勾股定理拓展训练

一、本节基础知识 

1、勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

一.勾股定理中方程思想的运用 

例题1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）                                                       

例题2、已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积．

例题3、如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．

2.勾股定理中分类讨论思想的运用

例题1．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。

例题2、已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2． 

3．勾股定理的中的相关证明

例1、如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．

例2、如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．

例3、 如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．

例4 如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．

例5、 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．

例6、如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证：4(AM2+BN2)=5AB2．

六；链接中考

1.（2010年眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为

A．90°      B．60°       C．45°      D．30°

2.（2010山西）．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则DE的长是______________．

3.（2010·绵阳）．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB = a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为          ．答案：

4.(10重庆潼南县)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．                 

（1）证明：△ABE≌△DAF；                                                                      

（2）若∠AGB=30°，求EF的长．                                                                         

5.（2007•安徽）如图，DE分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等．设BC=a，AC=b，AB=c．

（1）求AE和BD的长；

（2）若∠BAC=90°，△ABC的面积为S，求证：S=AE•BD．

6、（2010•河南）（1）操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求 的值；

（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求 的值．

7，（2010湖北省咸宁市）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．

（1）当时，求线段的长；

（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；

（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

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