一、基本概念
1．圆的运动定义：把线段OP的一个端点O ，使线段OP绕着点O在 旋转 ，
另一端点P运动所形成的图形叫做圆，其中点O叫做 ，线段OP叫做 .以O为圆心的圆记作 .
2圆的集合定义：圆是到 的点的集合.
3．点与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，那么
点P在圆内 ；
点P在圆上 ；
点P在圆外 .
二、测试题
填空题
1.到定点O的距离为2cm的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆.
2.正方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上.
3.矩形ABCD边AB=6cm,AD=8cm，
(1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A，则点B在⊙A______，点C在⊙A_______，点D在⊙A________，AC与BD的交点O在⊙A_________；
(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是_______.
4.一个点与定圆最近点的距离为4cm, 与最远点的距离是9cm，则圆的半径是
解答题
5.已知：如图，BD、CE是△ABC的高，试说明点Ｂ、C、D、E在同一个圆上．
6.如图，已知在⊿ABC中，∠ACB=900,AC=12,AB=13,CD⊥AB,以C为圆心，5为半径作⊙C，试判断A,D,B三点与⊙C的位置关系
7.如图，一根长4米的绳子，一端拴在树上，另一端拴着一只小狗.请画出小狗的活动区域.
8.证明：对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上.
圆(2)
一、基本知识
1．圆的集合定义： .
2．点与圆的三种位置关系： 、 、 .
3.已知⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，则OP的长可能是（ ）
A. 3 cm B. 4cm C. 5cm D.6cm
4．与圆有关的概念
①弦：连结圆上任意两点的 叫做弦.
②直径：经过 的弦叫做直径.
③弧分为：半圆（ 所对的弧叫做半圆）、劣弧（小于 的弧）和优弧（大于
的弧）.
④圆心角：定点在 的角叫做圆心角.
⑤同心圆： 相同， 不相等的两个圆叫做同心圆.
⑥等圆：能够互相 的两个圆叫做等圆.
⑦等弧：在 或 中，能够互相 的弧叫做等弧.
5.同圆或等圆的性质：在同圆或等圆中，它们的 相等.
二、测试题
填空题
1．已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为________cm．
2.过圆内一点可以作出圆的最长弦_____条．
二、选择题
3.下列语句中，不正确的个数是（ ）
①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内任一定点可以作无数条直径．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.下列语句中，不正确的是（ ）
A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形
B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．当圆绕它的圆心旋转°57′时，不会与原来的圆重合
D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
5.等于圆周的弧叫做（ ）
A．劣弧 B．半圆 C．优弧 D．圆
6．如图，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
7.以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
解答题
8.如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，求∠A的度数．
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数．
10.如图，CD是⊙O的弦，CE=DF，半径OA、OB分别过E、F点. 求证：△OEF是等腰三角形.
11.如图，在⊙O中，半径OC与直径AB垂直，OE=OF,则BE与CF的位置关系如何？并说明理由
圆的对称性（3）
一、基本知识
1．圆的旋转不变性
圆具有旋转不变的特征，即一个圆绕着它的圆心旋转 一个角度后，仍与原来的圆 .
2．圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 .
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 ，那么它们所对应的其他各组量都分别 .
3.圆心角度数的性质
①10的角：将定点在圆心的角分成360份，每一份的圆心角是 .
②10的弧： 所对的弧叫10的弧.
③圆心角的 和它对的弧的 相等.
二、测试题
填空题
1．如图，AB、CE是⊙O的直径，∠COD=60°，且弧AD=弧BC，那么与∠AOE相等的角有_____，与∠AOC相等的角有_________．
2．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________．
3．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____．
4．如图，AB为圆O的直径，弧BD=弧BC，∠A=25°，则∠BOD=______．
5．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，M、N分别为AB、CD的中点，且∠AMN=∠CNM，AB=6，则CD=_______．
选择题
6．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等
C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对
7．如图4，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC=BC B．弧AN=弧BN C．弧AM=弧BM D．OC=CN
8．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（ ）
A．4 B．8 C．24 D．16
9．如图5，在半径为2cm的圆O内有长为2cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为（）
A．60° B．90° C．120° D．150°
10．如图6，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．弧BD=弧BC
11．如图7所示，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC=（ ）
A．140° B．135° C．130° D．125°
12．如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：弧AC=弧BD．
圆的对称性（4）
一、基本概念
1．圆的对称性
圆是 图形，过 的任意一条直线都是它的对称轴.
2．垂径定理
垂直于弦的直径平分 ，并且平分 .
二、测试题
填空题
1．已知⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的直径是_____cm．
2．如图1，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上任意一点，则OP的取值范围是_______．
(1) (2) (3)
3．如图2，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD=120°，OE=3厘米，则OD=___cm．
4．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短弦长是_______，最长的弦长_______．
5．如图3，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于D，若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为________cm．
6．⊙O的直径是50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，则AB与CD之间的距离为_______．
选择题
7．下列命题中错误的命题有（ ）
（1）弦的垂直平分线经过圆心；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）梯形的对角线互相平分；（4）圆的对称轴是直径．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图4，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）
A．3：2 B．：2 C．： D．5：4
(4) (5) (6)
10．如图5，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．AE=BE D．弧BD=弧BC
11．如图6，EF是⊙O的直径，OE=5，弦MN=8，则E、F两点到直线MN的距离之和（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
解答题
12．如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长．
15．某机械传动装置在静止的状态时，如图所示，连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测得PA=4cm，AB=5cm，⊙O半径为4.5cm，求点P到圆心O的距离．
5.3圆周角和圆心角的关系（1）
【自主学习】
（一）复习巩固：
1.垂径定理： .
2.已知点P是半径为5的⊙O内的一点，且OP=3，则过P点且长小于8的弦有( )
A.0条 B.1条 C. 2条 D.无数条
（二）新知导学
1．圆周角的定义
顶点在 ，并且两边都和圆 的角叫做圆周角.
2.圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于该弧所对的圆心角的 .
【合作探究】
1.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.
2.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长.
【自我检测】
一、选择题:
1.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
2.如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( )
A.40° B.50° C.70° D.110°
3.如图1,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( )
A.50° B.100° C.130° D.200°
4.如图2,A、B、C、D四点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
5.如图3,D是弧AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.如图4,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( )
A.100° B.80° C.50° D.40°
7.如图⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠BOC等于 ( )
A．150° B．130° C．120° D．60°
二、填空题:
8.如图,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是弧AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________.
9.如图,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.
10.已知,如图,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.
11.如图,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.
12.如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
三、解答题:
13.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.
(1)P是弧CAD上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.
(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.
14.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)
5.3圆周角和圆心角的关系（2）
【自主学习】
（一）复习巩固：
1．圆周角的定义： .
2．圆周角定理： .
3.在半径为R的圆内，长为R的弦所对的圆周角为 .
（二）新知导学
1.直径（或半圆）所对的圆周角是 .
2.900的圆周角所对的弦是 .
【合作探究】
1．如图，AB是半圆的直径，AC为弦，OD⊥AB，交AC于点D，垂足为O，⊙O的半径为4，OD=3，求CD的长．
2．如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，D、E在⊙O上．求证：BD=DE．
【自我检测】
一、填空题
1．如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．
2．如图，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
3．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM= ，∠AMB= ．
4．⊙O中，若弦AB长2cm，弦心距为cm，则此弦所对的圆周角等于 ．
5．如图，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半径＝ ．
二、选择题
6．下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
7．下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
8．在⊙O中，同弦所对的圆周角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对
9．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
三、解答及证明题
10．如图，AB是⊙O的直径，FB交⊙O于点G，FD⊥AB，垂足为D，FD交AG于E．求证：EF·DE=AE·EG．
11．如图，△ABC内接于⊙O，E为的中点．求证：AB·BE=AE·BD．
12．根据图中所给的条件，求△AOB的面积及圆的面积．
13．如图，在圆内接△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点．
（1）求证：AB2=AD·AE；
（2）当D为BC延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
14．如图3-3-38，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．
5.4确定圆的条件
【自主学习】
（一）复习巩固：
1．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若AB=4cm，AC=3cm，则BC= .
2．下列命题：①直径所对的角是900 ；②直角所对的弦是直径；③相等的圆周角所对的弧相等；④对同一弦的两个圆周角相等.正确的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C.2个 D.3个
（二）新知导学
1．过不在同一直线上的三个点确定 圆.
2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，
这个三角形叫圆的 三角形.
【合作探究】
1.要将如图所示的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径?(写出找圆心和半径的步骤).
【自我检测】
一、填空题:
1.锐角三角形的外心在_______.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是______.如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_____.
2.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________.
3.△ABC的三边为2,3, ,设其外心为O,三条高的交点为H,则OH的长为_____.
4.三角形的外心是______的圆心,它是_______的交点,它到_______的距离相等.
5.已知⊙O的直径为2,则⊙O的内接正三角形的边长为_______.
6.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心.
二、选择题:
7.下列条件,可以画出圆的是( )
A.已知圆心 B.已知半径;
C.已知不在同一直线上的三点 D.已知直径
8.三角形的外心是( )
A.三条中线的交点; B.三条边的中垂线的交点;
C.三条高的交点; D.三条角平分线的交点
9.下列命题不正确的是( )
A.三点确定一个圆 B.三角形的外接圆有且只有一个
C.经过一点有无数个圆 D.经过两点有无数个圆
10.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形; C.锐角三角形 D.等边三角形
11.等腰直角三角形的外接圆半径等于( )
A.腰长 B.腰长的倍; C.底边的倍 D.腰上的高
12.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )
A.1个或3个 B.3个或4个 C.1个或3个或4个 D.1个或2个或3个或4个
三、解答题:
13.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站, 使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保留作图痕迹).
14.如图,已知△ABC的一个外角∠CAM=120°,AD是∠CAM的平分线,且AD与△ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E.
(1)判断△FBC的形状,并说明理由.
(2)请给出一个能反映AB、AC和FA的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.
15．如图,在钝角△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2-7x+12=0的两个根(AD 5.5直线和圆的位置关系（1） 【自主学习】 （一）复习巩固： 1.若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的外部，则△ABC是（ ） A.锐角三角形 B. 直角角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 2.在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（ ） A.三角形三条角平分线的交点 B. 三角形三边垂直平分线的交点 C. 三角形中位线与高线的交点 D. 三角形中位线与中线的交点 （二）新知导学 1．直线与圆的位置关系 ①定义：直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相交，这条直线叫做圆的 线.直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的 线.这个公共点叫做 点.直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相离. 2．直线与圆的位置关系的性质与判定 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 直线与圆相交 ； 直线与圆相切 ； 直线与圆相离 . 【合作探究】 1．在△ABC中，∠A=450，AC=4,以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有交点，试确定r的范围. 【自我检测】 一、选择题 1．命题：“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ） A.经过半径的外端点的直线是圆的切线. B.垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线. C.垂直于半径的直线是圆的切线. D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2．如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝500，点P是圆上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数是（ ） A.650 B.1150 C.650或1150 D.1300或500 3.已知正三角形的边长为6，则该三角形外接圆的半径为（ ） A. B.3 C. D.1 4.如图，BC是⊙O直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于A，如果PA＝，OB＝1，那么∠APC等于（ ） A. 150 B.300 C.450 D.600 5.如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B＝300，直线BD与⊙O切于点D，则∠ADB的度数是（ ） A.1500 B.1350 C.1200 D.1000 6.在平面直角坐标系中，以点（2,1）为圆心，1为半径的圆，必与（ ） A. x轴相交 B. y轴相交 C. x轴相切 D. y轴相切 7.如图，⊙的直径与弦的夹角为，切线与的延长线交于点，若⊙的半径为3，则的长为（ ） A.6 B. C.3 D. 二、填空题 8.如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，若∠BCD＝40°，则∠ABC的大小等于_____. 9.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为_______． 10.如图，图同第7题，AB是⊙O的直径，BD＝OB，∠CAB＝300.，写出三个正确结论（除AO＝OB＝BD外）：①____________________；②____________________；③____________________. 11.已知∠AOB＝300，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M. 当OM＝_______cm时，⊙M与OA相切(如图). 12.如图，以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，连结AD，并过点D作DE⊥AC，垂足为E. 根据以上条件写出三个正确的结论（除AB＝AC，AO＝BO， ABC＝∠ABC外）是： (1) ___________________；(2) ___________________；(3) __________________ 三、解答题 13.如图，∠PAQ是直角，⊙O 与AP相切于点T，与AQ交于B、C两点. （1）BT是否平分∠OBA？说明你的理由； （2） 若已知AT＝4，弦BC＝6，试求⊙O 的半径R. 14．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC. (1) 求证：△BAD∽△CED； (2) 求证：DE是⊙O的切线. 5.5直线和圆的位置关系（2） 【自主学习】 （一）复习巩固： 1．直线与圆的三种位置关系： 、 、 . 2. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，AC＝10，BC＝6，求AB和CD的长. （二）新知导学 1．切线的判定定理：经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线. 2．切线的性质定理：圆的切线 于经过切点的 . 3．与三角形各边都 的圆叫做三角形的 圆， 圆的 叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 三角形. 【合作探究】 1.如图，AB、CD分别与半圆O切于点A、D，BC切⊙O于点E，若AB＝4，CD＝9，求⊙O的半径. 2.已知锐角△ABC，作△ABC的内切圆. 【自我检测】 一、选择题 1.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论错误的是（ ） A. ∠1=∠2 B.PA＝PB C.AB⊥OP D. 2.如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B＝500，∠C＝600，连结OE、OF、DE、DF，则∠EDF等于（ ） A.450 B.550 C.650 D.700 3.边长分别为3、4、5的三角形的内切圆与外接圆半径之比为（ ） A.1:5 B.2:5 C.3:5 D.4:5 4.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B. 如果OP＝4，，那么∠AOB等于（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 5.如图，已知⊙O过边长为正2的方形ABCD的顶点A、B，且与CD边相切，则圆的半径为（ ） A． B． C． D．1 6.如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝900，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，则⊙O的半径等于（ ） A. B. C. D. 二填空题 7. 直角三角形有两条边是2，则其内切圆的半径是__________. 8. 正三角形的内切圆半径等于外接圆半径的__________倍. 9.如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径， ∠BAC＝200，则∠P的大小是___度. 10.等边三角形ABC的内切圆面积为9π，则△ABC的周长为_________. 11.已知三角形的三边分别为3、4、5，则这个三角形的内切圆半径是 . 12.三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是 . 三、解答题： 13.已知如图,过圆O外一点B作圆O的切线BM, M为切点.BO交圆O于点A,过点A作BO的垂线,交BM于点P.BO=3,圆O半径为1.求MP的长. 14.等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10 cm，求它的内切圆的半径. 15.如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C. (1) 当∠PQA＝600时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明； (2) 当QP⊥AB时，△QCP的形状是__________三角形； (3) 由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时， △QCP一定是_________三角形. 16.已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O ，交AN于D、E两点，设AD=. ⑴ 如图⑴当取何值时，⊙O与AM相切； ⑵ 如图⑵当为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°． 5.6 圆和圆的位置关系 【自主学习】 （一）复习巩固： 1圆的切线的性质定理： . 2．圆的切线的判定定理： . 3.三角形的内心是它的 圆的圆心，它是三角形 的交点. 4．内心到三角形 的距离相等，到三角形三边距离相等的点是 . 5．已知三角形的面积为12，周长为24，则内切圆的半径为 . （二）新知导学 圆与圆的五种位置关系的性质与判定 如果两圆的半径为R、r，圆心距为d，那么 两圆外离 ； 两圆外切 ； 两圆相交 ； 两圆内切 ； 两圆内含 . （位置关系） （数量关系） 【合作探究】 1.已知两圆相切，一个圆的半径为5，圆心距d=2，求另一个圆的半径. 2.半径为1、2、3的三个圆两两外切，求这三个圆的圆心的连线构成的三角形的面积. 【自我检测】 一、填空题: 1.已知两圆半径分别为8、6,若两圆内切,则圆心距为______;若两圆外切,则圆心距为___. 2.已知两圆的圆心距d=8,两圆的半径长是方程x2-8x+1=0的两根,则这两圆的位置关系是______. 3.圆心都在y轴上的两圆⊙O1、⊙O2，⊙O1的半径为5,⊙O2的半径为1,O1 的坐标为(0,-1),O2的坐标为(0,3),则两圆⊙O1与⊙O2的位置关系是________. 4.⊙O1和⊙O2交于A、B两点,且⊙O1经过点O2,若∠AO1B=90°,那么∠AO2B 的度数是__. 5.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在⊙C内, 点B在⊙C外,那么圆A的半径r的取值范围是__________. 6.两圆半径长分别是R和r(R>r),圆心距为d,若关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0 有相等的两实数根,则两圆的位置关系是_________. 二、选择题 7.⊙O的半径为2,点P是⊙O外一点,OP的长为3,那么以P为圆心,且与⊙O 相切的圆的半径一定是( ) A.1或5 B.1 C.5 D.1或4 8.直径为6和10的两上圆相外切,则其圆心距为( ) A.16 B.8 C.4 D.2 9.如图1,在以O为圆心的两个圆中,大圆的半径为5,小圆的半径为3, 则与小圆相切的大圆的弦长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 (1) (2) (3) 10.⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,且半径分别为2cm,3cm,10cm,则△O1O2O3 的形状是( ) A.锐角三角形 B.等腰直角三角形; C.钝角三角形 D.直角三角形 11.如图2,⊙O1和⊙O2内切,它们的半径分别为3和1,过O1作⊙O2的切线, 切点为A,则O1A的长为( ) A.2 B.4 C. D. 12.半径为1cm和2cm的两个圆外切,那么与这两个圆都相切且半径为3cm 的圆的个数是( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 13.如图3,⊙O的半径为r,⊙O1、⊙O2的半径均为r1,⊙O1与⊙O内切,沿⊙O 内侧滚动m圈后回到原来的位置,⊙O2与⊙O外切并沿⊙O外侧滚动n圈后回到原来的位置,则m、n的大小关系是( ) A.m>n B.m=n C.m 14.若两圆的圆心距d满足等式│d-4│=3,且两圆的半径是方程x2-7x+12=0 的两个根,试判断这两圆的位置关系. 15.某人用如下方法测一钢管的内径:将一小段钢管竖直放在平台上, 向内放入两个半径为5cm的钢球,测得上面一个钢球顶部高DC=16cm(钢管的轴截面如图所示), 求钢管的内直径AD的长. 16.如图,⊙O1、⊙O2交于A、B两点,点O1在⊙O2上,两圆的连心线交⊙O1于E、D,交⊙O2于F,交AB于C,请根据图中所给的已知条件(不再标注其他字母, 不再添加任何辅助线),写出两个线段之间的关系式. 5.7正多边形和圆 【自主学习】 （一）复习巩固 1. 等边三角形的边、角各有什么性质？ . 2. 正方形的边、角各有什么性质？ . （二）新知导学 1.各边 ，各角 的多边形是正多边形. 2.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做 ，外接圆的半径叫做 ，内切圆的半径做 ． 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都 ．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做 ．正n边形的每个中心角都等于 ． 3. 正多边形都是 对称图形，正n边形有 条对称轴；正 数边形是中心对称图形，对称中心就是正多边形的 ，正 数边形既是中心对称图形，又是轴对称图形. 【合作探究】 1.问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形. 思考：如何作正三角形、正十二边形？ 【自我检测】 1．正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______． 2．正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______． 3．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______． 4．正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等． 5．设一直角三角形的面积为8㎝2，两直角边长分别为x㎝和y㎝. （1）写出y(㎝)和x(㎝)之间的函数关系式 （2）画出这个函数关系所对应的图象 （3）根据图象，回答下列问题： ① 当x =2㎝时，y等于多少？ ② x为何值时，这个直角三角形是等腰直角三角形？ 6．已知三角形的两边长分别是方程 的两根，第三边的长是方程 的根，求这个三角形的周长. 7．如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB． （1）求证：OP∥CB； （2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径． 8.如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D. (1)求直线AB的解析式; (2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似. 若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 9.如示意图，小华家（点A处）和公路（ ）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家岛公路的距离（精确到1m）． 5.8弧长及扇形面积 【自主学习】 （一）复习巩固： 1．圆与圆的五种位置关系： 、 、 、 、 . 2.已知两圆的半径分别3cm和2cm，若两圆没有公共点，则圆心距d的取值范围为（ ） A. d＞5或d＜1 B. d＞5 C. d＜1 D.1＜d＜5 （二）新知导学 1.弧长计算公式 在半径为R的圆中，n0的圆心角所对的弧长l的计算公式为： l= 2.扇形面积计算公式 ①定义： 叫做扇形. ②在半径为R的圆中，圆心角为n0的扇形面积的计算公式为： S扇形= 由弧长l= 和S扇形= 可得扇形面积计算的另一个公式为： S扇形= 【合作探究】 1．已知：扇形的弧长为cm，面积为 cm2 ，求扇形弧所对的圆心角． 2．已知：AC是半圆的直径，BC与半圆切于C，AB交半圆于D，BC＝3 cm BD＝ cm,求半圆的面积． 【自我检测】 一、选择题 1.如果以扇形的半径为直径作一个圆，这个圆的面积恰好与已知扇形的面积相等，则已知扇形的中心角为（ ） A.60° B.90° C.120° D.150° 2.如果圆柱底面直径为6cm，母线长为4cm，那么圆柱的侧面积为（ ） A.24πcm2 B.36πcm2 C.12πcm2 D.48πcm2 3.圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则圆锥侧面展开图的面积是（ ） A. πcm2 B.30πcm2 C.24πcm2 D.15πcm2 4.如果正四边形的边心距为2，那么这个正四边形的外接圆的半径等于（ ） A.2 B.4 C. D. 5.圆的外切正六边形边长与它的内接正六边形边长的比为（ ） A.:3 B. 2:3 C.3:3 D.:2 6.圆的半径为3cm，圆内接正三角形一边所对的弧长为（ ） A.2πcm或4πcm B.2πcm C.4πcm D.6πcm 7.在半径为12cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（ ） A.24πcm B.12πcm C.10πcm D.5πcm 8.如图， 设AB=1cm，，则长为（ ） A. B. C. D. 9.圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中，扇形的圆心角是（ ） A.144° B.150° C.288° D.120° 二、计算题 10.如图，已知菱形ABCD中，AC，BD交于O点，AC＝cm，BD=2cm，分别以 A，C为圆心，OA长为半径作弧，交菱形四边于E，F，G，H四点．求阴影部分的面积． 11．已知△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，⊙O内切于△ABC．求△ABC在⊙O外部的面积． 12．已知等腰梯形ABCD有一个内切圆O．若AB=CD=6cm，BC=2AD，求圆O的面积． 13.如图，ACBD为夹在环形的两条半径之间的一部分，弧AD的长为πcm，弧CB的长为2πcm，AC＝4cm，求这个图形的面积． 14．已知如图，P是半径为R的⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=60°．求：夹在劣弧AB及PA，PB之间的阴影部分的面积． 15．已知扇形OAB的面积为S，∠AOB=60°．求扇形OAB的内切圆的面积． 三、证明 16．如图，已知同心⊙O中，外圆的面积是内圆面积的2倍，外圆的弦AB，CD均与内圆相切，且AB∥CD．EFGH是内圆的内接正方形．求该圆环介于AB，CD间的面积等于正方形EFGH的面积． 17．已知直角三角形斜边上的高将原三角形分成两个直角三角形．求证这两个三角形的内切圆的面积的和等于原三角形的内切圆面积． 18．已知如图7-391，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且弧AC＝弧CD＝弧DB，求证由弦AC及弧CD所围成的图形面积等于半圆面积的三分之一 19．若分别以线段CD的两个端点为圆心，CD长为半径的⊙C，⊙D相交于A，B．求证分别以AB，CD为直径的两个圆的面积之和与⊙C的面积相等． 20．求证圆心角为60°的扇形的内切圆的面积，等于扇形面积的三分之二． 21．已知如图7-392，扇形OAB中，OA⊥OB，分别以OA，OB为直径向形内作半圆，两圆弧交于C，求证由弧AC，弧BC，弧AB所围图形的面积与由弧OMC和弧ONC所围图形面积相等． 5.9圆锥的侧面积和全面积 【自主学习】 （一）复习巩固： 1.弧长的计算公式： . 2．扇形面积的计算公式： . 3．已知扇形的面积为4cm2，弧长为4cm，求扇形的半径. （二）新知导学 1．圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是一个 . 圆锥的母线就是扇形的 . 圆锥底面圆的周长就是扇形的 . 2．如果圆锥的母线长为l，底面的半径为r，那么 S侧= ，S全= . 【合作探究】 1．已知圆锥的母线长6 cm；底面半径为 3 cm，求圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角． 2．已知：一个圆锥的侧面展开图是圆心角为36°的扇形，扇形面积为10 cm2．求这圆锥的表面积． 【自我检测】 一、选择题 1．已知圆锥的高为，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（ ） A．π B．2π C．π D．6π 2．圆锥的高为3cm , 母线长为5cm , 则它的表面积是（ ）cm2． A．20p B．36p C．16p D．28p 3．已知圆锥的底面半径为3 , 母线长为12 , 那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆角为（ ） A．180° B．120° C．90° D．135° 4．如果圆锥的高与底面直径相等 , 则底面面积与侧面积之比为（ ） A．1∶ B．2∶ C．∶ D．2∶3 5．边长为a的等边三角形 , 绕它一边上的高所在直线旋转180° , 所得几何体的表面积为（ ） A． B． C． D．π 6．若底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°,则这个圆锥的高是（ ）cm． A．8 B． C．6 D．4 7．在一个边长为4cm正方形里作一个扇形(如图所示) , 再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面 , 则这个圆锥的高为（ ）cm． A． B． C． D． 8．用圆心角为120° , 半径为6cm的扇形围成圆锥的侧面 , 则这个圆锥的高为（ ） A．4 B．4 C．2 D．3 9．△ABC中 , AB=6cm , ∠A=30° , ∠B=15° , 则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的表面积为（ ）cm2． A．（18+9）π B．18+9 C．（36+18）π D．36+18 10．圆锥的母线长为10cm , 底面半径为3cm , 那么圆锥的侧面积为（ ）cm2． A．30 B．30p C．60p D．15p 11．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m，母线长3 m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（ ） A．6 m2 B．6πm2 C．12 m2 D．12πm2 12．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为（ ） A．a B． C． D． 13．一个圆锥的高为cm，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是（ ） A．200πcm2 B．300πcm2 C．400πcm2 D．360πcm2 14．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm2，母线长为50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为（ ） A．80cm B．100cm C．40cm D．5cm 二、填空题 15．已知圆锥的母线长是10cm，侧面展开图的面积是60πcm2，则这个圆锥的底面半径是 cm． 16．已知圆锥的底面半径是2cm，母线长是5cm，则它的侧面积是 ． 17．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是 ． 18．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ． 19．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为 ． 三、解答题 20．一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，则它的侧面展开图扇形的圆心角是多少？ 21．如图，一个圆柱的底面半径为40 cm，高为60 cm，从中挖去一个以圆柱上底为底、下底圆心为顶点的圆锥，得到一个几何体，求其全面积． 22．已知：一个圆锥的侧面积与表面积的比为2∶3．求这圆锥的锥角． 23．已知：一个圆锥的底半径 r=10cm，过轴的截面的顶角为60°．求它的侧面展开图的圆心角的度数及侧面积． 24．已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为 20 cm，圆心角为120°的扇形，求这圆锥的底半径和高．
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