2021-2022学年人教版九年级上学期期末数学试卷 (含解析)

一、单选题

1.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（  ）            

A.          B.          C.          D. 

2.下列事件中，必然事件是（　  　）            

A. 2月份有31天                                                      B. 一个等腰三角形中，有两条边相等

C. 明天的太阳从西边出来                                       D. 投掷一枚质地均匀的骰子，出现6点向上

3.二次函数  的图象是（   ）            

A.                       B.                       C.                       D. 

4.将平面直角坐标系内某图形上各个点的纵横坐标都乘－1，所得图形与原图形的关系是（   ）

A. 关于x轴对称                      B. 关于y轴对称                      C. 关于原点对称                      D. 位置不变

5.已知关于x的一元二次方程2x2﹣  x+m＝0有两个实数根，那么化简  的结果为（   ）            

A. m﹣1                                B. 1﹣m                                C. ±（m﹣1）                                D. m+1

6.如图，  是圆内接四边形  的一条对角线，点  关于  的对称点  在边  上，连接  .若  ，则  的度数为（   ）  

A. 106°                                    B. 116°                                    C. 126°                                    D. 136°

7.在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品．现从中任意抽取l个进行检测，抽到不合格产品的概率是（   ）            

8.如图，在扇形纸片AOB中，OA =10，AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（  ）．

A.12π   B.11π    C.10π      D.10π+-5

9.在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（   ）

A.                 B. x（x﹣1）=90                C.                 D. x（x+1）=90

10.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（  ）  

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

二、填空题

11.已知  是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1，x2 ,且 

 ，则a=________  。

12.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线p=ax2-10ax+8（a＞0）经过点C、D，则点B的坐标为________．  

13.一名篮球运动员在某段时间内进行定点投篮训练，其成绩如下表：  

14.关于x的一元二次方程（k-1）x2+6x+k2-k=0的一个根是0，则k的值是________.    

15.圆锥的侧面展开图的面积为  ，母线长为3，则该圆锥的底面半径为________.    

16.如图，储油罐的截面是直径为20cm的圆，装入一些油（阴影部分）后，若油面宽AB＝16cm，油的最大深度是      cm  

三、解答题

17.解方程：    

（1）x2﹣6x﹣4＝0（用配方法解）                  （2）x2﹣12x＋27＝0    

18.如图所示，在Rt中，  ， OA=OB=6,，将 绕点O 沿逆时针方向旋转90得到 ． 

（1）线段0A1的长是           ，的度数是         ；

（2）连接AA1 ，求证：四边形OAA1B1是平行四边形.

19.为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均20平方米提高到24.2平方米，求城镇居民住房面积的年平均增长率.    

20.九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．

（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？

21.如图，某地有一座圆弧形拱桥，    

（1）如图1，请用尺规作出圆弧所在圆的圆心O；  

（2）如图2，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m．桥下水面宽度AB为7.2m，现有一艘宽3m、船舱顶部为方形并高出水面2m的货船要经过拱桥，请通过计算说明此货船能否顺利通过这座拱桥.  

22.已知：如图1，在  中，  ，  ，  ，  与边  、  相切于点  、  .求：  

（1）当  的半径为2时，求弧  的长，    

（2）当  与  边相切时，求  的半径。    

（3）如图2，当  的半径  为  时，  与  交于  、  两点，求  的长，    

23.如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝  的图象相交于点A（﹣1，4）和点B（4，n）．  

（1）求这两个函数的解析式；    

（2）已知点M在线段AB上，连接OA，OB，OM，若S△AOM＝  S△BOM ，求点M的坐标．    

24.如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），D为抛物线的顶点．  

（1）求抛物线的解析式；    

（2）如图2，若H为射线DA与y轴的交点，N为射线AB上一点，设N点的横坐标为t ，△DHN的面积为S，求S与t的函数关系式；    

（3）如图3，在（2）的条件下，若N与B重合，G为线段DH上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F ，连接AF ，若NG=NQ ，NG⊥NQ ，且∠AGN＝∠FAG ，求F点的坐标．    

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 C   

【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； 

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；

D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误.

故答案为：C.

 【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形;把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.

2.【答案】 B   

【解析】【解答】解：A、“2月份有31天”属于不可能事件，故不符合题意； 

B、“一个等腰三角形中，有两条边相等”属于必然事件，故符合题意；

C、“明天的太阳从西边出来”属于不可能事件，故不符合题意；

D、“投掷一枚质地均匀的骰子，出现6点向上”属于随机事件，故不符合题意；

故答案为：B.

【分析】根据必然事件、不可能事件及随机事件的概念可直接进行排除选项.

3.【答案】 C   

【解析】【解答】由二次函数  可得：开口向上，顶点坐标为  ，对称轴为直线  ； 

故答案为：C．

 【分析】根据二次函数的解析式可得到顶点坐标、对称轴即可判断。

4.【答案】 C   

【解析】【解答】各个点的纵横坐标都乘－1即横坐标与纵坐标都互为相反数，所以各个点都关于原点对称，所以所得图形与原图形关于原点对称．

【分析】图形上各点的坐标互为相反数，那么这两个图形关于原点对称．

5.【答案】 B   

【解析】【解答】解：由题意可知：△=8-8m≥0， 

∴m≤1，

∴m-1≤0，

∴原式=|m-1|=-（m-1）=1-m，

故答案为：B.

 【分析】由已知一元二次方程有两个实数根，可得△≥0，建立关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围；再利用二次根式的性质进行化简。

6.【答案】 B   

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形， 

∴∠D=180°-∠ABC=180°-°=116°，

∵点D关于  的对称点  在边  上，

∴∠D=∠AEC=116°，

故答案为B.

【分析】根据圆的内接四边形对角互补，得出∠D的度数，再由轴对称的性质得出∠AEC的度数即可.

7.【答案】 B   

【解析】【解答】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，用不合格品件数与产品的总件数比值即可：  ．   

故答案为：B．

【分析】

8.【答案】 A   

【解析】【分析】点O所经过的路线是2段弧和一条线段，一段是以点B为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB一样长的线段，最后一段是以点A为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，从而得出答案．

【解答】点O所经过的路线长=

故选A．

9.【答案】 B   

【解析】【解答】解：设某一小组共有x个队，

那么每个队要比赛的场数为x﹣1；

则共赛的场数可表示为x（x﹣1）=90．

故答案为：B

【分析】设某一小组共有x个队，则每个队要比赛的场数为x﹣1，根据每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，该小组共赛了90场，列方程即可。

10.【答案】 C   

【解析】【解答】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=  =1，∴b=﹣2a＜0，所以②符合题意；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以①符合题意；∵点（﹣2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），所以③符合题意；∵x=﹣1时，y＜0， 

即a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，所以④不符合题意．

故答案为：C．

 【分析】根据二次函数的图象和性质，分别进行判断得到答案即可。

二、填空题

11.【答案】    

【解析】【解答】∵  是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1  ， x2  ，  

∴  ，

∵ 

∴  ，整理得：  ，

解得：  ，

∵方程：  ，  ，

∴ 

 故答案为：

 【分析】利用一元二次方程根与系数求出  ， 再将转化为  ， 然后代入建立关于a的方程，求出方程的解即可。

12.【答案】 （4，0）   

【解析】【解答】解：∵抛物线p＝ax2−10ax＋8＝a（x−5）2−25a＋8， 

∴该抛物线的顶点的横坐标是x＝5，当x＝0时，y＝8，

∴点D的坐标为：（0，8），

∴OD＝8，

∵抛物线p＝ax2−10ax＋8（a＞0）经过点C、D，CD∥AB∥x轴，

∴CD＝5×2＝10，

∴AD＝10，

∵∠AOD＝90°，OD＝8，AD＝10，

∴AO＝  ，

∵AB＝10，

∴OB＝10−AO＝10−6＝4，

∴点B的坐标为（4，0），

故答案为：（4，0）

【分析】根据抛物线p＝ax2−10ax＋8（a＞0）经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线顶点的横坐标和CD的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得AO的长，从而可以求得OB的长，进而写出点B的坐标．

13.【答案】 0.9或    

【解析】【解答】解：三次投篮命中的平均数  . 

故答案为：0.9或  .

【分析】对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法.

14.【答案】 0   

【解析】【解答】由于关于x的一元二次方程  的一个根是0，把x=0代入方程，得   ，解得，k1=1，k2=0 

当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，方程  不是关于x的二次方程，故k≠1.

所以k的值是0.故答案为：0.

 【分析】根据一元二次方程的二次项系数不为0可得关于k的不等式，解不等式可求得k的范围；由题意把x=0代入原方程可得关于k的方程，解方程并结合K的范围可求得k的值.

15.【答案】 2   

【解析】【解答】解：设底面周长为C，底面半径为r. 

∵侧面展开图的面积为6π，

∴6π=  C×3，C=4π=2πr，

∴r=2.

故答案为：2.

 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长×  ， 代入相应数值计算即得.

16.【答案】 4   

【解析】【解答】解：连接OA，过点O作  ，交AB于点M， 

∵直径为20cm，AB=16cm，

∴ 

∴ 

∴ 

故答案为：4.

 【分析】连接OA，过点O作  ，交AB于点M，根据垂径定理得出AM=AB =8cm，利用勾股定理可求出OM的长，由ME=OE-OM即可求出结论.

三、解答题

17.【答案】 （1）解：     

  ，  

（2）解：     

  ，  

【解析】【分析】（1）用配方法解，先把常数项移到等式右边，再在两边同时加一次项系数一半的平方9，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法求解即可；

 （2）用十字相乘法将方程的左边写成两个因式的乘积形式，然后根据两个因式的乘积为0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.

18.【答案】 解：（1）6，135°；

（2）∵∠AOA1=∠OA1B1=90°

∴OA∥A1B1

又OA=AB=A1B1  ， 

【解析】【分析】

（1）旋转后的图形与原图形全等知OA1与OA相等，∠AOB1=∠AOA1+∠A1OB1=90°+45°=135°.

(2)根据一组对边平等且相等的四边形是平等四边形可证明四边形OAA1B1是平行四边形.

19.【答案】 解：设城镇居民住房面积的年平均增长率为x，  

依题意得：20（1+x）2＝24.2，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）.

答：城镇居民住房面积的年平均增长率为10%.

【解析】【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程求解.

20.【答案】 解：（1）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，甲同学获得一等奖的有2种情况，

∴甲同学获得一等奖的概率为：=；

（2）不一定，当两张牌都是3时，|x|=0，不会有奖．

【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲同学获得一等奖的情况，再利用概率公式即可求得答案；

（2）由树状图可得：当两张牌都是3时，|x|=0，不会有奖．

21.【答案】 （1）解：如图  

（2）解：如图，连接ON，OB. ∵OC⊥AB，∴D为AB的中点． ∵AB＝7.2m， 

∴BD＝  AB＝3.6m.

设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝(r－2.4)m.

 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得r2＝(r－2.4)2＋3.62  ， 解得r＝3.9， 

∴OD＝r－2.4＝1.5(m)．

∵船宽3m，根据垂径定理，得EN＝DF＝1.5m，

∴OE＝  ＝  ＝3.6(m)，

∴FN＝DE＝OE－OD＝2.1m＞2m，

 ∴此货船能顺利通过这座拱桥   

【解析】【分析】（1）根据垂径定理，该弧所在的圆的圆心，一定在该弧所在的圆的任意两条弦的垂直平分线的交点上，故在弧AB上任意取一点H，连接AH,BH，利用尺规作图法作出弦AH,BH的垂直平分线，两线的交点就是这段弧所在圆的圆心；

 （2） 如图，连接ON，OB ，根据垂径定理得出 BD＝  AB＝3.6m  ，  设OB＝OC＝ON＝rm  ， 则OD＝(r－2.4)m ， 在Rt△BOD中 ，根据勾股定理建立方程，求解即可算出r的值，进而即可得出OD的长； 根据垂径定理，得EN＝DF＝1.5m  ，  在Rt△OEN中，利用勾股定理得出OE的长，根据矩形的对边相等及线段的和差由 FN＝DE＝OE－OD 算出FN的长，将该长与2进行比较即可得出答案。

22.【答案】     （1）解：如图，连结  、  ，   

∵圆  与  、  相切于点  、  ，  ，

又∵  ，∴  ，

∴弧  

（2）解：当  与  边相切时，  为  的内切圆；  

 ，

 ，

解得：  

（3）解：如图，连结  、  、  、  ，作  于点  ，  

∵  ，  ，  ，

∴  ，∴  ，

在  中，  ，

∵  ，∴  ，

∴  

【解析】【分析】（1）连接OE，OF，由切线的性质可得∠AFO=∠AEO=90°，结合∠A的度数求出∠EOF的度数，然后根据弧长公式进行计算；

 （2）首先由勾股定理求出BC的值，然后由三角形的面积公式可得△ABC的面积，据此可得半径；

 （3）连接OE、OF、OA、OM，作OH⊥CB于点H，易得AF、CF的值，然后在Rt△HOM中，利用勾股定理求出HM的值，进而得到NM的值.

23.【答案】 （1）解：把A（﹣1，4）代入y＝  得k2＝﹣1×4＝﹣4，   

∴反比例函数解析式为y＝﹣  ，

把B（4，n）代入y＝﹣  ，得4n＝﹣4，

解得：n＝﹣1，则B（4，﹣1），

把A（﹣1，4）和B（4，﹣1）代入y＝k1x+b得

 ，解得  ，

∴一次函数解析式为y＝﹣x+3

（2）解：设M（t，﹣t+3）（﹣1＜t＜4），  

∵S△AOM＝  S△BOM  ， 

∴AM＝  BM，

∴（t+1）2+（﹣t+3﹣4）2＝   [（t﹣4）2+（﹣t+3+1）2]，

整理得（t﹣4）2＝4（t+1）2  ， 

解得：t1＝  ，t2＝﹣6（舍去），

∴点M的坐标为（  ，  ）．

【解析】【分析】（1）先把A点坐标代入y＝  中求出得k2得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）设M（t，﹣t+3）（﹣1＜t＜4），利用三角形面积公式得到AM＝  BM，根据两点间的距离公式得到（t+1）2+（﹣t+3﹣4）2＝  [（t﹣4）2+（﹣t+3+1）2]，然后解方程求出，从而得到点M的坐标．

24.【答案】 （1）解：抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0）， 

代入得  ，

解得  ，

∴抛物线解析式为y＝−x2＋6x−8；

（2）解：如图1中，连接OD． 

∵y＝−x2＋6x−8=−（x-3）2＋1

∴顶点D坐标（3，1），

∵A（2，0）

设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0）

把A（2，0），（3，1）代入得  

解得  

∴直线AD的解析式为y=x-2，

令x=0，解得y=-2

∴H（0，−2）．

∵设N点的横坐标为t，

∴△DHN的面积S＝S△OND＋S△ONH−S△OHD＝  ×t×1＋  ×t×2−  ×2×3＝  t−3．

∴S＝  x−3；

（3）解：如图2中，延长FG交OB于M． 

∵H（0，−2），A（2，0）

∴OH＝OA=2，

∴∠OAH＝∠OHA＝45°，

∵FM  OH，

∴∠MGA＝∠OHA＝∠MAG＝45°，

∴MG＝MA，

∵∠FAG＝∠NGA，

∴∠MAF＝∠MGN，

在△MAF和△MGN中，

∵  ，

∴△MAF≌△MGB，

∴FM＝BM．设M（m，0），

∴−（−m2＋6m−8）＝4−m，

解得m＝1或4（舍弃），

∴M（1，0）

∴BM=4-1=3  

∴FM＝3，

∴F（1，-3）．

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；

 （2）先利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=x-2， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；

 （3）先求出 ∠MAF＝∠MGN， 再利用SAS证明 △MAF≌△MGB， 最后求点的坐标即可。