量子力学试题A附答案

2.　证明题和计算题必须写出主要过程

一、填空题　(每小题2分，2×5＝10分)

１、玻尔原子模型的三个假设是（                                                   ）。

２、波函数的标准条件为（                                                      ）。

３、正交归一方程的狄拉克表示为（                    ）。

4、动量表象下的坐标算符表示形式（         ）。

5、的共同本征函数为（               ）。

二、单项选择题（每小题2分，2×5＝10分）

１、Â与Ĉ对易，则两算符：

(1)有组成完全系的共同本征函数；　　（2）没有组成完全系的共同本征函数；

 (3) 不能确定。

   ２、自由粒子能级的简并度为：

（1）1               (2) 2               (3)  3             (4)4     

3、设线性谐振子处于描述的状态时，则该态中能量的平均值为

（1）0 ;            （2）          (3)；       （4）

4、两个能量本征值相同的定态，它们的线性组合

（1）一定是定态 ;             （2）不是定态

 (3) 不能确定

5、 对氢原子体系（不考虑自旋）在电偶极近似下，下列能够实现的跃迁是：

(1)Ψ322→Ψ300;  (2) Ψ211→Ψ100;  (3) Ψ322→Ψ21-1;  (4) Ψ322→Ψ200;  

三、简述（每小题5分，5×4＝20分）

1、光电效应实验的规律

2、量子力学中态的叠加原理

3、希尔伯特空间

4、辏力场中，偶极跃迁的选择定则

四、推导证明题(每小题10分，10×2 ＝ 20分)

宝鸡文理学院试题

课程名称　　　量子力学　　　适用时间        2008-7-7       　 

试卷类别     　  A          适用专业   05级物理学1、2、3班  

1、求证在的本征态下。

2、设是厄米算符，若，证明也是厄米算府。

五、计算题（40分）

1.（15分）设已知在的共同表象中，算符的矩阵分别为

     求它的本征值和归一化的本征函数。

2．（10分）设体系未受微扰时只有二个能级及，现在受到微扰H/作用,微扰矩阵元为a,b都是实数，用微扰公式计算能量到二级修正。

3. （15分）设氢原子处于

的状态上，求其能量、角动量平方及角动量Z分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。

一、填　空　(每小题2分，2×5＝10分)

1．定态假设，频率条件（或），角动量量子化（或）；  ．单值，有限，连续  ． 

4．　　　　5． （球谐函数）

二、选　择　(每小题2分，2×5＝10分）

1．（1）;  （2）;  （2）;  １);       

三、简　答　(每小题５分，５×４＝ 20分)

1、光电效应： 　(1) 时，不能发射光电子…………………….……………..……..(２分)

　　　　　　　　(2) 最大初动能与入射的光强度无关…………..…………………………(２分)

 驰豫时间很短…..……….……………………………..…………………(1分)

 、如果是体系的可能状态，那么它们的线性叠加也是这个体系的一个可能状态…..……….……………………………..…………………(5分)

 　　3、量子力学中，厄米算符的本征函数{}组成正交归一完全系，以{}为基函数的空间叫希尔伯特空间………………………………….. ……………………..………………..……..…(5分)

4、辏力场中，偶极跃迁的选择定则： (1) ………………..……………..……..(２分)

　　　　　　　 …………………………..…(3分)

四、推导证明　(每小题10分，10×2＝ 20分）

1．　角动量分量算符满足对易关系：

 ……………..………………………………………..………………..…(3分)

两边取平均值，设是本征态波函数，用标乘积运算符号：

……………..……………………………..…(3分)

而：  

 ..……………………………………………(2分)           

  宝鸡文理学院试题参与评分标准

课程名称　　　量子力学　　　适用时间            2008-7-7     　  

试卷类别     　A            适用专业   05级物理学1、2、3班    

 ……..……………………………………..…….... (1分)

 ＝0……..…………………………………………………………………..…….... (1分)

前面的连等式中利用了标乘积分配律以及算符的厄密性，这样证明

2、证明：因为是厄米算符，设ψ是任意波函数，所以有

…………….………….…………………………….………..………(１分)

…………………………………………………………....………(１分)

        …………………………………………………(2分)

五、计算题（40分）

１、(15分)　 的久期方程为：

        ……………..……………….………………..…(3分)

       ∴的本征值为…………………. …..………………..………………………..…(2分)

 的本征方程：

         …………. …..………………..………………………..…(1分)

当时，有

宝鸡文理学院试题参与评分标准

课程名称　　　量子力学　　　适用时间            2008-7-7     　  

试卷类别     　 A          适用专业   05级物理学1、2、3班    

         ∴ 

由归一化条件

        取 

        对应于的本征值0 。…………………. …..……………….……..…(3分)

同理  当时，有   ……………………………. …..……………….……..…(3分)

当时，有……………………………. …..……………….……..…(3分)

2、(10分)

宝鸡文理学院试题参与评分标准

课程名称　　　量子力学　　　适用时间            2008-7-7     　  

试卷类别     　A            适用专业   05级物理学1、2、3班    

解：由微扰公式得                                ………….….. ………………(2分)

                                     ………….……….…..…………(2分)

         得                                  ………………….…..…………(1分)

                                ………………….…..…………(1分)

                               ………………….…..…………(1分)

                               ………………….…..…………(1分)

 ∴ 能量的二级修正值为

                                      ………………….…..…………(1分)

                                   ………………….…..…………(1分)

３、(15分) 解：

利用归一化条件求出归一化常数为：       . …..……………….…(2分)

氢原子的能量只与主量子数有关，依题题可知，的可能取值有两个，即=2,3, 

于是:        ；    ………………………….…..…………(2分)

；    ………………………………….…..…………(2分)

…………………………….…..…………(1分)

角动量量子数的可能取值只有一个，即 ,故有：

,…………………………….……….…..……..…………(3分)

角动量磁量子数的可能取值有两个，即,于是

；   ……………….…..…………(2分)

；   ……………….…..…………(2分)

…………………………….…..…………(1分)