专题：简单的线性规划(含答案)

专题要点

简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。 理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。

线性规划等内容已成为高考的热点，在复习时要给于重视,另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋于淡化,在复习时也应是注意。

考查主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三是给出可行域的最优解，求目标函数（或者可行域）中参数的范围。多以选择填空题形式出现，不排除以解答题形式出现。

考纲要求

了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用。

典例精析

线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题。

考点1：求给定可行域的最优解

例1.（2012广东文）已知变量、满足约束条件,则的最小值为    （　　）

A．3    B．1    C．    D． 

解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点时,取到最小值.联立,解得,所以的最小值为. 

例2.（2009天津）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为

（A）6     （B）7     （C）8      （D）23

解析：画出不等式表示的可行域，如右图，    

让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B.    

发散思维：若将目标函数改为求的取值范围；或者改为求的取值范围；

或者改为求的最大值；或者或者改为求的最大值。

方法思路：解决线性规则问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找出目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决。

练习1.（2012天津）设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为    （　　）

A．    B．    C．    D．3

【解析】做出不等式对应的可行域如图,由得,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,而此时最小为,选B.

练习2．在约束条件下，的最小值为________．

解析　在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到可视为该区域内的点(x，y)与点(1,0)之间距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2y－x＝1的距离，即为＝.   答案　

练习3、（2011广东文、理数）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（　　）

    A、3        B、4         C、3        D、4

解答：解：首先做出可行域，如图所示：

z=•=，即y=﹣x+z   做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点A时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．

因为A（，2），所以z的最大值为4故选B

练习4.（2011福建）已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)

A．[－1,0]        B．[0,1]      C．[0,2]          D．[－1,2]

【分析】 由于·＝－x＋y，实际上就是在线性约束条件下，求线性目标函数z＝－x＋y的最大值和最小值．

【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图)，又·＝－x＋y，取目标函数z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率为1的一组平行线．

当它经过点C(1,1)时，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；当它经过点B(0,2)时，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2.

∴z的取值范围是[0,2]，即·的取值范围是[0,2]，故选C.

考点2：求给定可行域的面积

例3．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为（    ）

A．                 B．                    C．                 D． 

答案c 

考点3：给出最优解求目标函数（或者可行域）中参数

例4．(2012广州一模文数)在平面直角坐标系中，若不等式组表示的

平面区域的面积为4，则实数的值为

A．1                 B．2                    C．3                 D．4

答案B

练习5.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为

A. -5           B. 1           C. 2            D. 3                    

解析解析 如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.

练习6. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是c

（A）[1,3]        (B)[2,]        (C)[2,9]          (D)[,9]

练习7．设z＝x＋y，其中x、y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为

A．－3                                          B．3

C．2                                              D．－2

解析　如图所示，作出不等式组所确定的可行域△OAB，目标函数的几何意义是直线x＋y－z＝0在y轴上的截距，由图可知，当目标函数经过点A时，取得最大值，由解得A(k，k)，故最大值为z＝k＋k＝2k，由题意，得2k＝6，故k＝3.当目标函数经过点B时，取得最小值，由解得B(－6,3)，故最小值为z＝－6＋3＝－3.故选A.

答案　A

练习8.（2012课标文）已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则的取值范围是    （　　）

A．(1-,2)    B．(0,2)    C．(-1,2)    D．(0,1+)

【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法,是简单题. 

【解析】有题设知C(1+,2),作出直线:,平移直线,有图像知,直线过B点时, =2,过C时, =,∴取值范围为(1-,2),故选A. 

练习9.（2012福建文）若直线上存在点满足约束条件,则实数的最大值为（　　）

A．-1    B．1    C．    D．2    

【答案】B 

【解析】与的交点为,所以只有才能符合条件,B正确. 

【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域,考查分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力. 

练习10.（2012福建理）若函数图像上存在点满足约束条件,则实数的最大值为（　　）

A．    B．1    C．    D．2

【答案】B 

【解析】与的交点为,所以只有才能符合条件,B正确. 

【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力

考点四：实际应用与大题

例5（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是        

A. 12万元       B. 20万元        C. 25万元       D. 27万元            

解析：设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即

已知约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故，故选择D。

练习11. （2012四川理）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是    （　　）

A．1800元    B．2400元    C．2800元    D．3100元

[答案]C 

[解析]设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得 利润为Z元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y 

且 

画可行域如图所示,目标函数Z=300X+400Y可变形为 

Y=  这是随Z变化的一族平行直线 

解方程组     即A(4,4) 

[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解). 

练习12.(2012广州二模文数)甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示：

（1）试以表示混合食物的成本;

（2）若混合食物至少需含35000单位维生素及40000单位维生素，问取什么值时，混合食物的成本最少？

 (本小题主要考查线性规划等知识,  考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识)

（1）解：依题意得                              …………… 2分

     由，得，代入，

     得.                                         …………… 3分

(1)解:依题意知、、要满足的条件为  ……… 6分

把代入方程组得…… 9分

如图可行域（阴影部分）的一个顶点为.… 10分

让目标函数在可行域上移动,

由此可知在处取得最小值.               

……… 11分

∴当(kg), (kg), (kg)时, 混合食物的成本最少.   ……… 12分

【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为: 

(1)审题——仔细阅读,明确有哪些条件,目标函数是什么? 

(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数; 

(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; 

(4)作答——就应用题提出的问题作出回答. 

体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题