平面向量的数量积试题(含答案)1

1．已知a,b,c为非零的平面向量，甲：a·b=a·c,乙：b=c，则                  (    )

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2．已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于                 (    )

A.         B.         C.         D.4

3．在ABCD中,AC=,BD=,周长为18,则这个平行四边形的面积为       (    )

A.16         B.17         C.18         D.32

4．若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72.则向量a的模是        (    )

A.2          B.4          C.6          D.12

5．下列各向量中，与a＝(3,2)垂直的向量是                                 (    )

A.b=(3，－2)     B.b=(2,3)     C.b=(-4,6)     D.b=(-3,2)

6．已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直，则λ等于                     (    )

A.         B.-         C.±         D.1

7．已知m,n是夹角为60°的两个单位向量，则a=2m+n和b=-3m+2n的夹角是  (    )

A.30°        B.60°        C.120°        D.150°

二、填空题(5×3′＝15′)

8．已知A(1，3)、B(2，4)、C(5，6)，则=          .

9．已知=0，的夹角为         .

10．已知e为单位向量，|a|=4,a与e的夹角为π，则a在e方向上的投影是       .

11．已知a=(4,3),b=(-1,2),则a与b的夹角为         .

12．平面向量a,b中，已知a=(4,-3),|b|=1,且a·b=5,则向量b=          .

三、解答题(4×10′＝40′)

13．已知|a|=4,|b|=5,当

(1)a∥b;

(2)a⊥b;

(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积.

14．求证:三角形ABC的三条高线AD、BE、CF交于一点H.

15．已知向量a=(1,1),b=(1,0),c满足a·c=0且|a|=|c|,b·c>0.

(1)求向量c;

(2)若映射f:(x,y)→(x1,y1)=xa+yc,求映射f下(1,2)的原象.

16．设O是△ABC的外心，H是三角形内一点，且,求证：H是△ABC的垂心.

四、思考与讨论(2×12′＝24′)

17．已知a=(,-1),b=().

(1)若存在不同时为零的实数k和t,使x=4a+(t2-3)b,y=-ka+tb，且x⊥y，

求k=f(t)的解析式；

图1

(2)确定f(t)的单调区间．

18．如图1，在Rt△ABC中，已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A

为中点，问的夹角θ取何值时的值最大？并求出这个最大值.

参

1．B  a·b=a·ca·(b-c)=0a与(b-c)垂直，或b-c=0.故甲乙，反过来，若b=ca·b=a·c，即乙甲，故甲是乙的必要非充分条件.

2．C  |a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=|a|2+6|a||b|cos〈a,b〉+9|b|2,

∵|a|=1,|b|=1,〈a,b〉=60°,∴原式=1+6×1×1×cos60°+9=13,∴|a+3b|=.

3．A  ∵2=9， 

∴=4×5×

4．C  (a+2b)·(a-3b)=|a|2-a·b-6|b|2=-72,∴|a|2-|a|·|b|·cos60°-6|b|2=-72.

∴|b|=4代入上式，解得:|a|=6(∵|a|>0).

5．C  验证a·b=0即可.

6．A  (3a+2b)(λa-b)=0,又a·b=0,∴3λ|a|2-2|b|2=03λ×4-2×9=0λ=.

7．C  不妨设m=(1,0),n=(,),则a=(,),b=(-2,),

|a|=,|b|=,a·b=-5+∴cosθ==-，故θ=120°．

8．25  =(1,1), =(4,3), =(3,2)，∴·+·=(1×4+1×3)+(4×3+3×2)=25.

9．120°  ∵||2=|+|2=||2+||2+2||·||cosθ,∴cos=-,θ=120°.

10．-2  4×cosπ=4×(-)=-2为所求.

11．arccos  cos〈a,b〉==.

12．  设b=(x,y),由已知

13．解  (1)a∥b时，有两种情况.

若a与b同向，则θ=0°，a·b=|a|·|b|=20；

若a与b反向，则θ=180°，a·b=-|a|·|b|=-20.

(2)当a⊥b时，θ=90°，∴a·b=0.

(3)当a与b夹角为60°时，a·b=|a|·|b|cos60°=10.

14．分析  要证三条高线交于一点，只要证两条高线的交点在第三条高线上.

证明  设BE与CF交于H,并设=a, =b, =h,

则=b-a, =h-a, =h-b

∵,∴(h-a)·b=0                                                 ①

∵,∴(h-b)·a=0                                                 ②

∵(h-a)·b=(h-b)·a，∴h·b=h·a,即h·(b-a)=0.

∴,即H在AD上.故AD、BE、CF交于一点H.

点评  用向量作工具解几何问题总是先得一些向量为已知的，再用这些向量表示其他向量，并建立相应关系式，至于选用哪些为基本向量，则应根据实际情况而定.

15．解  （1）设c=(m,n),由题意得m+n=0,且m2+n2=2且m·1+n·0>0.

解之得m=1,n=-1,∴c=(1,-1).

(2)由题意得x(1,1)+y(1,-1)=(1,2),∴x+y=1且x-y=2,解之得x=,y=-.

∴(1,2)的原象是(-).

16．证明  ∵

同理得，.

所以H是△ABC的垂心.

点评  处理垂直、夹角和距离是两个向量数量积的强项，这也是学习向量的主要目的之一.

17．解  (1)由已知a·b=0,又x⊥y，且x,y不同时为零．

∴x·y=［4a+(t2-3)b］·［-ka+tb］=0.∴-4k+(t3-3t)=0,∴k= (t3-3t)(t≠0).

(2)f(t)= (t3-3t)，∵f(t1)-f(t2)= (t1-t2)( -3)，

当t1当-1≤t10．

当1≤t1∴f(t)在(-∞，-1)上为增函数，在［-1,1］上为减函数，在［1,+∞］上为增函数．

18．分析  本题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.

解  方法1  如图2①.∵⊥,∴·=0.

∵=-,=-,=-,∴·=(-)·(-)

=·-·-·+·=-a2-·+·

=-a2-·(-)=-a2+·=-a2+a2cosθ.

故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.

图2

方法2  以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图D19②所示的平面直角坐标系.

设|AB|=c.|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且｜PQ｜=2a,|BC|=a.

设点P的坐标为（x,y）,则Q（-x,-y），∴=(x-c,y), =(-x,-y-b), =(-c,b), =(-2x,-2y).

∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.

∵cosθ=,∴cx-by=a2cosθ.∴·=-a2+a2cosθ.

故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.

点评  题型新颖，培养了学生的知识迁移能力，及运算化简能力.