等腰三角形的判定与性质-初中数学习题集含答案

一．选择题（共6小题）

1．（2019秋•丰台区期末）如图，每个小方格的边长为1，，两点都在小方格的顶点上，点也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点的个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2019秋•海淀区校级月考）在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，则下列说法错误的是　　

A．和是等腰三角形 B．

C．的周长是8 D．

3．（2018秋•海淀区校级期中）如图，已知中，，，分别是角平分线，且，分别交于，于，则的周长为　　

A．12 B．24 C．36 D．不确定

4．（2017秋•北京期中）如图，中，是的平分线，交于点，若，，则的长为　　

A．11 B．12 C．13 D．14

5．（2013秋•石景山区期末）如图，在中，、分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则周长为　　

A．6 B．7 C．8 D．10

6．（2013秋•西城区期末）如图，中，是的平分线，交于点，若，，则　　

A．11 B．12 C．13 D．14

二．填空题（共7小题）

7．（2018秋•东城区期末）已知在中，．

（1）若，在中画一条线段，能得到2个等腰三角形 不包括，这2个等腰三角形的顶角的度数分别是　　；

（2）若，当　　时，在等腰中画一条线段，能得到2个等腰三角形 不包括．（写出两个答案即可）

8．（2018秋•顺义区期末）如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为　　．

9．（2019秋•海淀区校级期中）中，．设的面积为，

①图1中，为中点，，，，是上的四点；

②图2中，，，，，，，交于点；

③图3中，，为中点，．

其中，阴影部分面积为的是　　（填序号）．

10．（2017秋•房山区期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知其中有一边的长为，那么该等腰三角形的腰长为　 　．

11．（2018秋•西城区校级期中）如图，中，是的平分线，交于点，若，，则的长为　　．

12．（2017秋•海淀区期末）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为　 　．

13．（2015秋•北京校级期中）如图，中，、分别平分、，，，，则的周长　 　．

三．解答题（共2小题）

14．（2019秋•大兴区期末）如图，在中，点，在边上，，且．求证：．

15．（2019秋•朝阳区校级期中）已知，如图，在中，平分，，于，请你通过观察和测量，猜想线段、之和与线段有怎样的数量关系，并证明你的结论．猜想，，有怎样的数量关系，并证明你的结论．

等腰三角形的判定与性质（北京习题集）（教师版）

参与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．（2019秋•丰台区期末）如图，每个小方格的边长为1，，两点都在小方格的顶点上，点也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点的个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数．

【解答】解：当为腰时，点的个数有2个；

当为底时，点的个数有1个，

故选：．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．

2．（2019秋•海淀区校级月考）在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，则下列说法错误的是　　

A．和是等腰三角形 B．

C．的周长是8 D．

【分析】由角平分线以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定和是等腰三角形，所以，，的周长被转化为的两边和的和，即求得的周长为8．

【解答】解：平分，

，

，

，

，

．

同理，．

和是等腰三角形；

的周长；

，

，

，

，

故选项，，正确，

故选：．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

3．（2018秋•海淀区校级期中）如图，已知中，，，分别是角平分线，且，分别交于，于，则的周长为　　

A．12 B．24 C．36 D．不确定

【分析】由，分别是角平分线求得，，利用平行线性质求得，，，利用等量代换求得，，即可解题．

【解答】解：由，分别是角平分线得，，

又，，，

，，

，．

，，

即，也就是的周长是24．

故选：．

【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线行至的理解和掌握，此题主要求得是等腰三角形，这是解答此题的关键．

4．（2017秋•北京期中）如图，中，是的平分线，交于点，若，，则的长为　　

A．11 B．12 C．13 D．14

【分析】先根据角平分线的性质得出，再根据平行线的性质得出，故可得出，再根据即可得出结论．

【解答】解：中，是的平分线，

，

，，，

，

，

．

故选：．

【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．

5．（2013秋•石景山区期末）如图，在中，、分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则周长为　　

A．6 B．7 C．8 D．10

【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，即可得出；求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解．

【解答】（1）证明：是，平分线的交点，

，，

，

，，

，，

，，

，

即，

的周长，

，，

的周长，

故选：．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．

6．（2013秋•西城区期末）如图，中，是的平分线，交于点，若，，则　　

A．11 B．12 C．13 D．14

【分析】先根据角平分线的性质得出，再根据平行线的性质得出，故可得出，再根据即可得出结论．

【解答】解：中，是的平分线，

，

，，，

，

，

．

故选：．

【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．

二．填空题（共7小题）

7．（2018秋•东城区期末）已知在中，．

（1）若，在中画一条线段，能得到2个等腰三角形 不包括，这2个等腰三角形的顶角的度数分别是　，　；

（2）若，当　　时，在等腰中画一条线段，能得到2个等腰三角形 不包括．（写出两个答案即可）

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；

（2）当或时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）如图1所示：，，

当，则，则，

则，

这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；

故答案为：，；

（2）当或时，在等腰中画一条线段，能得到2个等腰三角形，

故答案为：或．

【点评】此题主要考查了应用作图与设计以及等腰三角形的性质，得出分割图形是解题关键．

8．（2018秋•顺义区期末）如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为　7个　．

【分析】①以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；

②以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；

③以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；

④以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；

⑤作的垂直平分线交于，则是等腰三角形；

⑥作的垂直平分线交于，则和是等腰三角形．

【解答】解：如图：可以画出7个等腰三角形；

故答案为7．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．

9．（2019秋•海淀区校级期中）中，．设的面积为，

①图1中，为中点，，，，是上的四点；

②图2中，，，，，，，交于点；

③图3中，，为中点，．

其中，阴影部分面积为的是　①②③　（填序号）．

【分析】由等腰三角形的性质可判断①，由等边三角形的性质可判断②，由可证，可得，即可判断③．

【解答】解：如图1，，点是中点，

，垂直平分，

，，，，，

阴影部分面积为；

如图2，，，

是等边三角形，且，，，

垂直平分，垂直平分，垂直平分，

，，，

阴影部分面积为；

如图3，连接，

，，为中点，

，，，

，且，

，且，，

，

阴影部分面积为；

故答案为：①②③．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用等腰三角形的性质是本题的关键．

10．（2017秋•房山区期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知其中有一边的长为，那么该等腰三角形的腰长为　6　．

【分析】分已知边是腰长和底边两种情况讨论求解．

【解答】解：是腰长时，底边为，

，

、、不能组成三角形；

是底边时，腰长为，

、、能够组成三角形；

综上所述，它的腰长为．

故答案为：6；

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．

11．（2018秋•西城区校级期中）如图，中，是的平分线，交于点，若，，则的长为　13　．

【分析】先根据角平分线的性质得出，再根据平行线的性质得出，故可得出，再根据即可得出结论．

【解答】解：中，是的平分线，

，

，，，

，

，

．

故答案为：13．

【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．

12．（2017秋•海淀区期末）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为　10　．

【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将三角形周长转化，求出即可．

【解答】解：为的平分线，为的平分线，

，，

，

，，

，，

，，

，

，，

周长为，

故答案为：10

【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

13．（2015秋•北京校级期中）如图，中，、分别平分、，，，，则的周长　　．

【分析】由为的平分线，得到一对角相等，再由与平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换得到，再由等角对等边得到，同理，然后利用三边之和表示出三角形的周长，等量代换得到其周长等于的长，由的长即可求出三角形的周长．

【解答】解：平分，

，

又，

，

，

，

同理，

，

则的周长．

故答案为．

【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．

三．解答题（共2小题）

14．（2019秋•大兴区期末）如图，在中，点，在边上，，且．求证：．

【分析】作于点，由，可得，证出，则结论得证．

【解答】证明：作于点，

，

，

，

，

即，

，

．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和中垂线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．

15．（2019秋•朝阳区校级期中）已知，如图，在中，平分，，于，请你通过观察和测量，猜想线段、之和与线段有怎样的数量关系，并证明你的结论．猜想，，有怎样的数量关系，并证明你的结论．

【分析】根据题目提供的条件和图形中线段的关系，做出猜想，过点作，与的延长线交于点，进一步证明，从而得到，由，，可得．

【解答】猜想：，

证明：过点作，与的延长线交于点，

则，，

平分，

，

，

，

又于，

，

即，

，

，

又，

，

，

，

．

，，

．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是正确地做出猜想，然后向着这个目标努力即可．