济南市2018届高三3月份第一次模拟考试试题(数学文)

文科数学

    本试卷共6页，23题(含选考题)，全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

参考公式：

锥体的体积公式(其中S为锥体的底面积，h为锥体的高)

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则

A．              B．          C．        D． 

2.若命题“或”与命题“非”都是真命题，则

A．命题与命题都是真命题

B．命题与命题都是假命题

C．命题是真命题，命题是假命题

D．命题是假命题，命题是真命题

3.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于

A．第一象限           B．第二象限          C．第三象限          D．第四象限

4.下列曲线中离心率为的是

A．        B．        C．       D． 

5.若，，则的值为

A．                 B．                C．或           D． 

6.已知变量，满足约束条件，若，则的取值范围是

A．             B．              C．           D． 

7.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则

A．为奇函数，在上单调递减         B．为偶函数，在上单调递增

C．周期为，图象关于点对称      D．最大值为1，图象关于直线对称

8.如图，在正方体中，为的中点，则在该正方体各个面上的正投影可能是

A．①②               B．①④            C．②③             D．②④

9.函数的图象大致为

         A．                 B．                C．              D．

10.执行如图所示的程序框图，当输入时，输出的结果为

A．-1008            B．1009             

C．3025             D．3028

11.已知双曲线：的两条渐近线是，，点是双曲线上一点，若点到渐近线距离是3，则点到渐近线距离是

A．             B．1              C．          D．3

12. 设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是

A．             B．       C．       D． 

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 

13.已知向量，满足，，，则          ．

14.如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩（单位：环），则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为    ．

15.在平面四边形中，，，，，则线段的长度为          ．

16.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为          ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.记为数列的前项和，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和. 

18.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，分别为线段，的中点.

（1）证明：平面；

（2）若平面，，求四面体的体积.

19. 2018年2月22日上午，山东省、省在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.

表1：设备改造后样本的频数分布表

（3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损 100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？

附：

20.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线：上，直线：与抛物线交于，两点，且直线，的斜率之和为-1.

（1）求和的值；

（2）若，设直线与轴交于点，延长与抛物线交于点，抛物线在点处的切线为，记直线，与轴围成的三角形面积为，求的最小值.

21.设函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，记的最小值为，证明：.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线相交于，两点，求的值.

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

2018年济南市高三教学质量检测

文科数学参

一、选择题

1-5: CDCDB      6-10: ADBCB     11、12：AD

二、填空题

13.         14. 2          15.          16. 

三、解答题

17.解：（1）由，得

当时，；

当时， .

所以.

（2），

所以

.

18.（1）证明：连接、，交于点，

∵为线段的中点，，，∴，

∴四边形为平行四边形，

∴为的中点，又是的中点，

∴，

又平面，平面，

∴平面. 

（2）解法一：由（1）知，四边形为平行四边形，∴，

∵四边形为等腰梯形，，，

∴，∴三角形是等边三角形，∴，

做于，则，

∵平面，平面，∴平面平面，

又平面平面，，平面，

∴平面，∴点到平面的距离为，

又∵为线段的中点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即，又，

∴.

解法二：，平面，平面，∴平面，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离，

做于点，由，知三角形是等边三角形，∴，

∵平面，平面，∴平面平面，

又平面平面，，平面，

∴平面，∴点到平面的距离为，

又为线段的中点，∴ ，

∴.

18.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，分别为线段，的中点.

（1）证明：平面；

（2）若平面，，求四面体的体积.

19.解：（1）根据图1和表1得到列联表：

.

∵，

∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.

（2）根据图1和表1可知，设备改造后产品为合格品的概率约为，设备改造前产品为合格品的概率约为；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好.

（3）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，

，所以该企业大约获利168800元.

20.解：（1）将点代入抛物线：，得，

，得，

设，，则，，

解法一： ，

由已知得，所以，.

解法二： ，

由已知得.

（2）在直线的方程中，令得，，

直线的方程为：，即，

由，得，

解得：，或，所以，

由，得，，切线的斜率，

切线的方程为：，即，

由，得直线、交点，纵坐标，

在直线，中分别令，得到与轴的交点，，

所以，，，

当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；

∴当时，最小值为.

21.解：（1）的定义域为，

，

当时，，在上单调递增；

当时，当，，单调递减；

当，，单调递增；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知， ，

即.

解法一： ，，

∴单调递减，

又，，所以存在，使得，

∴当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

∴，又，即，，

∴，令，则在上单调递增，

又，所以，∴.

解法二：要证，即证，即证：，

令，则只需证，

，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，

所以，即.

22.【解析】

（1）由已知得：，消去得，

∴化为一般方程为：，

即：：.

曲线：得，，即，整理得，

即：：.

（2）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程中得：

，即，

设，两点对应的参数分别为，，则，

∴

.

23.【解析】

（1）当时，，∴ ，故；

当时，，∴ ，故；

当时，，∴ ，故；

综上可知：的解集为.

（2）由（1）知：，

【解法一】

如图所示：作出函数的图象，

由图象知，当时，，解得：，

∴实数的取值范围为.

【解法二】

当时，恒成立，∴，

当时，恒成立，∴，

当时，恒成立，∴，

综上，实数的取值范围为.