2019 年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(5 月份)

1．（4分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈Z}，集合B＝{y|y＝2x，x∈Z}，则集合A∩B 等于（）

A．{1，2}B．（1，2）C．{（1，2）}D．∅

2．（4分）若f（x）sin x是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）A．sin x B．cos x C．sin2x D．cos2x

3．（4分）满足线性约束条件，的目标函数z＝x+y的最大值是（）

A．1B．C．2D．3

4．（4分）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A．B．C．4D．

5．（4分）某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f（t）的图象大致为（）

A．

B．

C．

D．

6．（4分）将函数的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则下列关于函数y＝g（x）的说法错误的是（）

A．最小正周期为πB．初相为

C．图象关于直线对称

D．图象关于点对称

7．（4分）已知，则的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣1

8．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0．b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A、B分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O对称的两点，且直线AB的斜率为2．M、N 分别为AF2、BF2的中点，若原点O在以线段MN为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．

9．（4分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+2a，若函数y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域，则a的取值范围是（）

A．B．（﹣∞，1]C．D．[1，+∞）10．（4分）已知等差数列{a n}满足，|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣1|+|a2﹣1|+…+|a n﹣1|＝98，则n的最大值为（）

A．14B．13C．12D．11

二、填空题：本大题共7小题，共36分

11．（3分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，则z的模为；虚部为．12．（3分）若随机变量ξ的分布列如表所示，则a＝，E（ξ）＝．ξ﹣101

P a a2

13．（3分）已知a，b∈R+且a+2b＝3，则的最小值是；的最小值是．

14．（3分）在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B＝72，则展开式中常数项的值为．15．（3分）设椭圆C2：的左右焦点为F1，F2，离心率为，抛

物线C1：y2＝﹣4mx（m＞0）

的准线经过椭圆的右焦点．抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，若△PF1F2的三边长恰好是三个连续的自然数，则a的值为．

16．（3分）一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位．若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有种．

17．（3分）已知在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为BC1的中点，点P为△A1C1D及其内部的一动点，且|PD|＝|PM|，则点P的轨迹长度为．

三、解答题：本大题共5小题，共74分

18．（14分）已知三角形ABC中，cos（A+B）＝，cos（A﹣B）＝．（Ⅰ）求tan A•tan B的值；

（Ⅱ）若|AB|＝2，求三角形ABC的面积S．

19．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，点M是棱PC的中点，P A⊥平面ABCD．

（1）证明：P A∥平面BMD；

（2）当P A长度为多少时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．

20．（15分）对于数列{a n}，记△（1）a n＝a n+1﹣a n，k，

n∈N*，则称数列{△（k）a n}为数列{a n}的“k”阶数列．

（1）已知，若{a n}为等比数列，求a1的值；（2）已知，若a1＝1，且a n≥a3对n∈N*恒成立，求a2的取值范围．21．（15分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C过点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设点T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且，若

的取值范围．

22．（15分）已知函数f（x）＝e ax ln（x+1），其中a∈R．

（Ⅰ）设F（x）＝e﹣ax f（x），讨论F（x）的单调性；

（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣x在（0，+∞）内存在零点，求a的取值范围．2019年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（5月

份）

参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，共40分

1．（4分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈Z}，集合B＝{y|y＝2x，x∈Z}，则集合A∩B 等于（）

A．{1，2}B．（1，2）C．{（1，2）}D．∅

【分析】由题可得：集合A是点集，集合B是数集，由交集概念即可得解．

【解答】解：由题可得：集合A是点集，集合B是数集，

所以A∩B＝∅．

故选：D．

【点评】本题主要考查了集合的表示及交集运算，属于基础题．

2．（4分）若f（x）sin x是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）A．sin x B．cos x C．sin2x D．cos2x

【分析】分别把四个选项中的值代入f（x）sin x，逐一进行验证，求得f（x）＝sin x，则f（x）sin x＝sin2x为偶函数，排除A；f（x）＝sin2x，则f（x）sin x＝2cos x sin2x，为偶函数，排除C；f（x）＝cos2x，则f（x）sin x＝sin x﹣2sin3x，周期不为π排除D，f（x）＝cos x，则f（x）sin x＝sin2x，奇函数且周期为，符合题意．

【解答】解：若f（x）＝sin x，则f（x）sin x＝sin2x为偶函数，不符合题意．

若f（x）＝cos x，则f（x）sin x＝sin2x，奇函数且周期为，符合题意．

若f（x）＝sin2x，则f（x）sin x＝2cos x sin2x，为偶函数，不符合题意．

若f（x）＝cos2x，则f（x）sin x＝sin x﹣2sin3x，周期不为π不符合题意．

故选：B．

【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．考查了学生综合分析问题的能力．3．（4分）满足线性约束条件，的目标函数z＝x+y的最大值是（）

A．1B．C．2D．3

【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z＝x+y过点B（1，1）时，z最大值即可．

【解答】解：先根据约束条件画出可行域，

当直线z＝x+y过点B（1，1）时，z最大值为2．

故选：C．

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（4分）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A．B．C．4D．【分析】依三视图知该几何体为三棱锥，画出直观图、判断出位置关系和求出长度，利用椎体的体积公式求出答案．

【解答】解：依三视图知该几何体为三棱锥D﹣ABC，连接AF，

过D作DE⊥AE，则DE为底面ABC的高，

由三视图可得S ABC＝，DE＝

所以其体积V＝

故选：B．

【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体和补形是解题的关键，考查空间想象能力．属于中档题．

5．（4分）某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f（t）的图象大致为（）

A．B．

C．

D．

【分析】题干错误：θ＝∠AOP（＞0），应该去掉括号．

根据视角θ＝∠AOP的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项．

【解答】解：根据小车从点A出发的运动轨迹可得，视角θ＝∠AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，

故选：D．

【点评】本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题．

6．（4分）将函数的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则下列关于函数y＝g（x）的说法错误的是（）

A．最小正周期为π

B．初相为

C．图象关于直线对称

D．图象关于点对称【分析】首先利用三角函数的关系式的平移和伸缩变换求出函数g（x）的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．

【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，得到：y＝2sin （4x+）的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g（x）＝2sin （2x+）的图象，

所以：①函数的最小正周期为：T＝π．

②初相为．

③当x＝时，函数为最值，故图象关于x＝对称．

故D错误．

故选：D．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的平移变换，正弦型函数的性质的应用．7．（4分）已知，则的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣1

【分析】由向量数量积的坐标运算有：设＝（2，0），＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），所以＝2（cosβ﹣cosα）﹣cos（α﹣β）+1，再结合三角函数的有界性及排除法可得解．

【解答】解：因为，

设＝（2，0），＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），

所以＝2（cosβ﹣cosα）﹣cos（α﹣β）+1，

又cosα，cosβ，cos（α﹣β）∈[﹣1，1]，

又2（cosβ﹣cosα）≥﹣4，cos（α﹣β）≤1，

又2（cosβ﹣cosα）≥﹣4，cos（α﹣β）≤1不能同时取等号，

所以2（cosβ﹣cosα）﹣cos（α﹣β）+1＞﹣4，

又当β＝π，α＝0时，

2（cosα+cosβ）﹣cos（α﹣β）+1取值﹣2，

则可排除B．C，D选项，故选：A．

【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算及三角函数的有界性，属中档题．

8．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0．b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A、B分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O对称的两点，且直线AB的斜率为2．M、N 分别为AF2、BF2的中点，若原点O在以线段MN为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．

【分析】设B（x0，2x0），表示出M，N的坐标，根据OM⊥ON得出x0与c的关系，代入双曲线方程化简即可得出离心率．

【解答】解：设B（x0，2x0）（x0＞0），则A（﹣x0，﹣2x0），F2（c，0），

∵M，N分别为AF2、BF2的中点，

∴M（，﹣x0），N（，x0），

∵原点O在以线段MN为直径的圆上，

∴OM⊥ON，∴＝0，

∴﹣2x02＝0，即x0＝，故B（，），

把B（，）代入双曲线方程＝1可得：﹣＝1，

∴c2（c2﹣a2）﹣8c2a2﹣9a2（c2﹣a2）＝0，

∴9a4﹣18a2c2+c4＝0，即e4﹣18e2+9＝0，

解得e2＝9+6或e2＝9﹣6（舍）．

∴e＝+．

故选：C．

【点评】本题考查了双曲线的简单性质，离心率计算，属于中档题．

9．（4分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+2a，若函数y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域，则a的取值范围是（）

A．B．（﹣∞，1]C．D．[1，+∞）

【分析】判断f（x）的单调性，求出f（x）的值域，根据y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域得出f（x）的最小值与极小值点的关系，得出a的范围．

【解答】解：f′（x）＝lnx，故而当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

∴f（x）的最小值为f（1）＝2a﹣1．

即f（x）的值域为[2a﹣1，+∞），

∵函数y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域，

∴0＜2a﹣1≤1，解得：＜a≤1．

故选：A．

【点评】本题考查了函数的单调性判断，函数最值的计算，属于中档题．

10．（4分）已知等差数列{a n}满足，|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣1|+|a2﹣1|+…+|a n﹣1|＝98，则n的最大值为（）

A．14B．13C．12D．11

【分析】由题意可得{a n}中的项一定满足或，且项数为偶数，设n

＝2k，k∈N*，等差数列的公差设为d，由a1＜0，d＞0，且a k+1≤0，即a k≤﹣1，a k+1≥1，结合等差数列的求和公式，以及不等式的性质，可得所求最大值．

【解答】解：等差数列{a n}满足，|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣1|+|a2﹣1|+…+|a n﹣1|＝98，

可得等差数列不为常数列，且{a n}中的项一定满足或，

且项数为偶数，设n＝2k，k∈N*，等差数列的公差设为d，不妨设，

则a1＜0，d＞0，且a k+1≤0，a k﹣1＜0即a k≤﹣1，

由a k+1﹣1≥0，

则﹣1+kd≥a k+kd≥1，即kd≥2，

即有d≥2，

则|a1|+|a2|+…+|a n|＝﹣a1﹣a2﹣…﹣a k+a k+1+…+a2k

＝﹣（ka1+d）+k（a1+kd）+d

＝k2d＝98，

可得98≥2k2，即有k≤7，

即有k的最大值为7，n的最大值为14．

故选：A．

【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及绝对值的意义，考查运算能力和推理能力，属于难题．

二、填空题：本大题共7小题，共36分

11．（3分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，则z的模为1；虚部为．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．

【解答】解：由（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，

得z＝，

∴|z|＝．

z的坐标为．

故答案为：1；．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．12．（3分）若随机变量ξ的分布列如表所示，则a＝，E（ξ）＝﹣．ξ﹣101

P a a2

【分析】由随机变量ξ的分布列的性质求出a＝，由此能求出E（ξ）．

【解答】解：由随机变量ξ的分布列，得：

，解得a＝，

∴E（ξ）＝＝﹣．

故答案为：．

【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查随机变量ξ的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

13．（3分）已知a，b∈R+且a+2b＝3，则的最小值是3；的最小值是3．【分析】由已知可知，＝（）（a+2b），展开后利用基本不等式可求；

由a+2b＝3，由基本不等式可得，3＝a+b+b≥3，可求ab2≤1，再次利用基本不等式＝可求．

【解答】解：∵a+2b＝3，

则＝（）（a+2b）＝，

当且仅当且a+2b＝3，即a＝b＝1时取等号；

∵a+2b＝3，

由基本不等式可得，3＝a+b+b≥3，

∴ab2≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，

则＝≥3，当且仅当即a＝b时取等号故答案为：3，3

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑14．（3分）在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B＝72，则展开式中常数项的值为9．

【分析】由二项展开式的性质可得A＝4n，B＝2n，由A+B＝4n+2n＝72可得n＝3，而

展开式的通项为＝，令可得r，代入可求

【解答】解：由二项展开式的性质可得A＝4n，B＝2n

∴A+B＝4n+2n＝72

∴n＝3

∵展开式的通项为＝

令可得r＝1

常数项为T2＝3×C31＝9

故答案为：9

【点评】本题主要考查了二项展开式的通项在求解二项展开式的指定项中的应用，解题的关键是利用二项式的性质得出A，B的值．

15．（3分）设椭圆C2：的左右焦点为F1，F2，离心率为，抛

物线C1：y2＝﹣4mx（m＞0）

的准线经过椭圆的右焦点．抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，若△PF1F2的三边长恰好是三个连续的自然数，则a的值为6．

【分析】由题意画出图形，设c＝m，a＝2m，|F1F2|＝2m，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，利用抛物线与椭圆的焦半径相等列式求得三角形PF1F2的边长分别是，．可得m ＝3时，能使三角形PF1F2的边长是连续的自然数，此时a＝2m＝6．

【解答】解：由题意，设c＝m，a＝2m，|F1F2|＝2m．

又设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，有r1+r2＝2a＝4m；

设P（x0，y0），

对于抛物线C1，r1＝﹣x0+m；

对于椭圆C2，即，

由，解得，

∴，从而．

因此，三角形PF1F2的边长分别是，．

∴m＝3时，能使三角形PF1F2的边长是连续的自然数，此时a＝2m＝6．

故答案为：6．

【点评】本题考查了圆锥曲线的位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

16．（3分）一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位．若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有75种．

【分析】根据题意，分4种情况讨论：①，小蜜蜂向正方向飞行4次，负方向飞行1次，每次飞行1个单位，②，小蜜蜂向正方向飞行4次，有3次飞行1个单位，1次飞行2个单位，负方向飞行1次，飞行2个单位，③，小蜜蜂向正方向飞行3次，有2次飞行2个单位，1次飞行1个单位，负方向飞行2次，每次飞行1个单位，④，小蜜蜂向正方向飞行3次，每次飞行2个单位，负方向飞行2次，1次飞行2个单位，1次飞行1个单位，由加法原理计算可得答案．

【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①，小蜜蜂向正方向飞行4次，负方向飞行1次，每次飞行1个单位，有C51＝5种飞行

方式，

②，小蜜蜂向正方向飞行4次，有3次飞行1个单位，1次飞行2个单位，

负方向飞行1次，飞行2个单位，有C51C41＝20种飞行方式，

③，小蜜蜂向正方向飞行3次，有2次飞行2个单位，1次飞行1个单位，

负方向飞行2次，每次飞行1个单位，有C52C31＝30种飞行方式，

④，小蜜蜂向正方向飞行3次，每次飞行2个单位，

负方向飞行2次，1次飞行2个单位，1次飞行1个单位，有C53A22＝20种飞行方式，则一共有5+20+30+20＝75种飞行方式，

故答案为：75

【点评】本题考查分类计数原理合的应用，关键是分析蜜蜂飞行的次数和单位，进行分类讨论．

17．（3分）已知在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为BC1的中点，点P为△A1C1D及其内部的一动点，且|PD|＝|PM|，则点P的轨迹长度为．

【分析】满足PM＝PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，根据P是△A1C1D内（包括边界）的动点，可得点P的轨迹是两平面的交线ST，T在中点，S在4等分点，利用余弦定理，求出ST即可．

【解答】解：满足PM＝PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，

∵P是△A1C1D内（包括边界）的动点，

∴点P的轨迹是两平面的交线ST，T为DC1中点，

S在4等分点时，SD＝3，SM＝＝3，满足SD＝SM．

∴SD＝3，TD＝2∴ST2＝＝14．

∴ST＝．

故答案为：．

【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查轨迹的求解，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共74分

18．（14分）已知三角形ABC中，cos（A+B）＝，cos（A﹣B）＝．（Ⅰ）求tan A•tan B的值；

（Ⅱ）若|AB|＝2，求三角形ABC的面积S．

【分析】（Ⅰ）利用余弦的和角差角公式展开得sin A sin B与cos A cos B，再根据商数关系可得．

（Ⅱ）根据c＝|AB|以及sin C求得外接圆直径，再利用正弦定理将a，b化成直径和正弦值代入面积公式可得．

【解答】解：（Ⅰ）由cos（A+B）＝得cos A cos B﹣sin A sin B＝，①；

由cos（A﹣B）＝得cos A cos B+sin A sin B＝，②；

①+②得cos A cos B＝；②﹣①得sin A sin B＝，

∴tan A tan B＝＝＝．

（Ⅱ）∵cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cos C＝，∴cos C＝﹣，sin C＝，∴三角形外接圆直径2R＝＝＝5，

∴S＝＝•2R sin A•2R sin B•sin C＝××＝．

【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．

19．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，点M是棱PC的中点，P A⊥平面ABCD．

（1）证明：P A∥平面BMD；

（2）当P A长度为多少时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．

【分析】（1）连结AC，BD，交于点O，连结OM，推导出OM∥P A，由此能证明P A∥平面BMD．

（2）以O为原点，OB，OC，OM分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当P A长度为2或时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．

【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OM，

∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，点M是棱PC的中点，

∴OM∥P A，

∵OM⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，

∴P A∥平面BMD．

解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，点M是棱PC的中点，

∴BD⊥AC，OM⊥平面ABCD，OB＝OD＝，OA＝OC＝1，

以O为原点，OB，OC，OM分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设当P A＝a时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．

A（0，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，﹣1，a），M（0，0，），B（，0，0），＝（0，1，），＝（﹣），＝（﹣，﹣1，a），

设平面PBC的法向量＝（x，y，z），

则，取x＝1，得＝（1，），＝＝，

解得a＝2或a＝．

∴当P A长度为2或时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足线面角线面角的正弦值的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

20．（15分）对于数列{a n}，记△（1）a n＝a n+1﹣a n，k，n∈N*，则称数列{△（k）a n}为数列{a n}的“k”阶数列．

（1）已知，若{a n}为等比数列，求a1的值；

（2）已知，若a1＝1，且a n≥a3对n∈N*恒成立，求a2的取值范围．【分析】（1）根据题意列出等式，利用等比数列的定义完成本题即可．

（2）根据定义正确列出等式，求出满足恒成立应满足的条件即可，最后求出范围．

【解答】解：（1）∵，且{a n}为等比数列，∴，即，解得．

当n≥2时，a n＝△a n﹣1+…+△a1+a1＝＝．当n＝1时，符合上式．故{a n}为等比数列，即．

（2）∵＝

＝＝，

由是递增的，

∴a n≥a3对n∈N*恒成立，当且仅当满足

∴，解得﹣7≤a2≤0．

故答案为a2∈[﹣7，0]．

【点评】本题考查了新定义的数列应用，能读懂题意是正确完成本题的关键．21．（15分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C过点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设点T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且，若

的取值范围．

【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2＝4x求得c＝1．设椭圆C的标准方程为

，由于椭圆C过点．代入椭圆方程可得，又a2＝b2+c2，联立解得即可；

（II）对直线l的斜率分类讨论：当直线l的斜率不存在时，即λ＝﹣1时，直接求出．当直线l的斜率存在时，即λ∈[﹣2，﹣1）时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量相等，可得，且λ＜0．进而得到：．由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k2的取值范围．由于＝（x1﹣2，y1），＝（x2﹣2，y2），可得＝，通过换元，令，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2＝4x得c＝＝1，

设椭圆C的标准方程为，

∵椭圆C过点．

∴，

又a2＝b2+1，

联立解得b2＝1，a2＝2．

故椭圆C的标准方程为．

（Ⅱ）

1）当直线l的斜率不存在时，即λ＝﹣1时，，

又T（2，0），∴．

2）当直线l的斜率存在时，即λ∈[﹣2，﹣1）时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），

由得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），显然y1≠0，y2≠0，则由根与系数的关系，

可得：，

∴，①②

∵，∴，且λ＜0．

将①式平方除以②式得：，

由λ∈[﹣2，﹣1）得即．

故，解得．∵＝（x1﹣2，y1），＝（x2﹣2，y2），

∴＝（x1+x2﹣4，y1+y2），

又，

故＝

，

令，∵，∴，即，

∴．

∴．

综上所述：∈．

【点评】本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

22．（15分）已知函数f（x）＝e ax ln（x+1），其中a∈R．

（Ⅰ）设F（x）＝e﹣ax f（x），讨论F（x）的单调性；

（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣x在（0，+∞）内存在零点，求a的取值范围．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，结合函数的零点，从而确定a的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是{x|x＞﹣1}，

f′（x）＝a•e ax ln（x+1）+e ax•＝e ax（aln（x+1）+），

故F（x）＝aln（x+1）+，则F′（x）＝，

若a＝0，则F′（x）＜0，F（x）在（﹣1，+∞）递减，若a≠0，则令F′（x）＝0，解得：x＝﹣1，

（i）当a＜0时，则x＝﹣1＜﹣1，

故在（﹣1，+∞）上恒有F′（x）＜0，

即F（x）在（﹣1，+∞）递减；

（ii）a＞0时，x＝﹣1＞﹣1，因而在（﹣1，﹣1）上，F′（x）＜0，

在（﹣1，+∞）上，F′（x）＞0，

故F（x）在（﹣1，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增；

（Ⅱ）g（x）＝f（x）﹣x＝e ax ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），

g′（x）＝e ax（aln（x+1）+）﹣1＝e ax F（x）﹣1，

设h（x）＝g′（x）＝e ax F（x）﹣1，

则h′（x）＝e ax（a2ln（x+1）+），

（i）若a≤0，由x＞0可知0＜e ax≤1，另可证当x＞0时，ln（x+1）＜x，

∴g（x）＝e ax ln（x+1）﹣x＜x（e ax﹣1）≤0，

故g（x）＜0对任意x∈（0，+∞）都成立，

故g（x）在（0，+∞）上无零点，因此a＞0，；

（ii）当0＜a＜时，考查函数h′（x），由于h′（0）＝2a﹣1＜0，h′（）＞0，故h′（x）在（0，+∞）上必存在零点，

设h′（x）在（0，+∞）的第一个零点是x0，

则当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，

故h（x）在（0，x0）递减，又h（x0）＜h（0）＝0，

故x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，从而g（x）在（0，x0）递减，

故在（0，x0）上恒有g（x）＜g（0）＝0，

即g（x0）＜0，注意到e ax＞ax，

故g（x）＞axln（x+1）﹣x＝x（aln（x+1）﹣1），

令x＝，则g（x）＞0，

由零点存在定理可知函数y＝g（x）在（x0，）上有零点，符合题意；

（iii）若a ≥，则由x＞0，可得h′（x）＞0恒成立，

从而h（x）在（0，+∞）上递增，

也即g′（x）在（0，+∞）递增，

故g′（x）＞g′（0）＝0，

即g（x）在（0，+∞）递增，

从而g（x）＞g（0）＝0恒成立，

综上，a的范围是（0，）．

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

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