149 3.4099 24北京大学24414254 3.2869 25西安交通大学212275 3.2636

表6.3.2-2全国各高校建模成绩专科组前20名获奖人数及排名

6.3.3问题三的结果分析与模型评价

从上述表格可以很清晰地看出各高校建模综合评定成绩的排名，本问题首先结合问题一和现实实际情况求出国家一等，国家二等分别所占的权重，然后给出问题三对应的评价模型，对全国各高校数学建模成绩进行排序，所得的结果基本能够反应源数据总体的排序，据此认定，模型三是较为合理的、准确的。

6.4问题4模型的建立与求解

如果科学、合理地进行评价和预测，除全国竞赛成绩、赛区成绩外，还需要考虑那些因素？

在增加了参赛队数、学校的综合实力、学校的地理位置、师资力量、学校的重视程度、硬件设施等因素后，可以考虑用层次分析法来进行评价，用BP神经网络结合MATLAB 软件来进行预测。

由于影响建模成绩的因素有很多，所以在建立层次结构模型之前，有必要首先对影响数学建模的主要因素进行模糊聚类分析，接着建立层次结构模型。具体评价方法如下：通过层次分析法建立层次结构模型，构造成对比矩阵，计算权向量并作一致性检验，接

名次学校

一等奖人数二等奖人数

总成绩08091011080910111海军航空工程学院34004340 1.3931

2太原理工轻纺美术学院02101232 1.30953广东科学技术职业学院02210101 1.24974山西工程职业技术学院10120220 1.245成都电子机械专科学校

22010130 1.06116西安通信学院20201311 1.06097滨州学院00300002 1.04098北京财贸职业学院001210010.999南京工业职业技术学院002000120.915310南京化工职业技术学院020103010.873911重庆通信学院102011010.770212成都纺织高等专科学校000210100.7213北京工业职业技术学院210012020.4214赣南师范学院科技学院

002001000.562515韶关学院020001200.561416石家庄经济学院210020200.4917山西煤炭职业技术学院210000110.478218浙江机电职业技术学院210004000.457419海警高等专科学校200110000.395920

肇庆科技职业技术学院

0200

0200

0.3746

着计算组合权向量并作一致性检验等一系列过程，最后得到方案层对总目标的排序。组合权向量计算公式如下：第s 层对第1层的组合权向量()

()(1)(3)(2)s s s w

W W W w -= ,其中W (p )是由第p 层对第p -1层

权向量组成的矩阵。运用此种方法运用此种方法简洁清晰，结果明了。

预测方法如下：运用MATLAB 软件辅助BP 神经神经网络，通过反向传播来不断调整网络的权值，使网络的误差平方和最小。通过任意选定一组权值，将给定的目标输出直接作为线性方程的代数和来建立线性方程组，解得待求权。

首先进行模糊聚类分析，接着按层次分析法和BP神经网络法分别来评价和预测，可以很好地解决多目标多层次问题，且结果清晰可靠。

七、模型的评价与推广

7.1模型的优点

（1）多层次综合评判模型是一种常用的综合评价方法之一，通过建立合适的综合评判模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果，能够对被评价对象所进行的客观、公正、合理的全面评价，有真实、直观、可靠的优点，故应用日趋广泛。

（2）灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息未知”的“小样本，贫信息”不确定性问题，并依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运动的现实规律。其特点是“少数据建模”，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象，且具有可检验性，包括：建模可行性的级比检验（事前检验），残差检验、关联度检验和后验差检验。

（4）移动平均法是一种简单平滑预测技术，当时间序列的数值由于受变动和随机波动的影响，起伏较大，不易显示出事件的发展趋势时，使用移动平均法可以消除这些因素的影响，显示出事件的发展方向与趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。

7.2模型的缺点

（1）在对准则层权向量的求解过程中，通过奖金额确定权重，虽然能够解决问题，但是理论上是不太科学的；

（2）在对方案层权向量的求解过程中，在利用比较因子构造成比较阵中，所给矩阵能虽能说明问题，但矩阵给的欠科学；

（3）对各高校的数学建模成绩进行排序时，通过模型采用的加权法比较粗糙，处理数据的灵敏度和准确性不够；

（3）移动平均法模型中，加大移动平均法的期数会使平滑波动效果更好，但会使预测值对数据实际变动更不敏感；移动平均值并不能总是很好地反映出趋势。由于是平均值，预测值总是停留在过去的水平上而无法预计，会导致将来更高或更低的波动。

7.3模型的推广

（1）灰色预测是就灰色系统所做的预测。在人们的社会、经济活动或科研活动中，会经常遇到信息不完全的情况。如在农业生产中，即使是播种面积、种子、化肥、灌溉等

信息完全明确，但由于劳动者技术水平、自然环境，气候条件、市场行情等信息不明确，仍难以准确地预计出产量、产值；再如生物防治系统，虽然害虫与其天敌之间的关系十分明确，但却往往因为人们对害虫与诱饵、天鱼饵料、某一天敌与其它天敌、某一害虫与其它害虫之间的关联信息不够了解，使得生物防治难以收到预期效果；价格体系的调整与改革，常常因缺乏民众心理承受力的信息，以及某些商品价格变动对其它商品价格影响的确切信息而举步维艰等，灰色预测在这些领域中都有较好的运用。

（2）利用综合评判模型科学合理的排序的方法可以运用于其他类似的排序模型中，如城市排序。

（3）最小二乘法贯穿于众多模型之中，在处理众多实际问题中也均有应用；移动平均法在预测公司产值产能、会计财经、市场经济调研、市场预测和项目决策等多方面均有应用。

八、参考文献

[1]白凤山，数学建模.上册，哈尔滨工业大学出版社，2003年4月

[2]卓金武，MATLAB在数学建模中的应用，北京航空航天大学出版社，2011年4月

[3]谢季坚，模糊数学方法及其应用(第三版)，华中科技大学出版社，2006年

[4]姜启源，谢金星，数学模型（第三版）,高等教育出版社，2003年

[5]刘思峰，谢乃明，灰色系统理论及其应用（第四版），高等教育出版社，2003年九、附录

9.1MATLAB程序：GM（11）模型求解

X0=[0.0795,0.1441,0.2087,0.3901,0.5715,1.3297,2.0878]; X1(1)=X0(1)

for k=2:7%计算累加值

X1(k)=X1(k-1)+X0(k)

end

for k=2:7%计算数据矩阵B的第一列数据

z(k)=(1/2)*(X1(k)+X1(k-1))

End

B=[(-z(2:7))'ones(6,1)]%构造数据矩阵B

Y=(X0(2:7))'

alpha=inv(B'*B)*B'*Y%计算参数矩阵

u=alpha(2)/alpha(1)

v=X0(1)-u

u=alpha(2)/alpha(1)%计算出预测模型

v=X0(1)-u

for n=0:7%计算数据估计值的累加数列

X2(n+1)=v*exp(-alpha(1)*n)+u

end

X2

X3(1)=X2(1)

for m=1:7%计算累减值

X3(m+1)=X2(m+1)-X2(m)

end

daita0=abs(X0-X3(1:7))%绝对残差

kesi=daita0./X0%相对残差

meankesi=mean(kesi)%平均相对残差

X8=X3(8)

X2(9)=v*exp(-alpha(1)*8)+u

X3(9)=X2(9)-X2(8)

X9=X3(9)