角平分线的性质和判定最新中考试题汇集练习及答案

一．选择题（共10小题）

1．如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB=7，DE=4，则S△ABD=（　　）

A．28    B．21    C．14    D．7

2．如用，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB=5，则AC的长是（　　）

A．4    B．5    C．6    D．7

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD=2CD，BC=9cm，则点D到AB的距离为（　　）

A．3cm    B．2cm    C．1cm    D．4.5cm

4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（　　）

A．1.5    B．2    C．3    D．4

5．已知点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，OP=10cm，那么点P到OA，OB的距离分别是（　　）

A．5cm，cm    B．4cm，5cm    C．5cm，5cm    D．5cm，10cm

6．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=6，DE=3，则△BCE的面积等于（　　）

A．10    B．9    C．8    D．6

7．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为51和38，则△EDF的面积为（　　）

A．6.5    B．5.5    C．8    D．13

8．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　）

A．30°    B．35°    C．45°    D．60°

9．如图，△ABC的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1    B．1：2：3    C．2：3：4    D．3：4：5

10．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm，则PD的长可以是（　　）

A．3cm    B．4cm    C．5cm    D．7 cm

二．填空题（共1小题）

11．如图∠AOP=∠BOP=22.5°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，若PD=1，则PC等于　   　．

三．解答题（共4小题）

12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，a+b），B（a，0），且（a+b﹣3）2+|a﹣2b|=0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直线DB交y轴于点P．

（1）线段AO与线段AB的数量关系是　   　（填“＞”、“≥”、“≤”、“＜”或“=”）；

（2）求证：△AOC≌△ABD；

（3）若∠CAD=30°，当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？

13．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．

14．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．

15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF．

（1）求证：CF=EB；

（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．

角平分线的性质和判定最新中考试题汇集练习及答案

一．选择题（共10小题）

1．如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB=7，DE=4，则S△ABD=（　　）

A．28    B．21    C．14    D．7

【分析】利用角平分线的性质定理即可解决问题；

【解答】解：作DH⊥BA于H．

∵BD平分∠ABC，BC⊥DE，DH⊥AB，

∴DH=DE=4，

∴S△ABD=×7×4=14，

故选：C．

【点评】本题考查角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

2．如用，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB=5，则AC的长是（　　）

A．4    B．5    C．6    D．7

【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC=S△ABC得到×5×4+×AC×4=8，然后解一次方程即可．

【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF=4，

∵S△ADB+S△ADC=S△ABC，

∴×5×4+×AC×4=24，

∴AC=7．

故选：D．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD=2CD，BC=9cm，则点D到AB的距离为（　　）

A．3cm    B．2cm    C．1cm    D．4.5cm

【分析】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD=2CD，BC=9cm，则点D到AB的距离为

【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵BD：DC=2：1，BC=79，

∴DC=，

∵AD平分∠BAC，∠C=90°，

∴DE=DC=3．

故选：A．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，要注意DC的求法．

4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（　　）

A．1.5    B．2    C．3    D．4

【分析】根据角平分线的性质结合点到直线垂线段最短，即可得出PQ≥PA，此题得解．

【解答】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=3，

∴PQ≥PA=3．

故选：C．

【点评】本题考查了角平分线的性质以及垂线段最短，根据角平分线的性质结合垂线段最短，求出PQ的最小值是解题的关键．

5．已知点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，OP=10cm，那么点P到OA，OB的距离分别是（　　）

A．5cm，cm    B．4cm，5cm    C．5cm，5cm    D．5cm，10cm

【分析】由已知可得∠AOP=∠BOP=30°，已知PC⊥OA，PD⊥OB，OP=10cm，根据直角三角形中30度所对的边是斜边的一半可求得PC，PD的长．

【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，

∴∠AOP=∠BOP=30°，

∵PC⊥OA，PD⊥OB，OP=10cm，

∴PC=PD=OP=5cm．

故选：C．

【点评】此题主要考查含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

6．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=6，DE=3，则△BCE的面积等于（　　）

A．10    B．9    C．8    D．6

【分析】作EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EH=DE=3，根据三角形的面积公式计算即可．

【解答】解：作EH⊥BC于H，

∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EH⊥BC，

∴EH=DE=3，

∴△BCE的面积=×BC×EH=9，

故选：B．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

7．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为51和38，则△EDF的面积为（　　）

A．6.5    B．5.5    C．8    D．13

【分析】作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DF=DH，证明Rt△DFE≌Rt△DHG，根据题意列出方程，解方程即可．

【解答】解：设△EDF的面积为x，

作DH⊥AC于H，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，

∴DF=DH，

在Rt△DFE和Rt△DHG中，

，

∴Rt△DFE≌Rt△DHG，

由题意得，38+x=51﹣x，

解得，x=6.5，

∴△EDF的面积为6.5，

故选：A．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

8．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　）

A．30°    B．35°    C．45°    D．60°

【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．

【解答】解：作MN⊥AD于N，

∵∠B=∠C=90°，

∴AB∥CD，

∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，

∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，

∴MN=MC，

∵M是BC的中点，

∴MC=MB，

∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，

∴∠MAB=∠DAB=35°，

故选：B．

【点评】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

9．如图，△ABC的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1    B．1：2：3    C．2：3：4    D．3：4：5

【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．

【解答】解：如图，过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵O是三角形三条角平分线的交点，

∴OD=OE=OF，

∵AB=6，BC=9，AC=12，

∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4．

故选：C．

【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

10．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm，则PD的长可以是（　　）

A．3cm    B．4cm    C．5cm    D．7 cm

【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD，再根据垂线段最短解答即可．

【解答】解：作PD⊥OB于D，

∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，

∴PD=PC=6cm，

则PD的最小值是6cm，

故选：D．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．

二．填空题（共1小题）

11．如图∠AOP=∠BOP=22.5°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，若PD=1，则PC等于　　．

【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质求出PE，根据平行线的性质求出∠CPO，根据三角形外角性质求出∠ECP=45°，解直角三角形求出PC即可．

【解答】解：

过P作PE⊥OB于E，

∵∠AOP=∠BOP=22.5°，PD⊥OA，PD=1，

∴PE=OD=1，

∵PC∥OA，∠AOP=22.5°，

∴∠CPO=∠AOP=22.5°，

∵∠BOP=22.5°，

∴∠ECP=∠CPO+∠BOP=45°，

∵∠PEO=90°，

∴CP==，

故答案为：．

【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，解直角三角形，三角形外角的性质等知识点，能求出PE的长和能求出∠ECP的度数是解此题的关键．

三．解答题（共4小题）

12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，a+b），B（a，0），且（a+b﹣3）2+|a﹣2b|=0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直线DB交y轴于点P．

（1）线段AO与线段AB的数量关系是　=　（填“＞”、“≥”、“≤”、“＜”或“=”）；

（2）求证：△AOC≌△ABD；

（3）若∠CAD=30°，当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？

【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，作AE⊥OB于点E，由SAS定理得出△AEO≌△AEB，根据全等三角形的性质即可得出结论；

（2）先根据∠CAD=∠OAB，得出∠OAC=∠BAD，再由SAS定理即可得出△AEO≌△AEB；

（3）不变．直线DB过定点B且与x轴相交所成的锐角度数为30°；

【解答】解（1）证明：∵+（a﹣2b）2=0，

∴，解得，

∴A（1，3），B（2，0），

作AE⊥OB于点E

∵A（1，3），B（2，0），

∴OE=1，BE=2﹣1=1，

在△AEO与△AEB中，

∵，

∴△AEO≌△AEB，

∴AO=AB；

故答案为=．

（2）证明：∵∠CAD=∠OAB，

∴∠CAD+∠BAC=∠OAB+∠BAC，即∠OAC=∠BAD，

在△AOC与△ABD中，

∵，

∴△AOC≌△ABD（SAS）；

（3）不变．直线DB过定点B且与x轴相交所成的锐角度数为30°．

理由：设AC交BD于K．

∵由（2）知，△AOC≌△ABD，

∴∠ADB=∠ACO，

∵∠AKD=∠BKC，

∴∠DBC=∠DAC=30°，

∴∠OBP=∠DBC=30°

∵OB=2，∠OBP为定值，∠POB=90°，

∴OP长度不变，

∴点P在y轴上的位置不发生改变．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质、非负数的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

13．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．

【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．

【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中，，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB=∠CDB，

∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM=PN．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．

14．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．

【分析】根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．

【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴DE=DF，

∵S△ABC=28，AB=BC=8，

∴×8×DE+×8×DF=28，

∴8DE=28．

∴DE=3.5．

【点评】本题考查了角平分线定义的应用，能根据角平分线性质得出DE=DF是解此题的关键．

15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF．

（1）求证：CF=EB；

（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；

（2）根据全等三角形的性质定理得到AC=AE，根据（1）的结论得到答案．

【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，

∴DC=DE，

在Rt△DCF和Rt△DEB中，

，

∴Rt△DCF≌Rt△DEB，

∴CF=EB；

（2）AF+BE=AE．

∵Rt△DCF≌Rt△DEB，

∴AC=AE，

∴AF+FC=AE，

即AF+BE=AE．

【点评】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．