...中学2016届高三上学期阶段调研(二)数学(理)试卷

2015-2016学年第一学期高三年级阶段调研（二）

数 学 （理）试 卷

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）

1．函数y＝ 的定义域是      ▲        ；   

2．设是虚数单位，若复数满足，则复数的模=      ▲    ；     

3．“”是“直线和直线平行”的   ▲     条件；（选“充分不必要” “必要不充分”  “充要” “既不充分也不必要”填空）  

4．若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为      ▲     ； 

5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为   ▲   ；

6．已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于      ▲        ；    

7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为             ▲      ； 

8．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是▲      ； 

9．已知，则=      ▲     ； 

10．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为_______ ▲_______； 

11．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，若，则的值为      ▲        ； 

12．如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为      ▲        ；  

13．已知函数,则方程恰有两个不同的实根时，实数a的

取值范围是      ▲        ；         

14．已知圆O：，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，则弦长AC长的取值范围     ▲      ；  

二、解答题（本大题共6小题，共计90分）

15．（本小题满分14分）

 在中，，

（1）求的值；

（2）若点D在边上，，求的长。

16．（本小题满分14分）

在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．

（1）求证：AC⊥PB；

（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。

P

A

M

 C 

D  

B

17．（本小题满分14分）

某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为 ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨． 

（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．

18．（本小题满分16分）

平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；

①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。   

②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．

19．（本小题满分16分）

设数列的前项和，，，且当时，．

（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知为实常数，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点；

①求实数的取值范围；

②求证：.

江苏省常州高级中学

2015～2016学年第一学期高三阶段调研

数学理科附加卷

21．（Ⅰ） [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)

已知，矩阵有一个属于特征值的特征向量，

（1）求矩阵；

（2）若矩阵，求 ．

（Ⅱ） [选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．

（1）求与交点的直角坐标；

（2）若与相交于点，与相交于点，求的最大值．

22．（本小题满分10分）

为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．

（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

23．（本小题满分10分）

 若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（2，2）．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为，

当变化且满足时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．

江苏省常州高级中学

2015-2016学年第一学期高三年级阶段调研

数学试卷答案

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）

1．函数y＝ 的定义域是      ▲        ；  （－1，＋∞）      

2．设是虚数单位，若复数满足，则复数的模=      ▲    ；    1

3．“”是“直线和直线平行”的   ▲     条件；（选“充分不必要” “必要不充分”  “充要” “既不充分也不必要”填空）  充分不必要

4.若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为      ▲     ；16

5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为   ▲   ；

   4

6.已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于      ▲        ； 

7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为             ▲      ；

8．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是▲      ；

9．已知，则=      ▲     ；

10．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为______________；

11．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，若，则的值为      ▲        ；2

12．如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为      ▲        ； 18    

13．已知函数,则方程恰有两个不同的实根时，实数a的

取值范围是      ▲        ；

14．已知圆O：，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，求弦长AC长的取值范围     ▲      ； 

二、解答题（本大题共6小题，共计90分）

15．（本小题满分14分）

 在中，，

（1）求的值；

（2）若点D在边上，，求的长。

解：如图， 设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得， 所以.分

 又由正弦定理得.分

由题设知，所以.分

 分       

  在中，由正弦定理得.分

16．（本小题满分14分）

在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．

（1）求证：AC⊥PB；

（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。

A

B

C

D

M

P

16．（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，

又∠CBA＝30°，BC＝2，AB＝4，

∴AC＝

＝，

∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，  

故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，

故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．   …………7分       

（2） BM=2              ………………14分       

17. （本小题满分14分）

某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为 ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨． 

（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．

解：（1）          ………………………4分

（2）根据题意，

所以恒成立       ………………………6分

即 恒成立          …………………8分

…14分（2+2+2） 

18. （本小题满分16分）

平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；

①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。   

②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．  

（1）由题意知 ，则 ,又 可得 ,

所以椭圆C的标准方程为.                        ………………4分

（2）①M  N                     ………………6分

  ………9分

 ②点（），点Q，  ………………10分

 ，，

 ==．  ……………………12分

 点P在椭圆C上， ，    

 ==．……………14分

 ，

 ．

 的取值范围是．    ……………………………16分

19. （本小题满分16分）

设数列的前项和，，，且当时，．

（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

19.解：（1）当时, ,,

代入并化简得, ………………………4分

而恒为正值,∴

∴数列是等比数列.                  ………………………5分

∴.当时,, 

又，∴           ………………………7分

（2）当时，,此时 ，又

∴.       …………………………………9分

故，                               …………………………………10分

当时，

，……12分

若，

则等式为，不是整数，不符合题意；……………14分

若，则等式为，

∵是整数,   ∴必是的因数,  ∵时   

 ∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.

综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，

当时，不存在正整数使等式成立. ……………16分

20．（本小题满分16分）

已知为实常数，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点；

①求实数的取值范围；

②求证：.

20.（1）的定义域为．其导数．   1分

①当时，，函数在上是增函数；    2分

②当时，在区间上，；在区间上，．

所以在是增函数，在是减函数.     4分

（2）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点;

当时，在是增函数，在是减函数，此时为函

数的最大值，当时，最多有一个零点，

所以，解得，               6分

此时，，且，

令，则，

所以在上单调递增，所以，即

所以的取值范围是       8分

②证法一：

下面证明：当时， .

设 ，则 .

在 上是增函数，所以当时， .

即当时，.. 

   .          ……… 16分

②证法二： 

令

则：，

所以函数在区间上为减函数.

,则,又

于是. 

又由(1)可知 .即        ……… 16分

江苏省常州高级中学

2015～2016学年第一学期期中质量检查高三年级

数学理科附加卷

21．（1） [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)

已知，矩阵有一个属于特征值的特征向量，

（1）求矩阵；

（2）若矩阵，求 ．

解：（1）                         ……………4分

（2）                        ……………6分

                      ……………10分

21．（2） [选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．

（1）求与交点的直角坐标；

（2）若与相交于点，与相交于点，求的最大值．

（1）                               ……………4分

（2）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．

所以，

当时，取得最大值，最大值为． ……………10分

22．（本小题满分10分）

为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名。从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

【解析】(1)由已知，有

  所以事件发生的概率为. ……………4分      

(2)随机变量的所有可能取值为

所以随机变量的分布列为

所以随机变量的数学期望  …………10分  

23．（本小题满分10分）

 若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（2，2）．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为，

当变化且满足时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．

24．（1）  ……………………………2分

（2）  ……………………………4分 

定点（6，－4）……………………………10分