柯西不等式的证明

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

关键词：柯西不等式    证明    应用  

柯西（Cauchy）不等式

等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：

证明1：构造二次函数 

=

恒成立

即

当且仅当  即时等号成立

证明（2）数学归纳法

 （1）当时     左式=        右式=

显然      左式=右式

当时， 右式 右式      

仅当即  即时等号成立

故时 不等式成立 

（2）假设时，不等式成立

即 

当，k为常数， 或时等号成立

设   

则

当，k为常数， 或时等号成立

即  时不等式成立

综合（1）（2）可知不等式成立

柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛。举例，证明不等式：

例1：已知正数满足  证明  

证明：利用柯西不等式

又因为   在此不等式两边同乘以2，再加上得： 

故 

例2：已知实数满足，试求的最值

 解：由柯西不等式得，有

即

由条件可得， 

解得，当且仅当时等号成立，

代入时，   

    时      

参考文献：1  柯西不等式的微小改动   数学通报  2002 第三期

          2柯西不等式与排序不等式  南山    湖南教育出版社

3李永新  李德禄    中学数学教材教法   东北师大出版社      

4用柯西不等式解释样本线性相关系数    数学通讯 2004年第七期