(完整版)2019年高考全国3卷文科数学及答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。1．已知集合，则2{1,0,1,2}{1}

A B x x =-=≤，A B =

A ．

B ．

C ．

D ．

{}

1,0,1-{}

0,1{}

1,1-{}

0,1,22．若，则z =

(1i)2i z +=A ． B ．C ．D ．1i --1+i -1i -1+i 3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

A ．

B ．

C ．

D ．16

14

13

12

4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0．5 B ．0．6 C ．0．7D ．0．8

5．函数在[0，2π]的零点个数为

()2sin sin2f x x x =-A ．2 B ．3 C ．4D ．56．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=A ． 16B ． 8C ．4 D ． 2

7．已知曲线

在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则e ln x

y a x x =+A ．a=e ，b =-1

B ．a=e ，b =1

C ．a=e -1，b =1

D ．a=e -1，

1

b =-

8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则

A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线

B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线

C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线

D ．BM

≠EN

，且直线BM ，EN 是异面直线

9．执行下边的程序框图，如果输入的为，则输出的值等于

ε0.01s A ．

4122-

B ．

5122-

C ．

6122-

D ．

7

122-

10．已知F 是双曲线C ：的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若

22

145x y -=，则的面积为

=OP OF

OPF △A ．B ．C ．D ．3

2

5

2

72

92

11．记不等式组表示的平面区域为D ．命题；命题

6,

20x y x y +⎧⎨

-≥⎩

…:(,),29p x y D x y ∃∈+…．下面给出了四个命题

:(,),212q x y D x y ∀∈+…①②③④p q

∨p q

⌝∨p q

∧⌝p q

⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是

B ．①②

C ．②③

D ．③④

12．设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则

()f x ()0,

+∞A ．（log 3）＞（）＞（） B ．（log 3）＞（）＞（

f 14f 3

2

2-f 2

32-f 14

f 2

32-f ）

32

2-C ．（）＞（）＞（log 3） D ．（）＞（）＞（log 3

f 322-

f 23

2-

f 14

f 23

2-f 3

22-f ）14

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，则___________．

(2,2),(8,6)==-a b cos ,<>=a b 14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若，则___________．

375,13a a ==10S =15．设为椭圆C :

的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12F F ，22

+13620

x y =为等腰三角形，则M 的坐标为___________．

12MF F △16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体

挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，

1111ABCD A B C D -E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，3D 打印所用原料16cm 4cm AB =BC =, AA =密度为0．9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：

记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5．5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．

（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．18．（12分）

的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知．ABC △sin

sin 2

A C

a b A +=（1）求B ；

（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．19．（12分）

图1是由矩形ADEB 、ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中

Rt △AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．

（1）证明图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的四边形ACGD

的面积．20．（12分）

已知函数

．32

()22f x x ax =-+（1）讨论的单调性；

()f x （2）当021．（12分）

已知曲线C ：y =，D 为直线y =上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为22x 1

2-

A ，

B ．

（1）证明：直线AB 过定点：

（2）若以E (0，)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的

5

2方程．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所

i

n 做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

如图，在极坐标系Ox 中，，，弧，(2,0)A )4B π)

4C 3π(2,)D πA AB ，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧

A BC A CD (1,0)(1,2π(1,)π1M A A

B 2M ，曲线是弧．

A BC 3M A CD （1）分别写出，的极坐标方程；

1M 2M 3

M （2）曲线由

，构成，若点在M 上，且P 的极坐

M 1M 2M 3M P ||OP =标．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

设，且．

,,x y z ∈R 1x y z ++=（1）求的最小值；

222

(1)(1)(1)x y z -++++（2）若成立，证明：或．2221

(2)(1)()3

x y z a -+-+-≥

3a ≤-1a ≥-

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学·参

一、选择题1．A 2．D 3．D

4．C

5．B

6．C

7．D

8．B

9．C

10．B

11．A 12．C 二、填空题

13．14．100

15．16．118．

8

三、解答题

17．解：（

1）由已知得0．70=a

+0．20+0．15，故a =0．35．

b =1–0．05–0．15–0．70=0．10．

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0．15+3×0．20+4×0．30+5×0．20+6×0．10+7×0．05=4．05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0．05+4×0．10+5×0．15+6×0．35+7×0．20+8×0．15=6．00．18．解：（1）由题设及正弦定理得．sin sin

sin sin 2

A C

A B A +=因为sin A 0，所以．≠sin

sin 2

A C

B +=由，可得，故．180A B

C ︒

++=sin

cos 22A C B +=cos 2sin cos 222

B B B

=因为，故，因此B =60°．cos

02B ≠1

sin 22

B =（2）由题设及（1）知的面积．AB

C △ABC S a =

△由正弦定理得．

()sin 120sin 1

sin sin 2

C c A a C C ︒-===+由于为锐角三角形，故0°ABC △

．122a <A A A

g a

g o

而A ，C ，G ，D 四点共面．

由已知得AB BE ，AB BC ，故AB 平面BCGE ．⊥⊥⊥又因为AB 平面ABC ，所以平面ABC 平面BCGE ．⊂⊥（2）取CG 的中点M ，连结EM ，DM ．

因为AB //DE ，AB 平面BCG E ，所以DE 平面BCGE ，故DE CG ．

⊥⊥⊥由已知，四边形BCGE 是菱形，且∠EBC =60°得EM CG ，故CG 平面DEM ．⊥⊥因此DM CG ．

⊥在DEM 中，DE =1，EM DM =2．Rt △所以四边形ACGD 的面积为4．

20．解：（1）．

2

()622(3)f x x ax x x a '=-=-令，得x =0或．()0f x '=3

a x =

若a >0，则当时，；当时，(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞

⎪⎝⎭ ()0f x '>0,3a x ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

．故在单调递增，在单调递减；

()0f x '<()f x (,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫

⎪⎝⎭

若a =0，在单调递增；()f x (,)-∞+∞若a <0，则当时，；当时，,

(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝

⎭ ()0f x '>,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

．故在单调递增，在单调递减．

()0f x '<()f x ,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,03a ⎛⎫

⎪⎝⎭

（2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所03a <<()f x 0,

3a ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭

以在[0,1]的最小值为，最大值为或．于

()f x 32327a a f ⎛⎫

=-+ ⎪⎝⎭

(0)=2f (1)=4f a -是

，3

227a m =-+4,02,2,2 3.

a a M a -<<⎧=⎨

≤<⎩

所以3

3

2,02,27

,2 3.27

a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩当时，可知单调递减，所以的取值范围是．

02a <<3227a a -+M m -8,227⎛⎫

⎪⎝⎭当时，单调递减，所以的取值范围是．

23a ≤<327a M m -8

[,1)27

综上，的取值范围是．M m -8

[

,2)27

21．解：（1）设，则．

()111,,,2D t A x y ⎛⎫-

⎪⎝

⎭2112x y =由于，所以切线DA 的斜率为，故 ．y'x =1x 1111

2y x x t

+

=-整理得

112 2 +1=0. tx y -设，同理可得．()22,B x y 222 2 +1=0tx y -故直线AB 的方程为．2210tx y -+=所以直线AB 过定点．

1(0,)2

（2）由（1）得直线AB 的方程为．12

y tx =+

由，可得．2

122

y tx x y ⎧

=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2210x tx --=于是．

()2

1212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+设M 为线段AB 的中点，则．21,2M t t ⎛⎫+

⎪⎝

⎭

由于，而，与向量平行，所

EM AB ⊥ ()2

,2EM t t =- AB (1, )t 以．解得t =0或．

(

)

220t t t +-=1t =±

当=0时，=2，所求圆的方程为；

t ||EM 2

2

542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭当时，所求圆的方程为．

1t =±||EM = 2

2

522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝

⎭22．解：（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，A

A A ,,A

B B

C C

D 2cos ρθ=，．

2sin ρθ=2cos ρθ=-所以的极坐标方程为，的极坐标方程为1M π2cos 04ρθθ⎛⎫

=≤≤

⎪⎝

⎭

2M ，的极坐标方程为．π3π2sin 4

4ρθθ⎛⎫=≤≤

⎪⎝⎭3M 3π2cos π4ρθθ⎛⎫

=-≤≤ ⎪⎝⎭

（2）设，由题设及（1）知

(,)P ρθ若，则，解得；π04θ≤≤

2cos θ=π

6

θ=若，则，解得或；π3π44θ≤≤2sin θ=π3θ=2π3θ=若，则．3ππ4θ≤≤2cos θ-=5π6

θ=综上，P 的极坐标为或或或．π6⎫⎪⎭π3⎫⎪⎭2π3⎫⎪⎭5π6⎫

⎪⎭

23．解：（1）由于2

[(1)(1)(1)]

x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]

x y z x y y z z x =-+++++-++++++-，

222

3(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦

故由已知得

，

2224

(1)(1)(1)3x y z -++++≥

当且仅当x =，

，时等号成立．5313y =-1

3z =-

所以的最小值为．

2

2

2

(1)(1)(1)x y z -++++4

3（2）由于

2

[(2)(1)()]x y z a -+-+-

222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]

x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--，

222

3(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦

故由已知，

2

2

2

2

(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥

当且仅当

，时等号成立．

43a x -=

13a y -=22

3a z -=因此的最小值为．222

(2)(1)()x y z a -+-+-2(2)3a +由题设知

，解得或．2(2)1

33a +≥3a ≤-1a ≥-