2017-2018学年江苏省苏州市八年级(上)期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）在（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．（3分）下列各式中，正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．（3分）在，﹣3.14，，﹣0.3，，0.5858858885…，中无理数有（　　）

A．3个    B．4个    C．5个    D．6个

5．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　）

A．30°    B．80°或20°    C．80°或50°    D．20°

6．（3分）到△ABC的三个顶点的距离相等的点P应是△ABC的三条（　　）的交点．

A．角平分线    B．高    C．中线    D．垂直平分线

7．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）

A．4，5，6    B．1.5，2，2.5    C．2，3，4    D．1，，3

8．（3分）△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

9．（3分）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（　　）

A．4    B．3    C．2    D．1

10．（3分）如图，平面直角坐标系中，x轴上有一点A，y轴上有一点B，∠ABO=60°，若要在坐标轴上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（　　）个．

A．4    B．5    C．6    D．7

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

11．（2分）计算的结果是　   　．

12．（2分）已知+=0，那么（a+b）2007的值为　   　．

13．（2分）若点M（m﹣3，m+1）在平面直角坐标系的x轴上，则点M的坐标为　   　．

14．（2分）如图，AB∥CD，AD∥BC，图中全等三角形共有　   　对．

15．（2分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为　   　cm．

16．（2分）如图，AB=AE，∠1=∠2，要使△ABC≌△AED，还需添加的条件是（只需填一个）　   　．

17．（2分）在平面直角坐标系中，定义两种新的变换：对应平面内任一点P（m，n），规定：①f（m，n）=（﹣m，n），例如，f（2，1）=（﹣2，1）；②g（m，n）=（m，﹣n），例如，g（2，1）=（2，﹣1），已知点P（a，b）满足f（a，b）=g（a，b），则点P坐标为　   　．

18．（2分）如图，在等边△ABC中，AB=4，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是　   　．

三、简答题

19．（6分）计算或化简：

（1）（）2﹣﹣          

（2）﹣﹣|﹣2|

20．（6分）求下列各式中x的值．

（1）4（x﹣1）2﹣36=0

（2）（x+5）3=﹣125．

21．（4分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a﹣b+c的平方根．

22．（4分）若实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|，化简|a|+|a+b|﹣﹣2．

23．（4分）如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：

（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图②中，画一个三边长分别为3，2，的三角形，一共可画这样的三角形　   　个．

24．（5分）如图，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD，

求证：△ABC≌△DEF．

25．（7分）如图，在△ABC中，CD是AB边的中线，∠CDB=60°，将△BCD沿CD折叠，使点B落在点E的位置．

（1）证明AE∥CD．

（2）若AB=4，求△ADE的面积．

26．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AD2+CD2=2AB2，CD⊥AD．

（1）求证：AB⊥BC．

（2）若AB=5CD，AD=21，求四边形ABCD的周长．

27．（10分）如图，直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣1，0），点P是线段AB上的一个动点．

（1）若OP平分△AOB的面积，求点P的坐标；

（2）在OB上取一点Q，使得∠OPQ=45°；

①若△OPQ是一个不以OQ为底边的等腰三角形，则点Q的坐标是：　   　；

②若△OPQ是一个以OQ为底边的等腰三角形，则求出点Q的坐标．

2017-2018学年江苏省苏州市八年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；

B、是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，故此选项错误；

故选：A．

【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称的定义．

2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）在（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．

【解答】解：点P（2，﹣3）在第四象限．

故选：D．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

3．（3分）下列各式中，正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据算术平方根及立方根的定义进行解答即可．

【解答】解：A、正确；

B、=3，故本选项错误；

C、≠﹣3，故本选项错误；

D、=2，故本选项错误．

故选：A．

【点评】本题考查了算术平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．

4．（3分）在，﹣3.14，，﹣0.3，，0.5858858885…，中无理数有（　　）

A．3个    B．4个    C．5个    D．6个

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：，，0.5858858885…是无理数，

故选：A．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

5．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　）

A．30°    B．80°或20°    C．80°或50°    D．20°

【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．

【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，

②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，

综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．

故选：B．

【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．

6．（3分）到△ABC的三个顶点的距离相等的点P应是△ABC的三条（　　）的交点．

A．角平分线    B．高    C．中线    D．垂直平分线

【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．

【解答】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，

∴到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC三条边的垂直平分线的交点．

故选：D．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．

7．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）

A．4，5，6    B．1.5，2，2.5    C．2，3，4    D．1，，3

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

【解答】解：A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；

B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；

C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；

D、12+（）2=3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．

故选：B．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

8．（3分）△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【分析】根据等边三角形的判定、轴对称图形的性质分别对每一项进行判断即可．

【解答】解：①三边相等的三角形是等边三角形，正确；

②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确；

③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确；

④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确；

则正确的有4个．

故选：D．

【点评】此题考查了等边三角形的判定，用到的知识点是等边三角形的判定、轴对称图形，关键是灵活应用判定方法，对每一项做出判断．

9．（3分）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（　　）

A．4    B．3    C．2    D．1

【分析】过点P做PM∥CO交AO于M，可得∠CPO=∠POD，再结合题目推出四边形COMP为菱形，即可得PM=4，又由CO∥PM可得∠PMD=30°，由直角三角形性质即可得PD．

【解答】解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO

∴∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA

∴四边形COMP为菱形，PM=4

PM∥CO⇒∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°，

又∵PD⊥OA

∴PD=PC=2．

令解：作CN⊥OA．

∴CN=OC=2，

又∵∠CNO=∠PDO，

∴CN∥PD，

∵PC∥OD，

∴四边形CNDP是长方形，

∴PD=CN=2

故选：C．

【点评】本题运用了平行线和直角三角形的性质，并且需通过辅助线求解，难度中等偏上．

10．（3分）如图，平面直角坐标系中，x轴上有一点A，y轴上有一点B，∠ABO=60°，若要在坐标轴上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（　　）个．

A．4    B．5    C．6    D．7

【分析】分类讨论：AB=AP时，AB=BP时，AP=BP时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．

【解答】解：①当BA=BP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．

②当AB=AP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB=AP时的x轴正半轴的点P重合．

③当AP=BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB=BP时的y轴负半轴的点P重合．

综上所述：符合条件的点P共有6个．

故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

11．（2分）计算的结果是　2　．

【分析】根据算术平方根的定义把原式进行化简即可．

【解答】解：∵22=4，

∴=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知算术平方根的定义是解答此题的关键．

12．（2分）已知+=0，那么（a+b）2007的值为　﹣1　．

【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：由题意得，a﹣2=0，b+3=0，

解得a=2，b=﹣3，

所以，（a+b）2007=（2﹣3）2007=﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

13．（2分）若点M（m﹣3，m+1）在平面直角坐标系的x轴上，则点M的坐标为　（﹣4，0）　．

【分析】根据x轴上的点的纵坐标等于0列式求出m的值，即可得解．

【解答】解：∵点M（m﹣3，m+1）在平面直角坐标系的x轴上，

∴m+1=0，

解得m=﹣1，

∴m﹣3=﹣1﹣3=﹣4，

点M的坐标为（﹣4，0）．

故答案为：（﹣4，0）．

【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点的纵坐标等于0是解题的关键．

14．（2分）如图，AB∥CD，AD∥BC，图中全等三角形共有　4　对．

【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．

【解答】解：

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，AO=CO，BO=DO，EO=FO，∠DAO=∠BCO，

又∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB，∠AOE=∠COF，

∴△AOB≌△COD（SSS），△AOD≌△COB（SSS），△ABC≌△CDA（SSS），△ABD≌△CDB（SSS）．

故图中的全等三角形共有4对．

故答案为4．

【点评】此题主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，ASA等．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．

15．（2分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为　21　cm．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC和AC=2AE=8cm，根据三角形的周长公式计算即可．

【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴DA=DC，AC=2AE=8cm，

∵△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=21cm，

故答案为：21．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

16．（2分）如图，AB=AE，∠1=∠2，要使△ABC≌△AED，还需添加的条件是（只需填一个）　AC=AD　．

【分析】由∠1=∠2可求得∠ABC=∠DBE，结合BC=BE，要使△ABC≌△DBE，可再加一边利用SAS来证明全等．（答案不唯一）

【解答】解：解：

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，

∵AB=AE，

∴可添加AC=AD，

此时两三角形满足“SAS”，可证明其全等，

故答案为：AC=AD．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

17．（2分）在平面直角坐标系中，定义两种新的变换：对应平面内任一点P（m，n），规定：①f（m，n）=（﹣m，n），例如，f（2，1）=（﹣2，1）；②g（m，n）=（m，﹣n），例如，g（2，1）=（2，﹣1），已知点P（a，b）满足f（a，b）=g（a，b），则点P坐标为　（0，0）　．

【分析】根据f（m，n）=（﹣m，n），g（m，n）=（m，﹣n），可得答案．

【解答】解：f（a，b）=（﹣a，b），g（a，b）=（a，﹣b），

∵f（a，b）=g（a，b），

∴（﹣a，b）=（a，﹣b），

∴a=0，b=0，

则点P坐标为（0，0），

故答案为：（0，0）．

【点评】本题考查了点的坐标，利用f（a，b）=g（a，b）得出（﹣a，b）=（a，﹣b）是解题关键．

18．（2分）如图，在等边△ABC中，AB=4，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是　2　．

【分析】过C作CN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时BM+MN最小，由于C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，根据勾股定理求出CN，即可求出答案．

【解答】解：过C作CN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，

∵等边△ABC中，AD平分∠CAB，

∴AD⊥BC，

∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），

∴C和B关于直线AD对称，

∴CM=BM，

即BM+MN=CM+MN=CN，

∵CN⊥AB，

∴∠CNB=90°，CN是∠ACB的平分线，AN=BN（三线合一），

∵∠ACB=60°，

∴∠BCN=30°，

∵AB=4，

∴BN=AB=2，

在△BCN中，由勾股定理得：CN===2，即BM+MN的最小值是2．

故答案为：2．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．

三、简答题

19．（6分）计算或化简：

（1）（）2﹣﹣          

（2）﹣﹣|﹣2|

【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；

（2）原式利用零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．

【解答】解：（1）原式=4﹣2﹣5=﹣3；

（2）原式=﹣+1﹣2+=﹣1．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（6分）求下列各式中x的值．

（1）4（x﹣1）2﹣36=0

（2）（x+5）3=﹣125．

【分析】（1）先求得（x+1）2的值，然后再根据平方根的定义得到x+1的值，最后，再解两个一次方程即可；

（2）根据立方根的定义得到x+5=﹣5，然后解一次方程即可．

【解答】解：（1）4（x﹣1）2﹣36=0

∴（x+1）2=9，

∴x+1=±3，

∴x1=4，x2=﹣2；

（2）∵（x+5）3=﹣125，

∴x+5=﹣5，

∴x=﹣10．

【点评】本题主要考查的是立方根、平方根的定义，熟练掌握立方根、平方根的定义是解题的关键．

21．（4分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a﹣b+c的平方根．

【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．

【解答】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，

∴5a+2=27，3a+b﹣1=16，

∴a=5，b=2，

∵c是的整数部分，

∴c=3，

∴3a﹣b+c=16，

3a﹣b+c的平方根是±4．

【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．

22．（4分）若实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|，化简|a|+|a+b|﹣﹣2．

【分析】根据数轴判断a、a+b、c﹣a、c与0的大小关系．

【解答】解：由数轴可知：a+b=0，c﹣a＞0，c＜0，a＜0

原式=﹣a+0﹣c+a+2c=c

【点评】本题考查绝对值的性质，解题的关键是正确找出a、a+b、c﹣a、c与0的大小关系，本题属于基础题型．

23．（4分）如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：

（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图②中，画一个三边长分别为3，2，的三角形，一共可画这样的三角形　16　个．

【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；

（2）由勾股定理容易得出结果．

【解答】解：（1）∵=5，

∴△ABC即为所求，

如图1所示：

（2）如图2所示：

∵=2，=，

∴△ABC，△DBC，…，

都是符合条件的三角形，一共可画这样的三角形16个；

故答案为：16．

【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、作图﹣﹣应用与设计作图；熟记勾股定理是解决问题的关键．

24．（5分）如图，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD，

求证：△ABC≌△DEF．

【分析】先根据平行线的性质可得∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，再由∠E=∠CPD可得∠E=∠B，再利用ASA证明△ABC≌△DEF．

【解答】证明：∵AB∥DF，

∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，

∵∠E=∠CPD．

∴∠E=∠B，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

25．（7分）如图，在△ABC中，CD是AB边的中线，∠CDB=60°，将△BCD沿CD折叠，使点B落在点E的位置．

（1）证明AE∥CD．

（2）若AB=4，求△ADE的面积．

【分析】（1）由折叠的性质可得出BD=ED、∠EDC=∠BDC=60°，根据角的计算可得出∠ADE=60°，再根据中线的定义即可得出AD=BD=ED，由此即可证出△ADE是等边三角形；

（2）由AB的长度可得出AD的长度，再根据△ADE是等边三角形即可求出△ADE的面积．

【解答】解：（1）证明：由折叠的性质可知：BD=ED，∠EDC=∠BDC=60°，

∵CD是AB边的中线，

∴BD=AD，

∴AD=ED．

又∵∠ADE=180°﹣∠EDC﹣∠CDB=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠EAD=60°．

∴∠EAD=∠CDB．

∴AE∥CD．

（2）∵AB=4，CD是AB边的中线，

∴AD=AB=2，

又∵△ADE是等边三角形，

∴S△ADE=AD2=．

【点评】本题考查了翻折变换、三角形的面积以及等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．

26．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AD2+CD2=2AB2，CD⊥AD．

（1）求证：AB⊥BC．

（2）若AB=5CD，AD=21，求四边形ABCD的周长．

【分析】（1）理由勾股定理的逆定理证明∠ABC=90°即可；

（2）设CD=k，则AB=BC=5k，由∠ABC=90°，可得AC2=50k2，在Rt△ACD中，根据AC2=CD2+AD2，构建方程即可解决问题；

【解答】（1）证明：连接AC．

∵CD⊥AD，

∴AD2+CD2=AC2，

∵AD2+CD2=2AB2，AB=BC，

∴AC2=AB2+BC2，

∴∠ABC=90°，

∴AB⊥BC．

（2）设CD=k，则AB=BC=5k，

∵∠ABC=90°，

∴AC2=50k2，

在Rt△ACD中，∵AC2=CD2+AD2，

∴50k2=212+k2，

∴k=3，

∴CD=3，AB=BC=15，

∴四边形ABCD的周长=AB+BC+AD+CD=54．

【点评】本题考查勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．

27．（10分）如图，直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣1，0），点P是线段AB上的一个动点．

（1）若OP平分△AOB的面积，求点P的坐标；

（2）在OB上取一点Q，使得∠OPQ=45°；

①若△OPQ是一个不以OQ为底边的等腰三角形，则点Q的坐标是：　Q（﹣1，0）或（﹣，0）　；

②若△OPQ是一个以OQ为底边的等腰三角形，则求出点Q的坐标．

【分析】（1）根据三角形的中线的性质，可知PA=PB，利用中点坐标公式即可解决问题；

（2）①分两种情形分别求解即可解决问题；

②只要证明△APO≌△BQP，推出PB=OA=1，BQ=PA即可解决问题；

【解答】解：（1）∵OP平分△AOB的面积，

∴PA=PB，

∵A（0，1），B（﹣1，0），

∴P（﹣，）．

（2）①当PQ为底时，OP=OQ，

∴∠OPQ=∠OQP=45°，∠POQ=90°，

∴此时点Q与B重合，Q（﹣1，0）．

当OP为底时，QP=QO，

∴∠OPQ=∠POQ=45°，

∴∠PQO=90°，OP平分∠AOB，

∴PA=PB，PQ⊥OB，

∴Q（﹣，0）．

综上所述，Q（﹣1，0）或（﹣，0），

故答案为Q（﹣1，0）或（﹣，0），

②如图，

∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠3=∠4=45°，

∵∠BPO=∠1+∠OPQ=∠3+∠2，

∵∠OPQ=45°=∠3，

∴∠1=∠2，

∵OP=PQ，

∴△APO≌△BQP，

∴PB=OA=1，BQ=PA，

∵AB==，

∴PA=﹣1，

∴BQ=﹣1，

∴OQ=1﹣（﹣1）=2﹣，

∴Q（﹣2，0）．

【点评】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．