2007年高考试题及答案-文科数学-上海卷

  数学试卷(文史类) 

考生注意：

    1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

    2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．方程的解是                   ．   

2．函数的反函数                     ．    

3．直线的倾斜角                    ． 

4．函数的最小正周期                  ． 

5．以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是

                                              ．

6．若向量的夹角为，，则     ．

7．如图，在直三棱柱中，，

   ，，则异面直线与所成角的

   大小是                     （结果用反三角函数值表示）．

8．某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天．四道工

   序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工； 

   完成后，可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是　　．

9．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是

                         （结果用数值表示）．     

10．对于非零实数，以下四个命题都成立：

    ①；                    ②；

    ③ 若，则；        ④ 若，则．

    那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是                  ．

11．如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于

点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与

线段围成图形面积的取值范围是            ． 

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．

12．已知，且（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两

    个根，那么的值分别是（　　）

    Ａ．                 Ｂ． 

    Ｃ．                Ｄ． 

13．圆关于直线对称的圆的方程是（　　）

    Ａ．            Ｂ． 

    Ｃ．            Ｄ． 

14．数列中， 则数列的极限值（　　）

    Ａ．等于        Ｂ．等于        Ｃ．等于或        Ｄ．不存在

15．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推

    出成立”． 那么，下列命题总成立的是（　　）

    Ａ．若成立，则成立

    Ｂ．若成立，则成立

    Ｃ．若成立，则当时，均有成立

    Ｄ．若成立，则当时，均有成立

三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

16．（本题满分12分）

在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，求

正四棱锥的体积．

17．（本题满分14分）

    在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．

   （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

   （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

    已知函数，常数．

    （1）当时，解不等式；

    （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由．

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”． 

例如，数列与数列都是“对称数列”． 

（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；

    （2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；

    （3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和． 

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．

我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，． 

如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．

（1）若是边长为1的等边三角形，求该

“果圆”的方程； 

（2）设是“果圆”的半椭圆

上任意一点．求证：当取得最小值时，

在点或处；

    （3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）

数学试卷(文史类)答案要点 

一、填空题（第1题至第11题）

1．            2．        3．            4．

5．        6．                    7．            8．  3    

9．                10． ②  ④             11．

二、选择题（第12题至第15题）

16．解：作平面，垂足为．连接，是

   正方形的中心，是直线与平面

   所成的角． 

＝，． ．

    ，， 

   ． 

17．解： 由题意，得为锐角，， 

    ， 

    由正弦定理得，   

    ．  

18．解：（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为

    ，，，．  则2006年全球太阳电池的年生产量为 

(兆瓦)． 

   （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．

解得． 

    因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到．  

19．解： （1），

              ，                  

              ．                

      原不等式的解为．          

    （2）当时，，

    对任意，， 

    为偶函数．  

    当时，，

    取，得， 

    ，    

函数既不是奇函数，也不是偶函数．   

 20．解：（1）设数列的公差为，则，解得，

    数列为．    

    （2） 

           67108861．  

    （3）． 

     由题意得是首项为，公差为的等差数列． 

     当时， 

                    ．  

     当时， 

                          ．

     综上所述，              

21．解：（1），

，

于是，

所求“果圆”方程为，．  

（2）设，则

           ， 

     ， 的最小值只能在或处取到．

     即当取得最小值时，在点或处．                    

    （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．              

              ．

    当，即时，的最小值在时取到，

此时的横坐标是．                                        

    当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．                                

    综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．