三角齐次式的解法举例

历经多次高考改革，三角变换始终是高中数学教学与考试的重点。其中，关于sinx、cosx的三角齐次式的命题多次出现在近年的高考试题中，通过对这类题型的研究，我们不难发现此类题型的一般解题规律：【1】直接或间接地已知tanx的值,要求关于sinx、cosx的某些三角齐次式的值。

根据所给的条件和结论中式子的结构特征，大致归类如下：

1  “分式型”三角齐次式：分子分母中的各项均为的齐次式

例1（04年天津）已知，（1）求的值；（2）求的值.

分析：由已知条件，不难求出。

题中，倍角当作是关于的2次齐次式；

当作是关于的2次齐次式；

常数均可看作是关于的2次齐次式。

则原式可化为，分子分母均为的二次齐次式，只需分子分母同时除以，即可转化为含的式子。

略解：  由，得.

故＝

＝

【2】说明  在三角函数式中，、、

常数均可看作是关于的2次齐次式。

2  整式型三角齐次式：整式中的各项均为的齐次式

例2【04湖南改编】  已知，求的值。

分析：是关于的2次齐次式，为了将它转化成含的式子，只需，同例2即可求解。

解略。

【3】说明  整式型三角齐次式通过除以常数1，可化为分式型三角函数式。

3  “隐性”型三角齐次式：

解决三角齐次式问题通常需要已知正切的值，且将所要求的式子通常化为含的齐次式，但在很多情况下这些条件并未直接给出来，这就需要我们通过对已知条件和结论进行转化，使得解题所需条件更加“显化”。

（1）条件“隐性”型

例3．（06安徽文）已知

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值  

分析：

本题虽未直接给出的值，但通过已知，易求得，条件立刻“显现” ！

而中分子分母显然是含的齐次式！

（2）结论“隐性”型

例4．【04年福建改编】已知，求的值。

分析：在中函数名称出现“不和谐”的，但只需转化为

，含的齐次式特征立刻“显现” ！

三角齐次式解题规律性较强，在实际的考试中往往会出现各种或条件“隐性”型或结论“隐性”型三角齐次式，但只要我们把握住本文中【1】【2】【3】这几条规律，解题思路往往会变得更加清晰！

附录部分近年高考三角齐次式解题的考题：

1．【旧教材推导万能公式】若为锐角，且，求的值。

分析：

同理，

此过程即为万能公式的推导过程。

2．（06天津文） 已知求和的值  

3.（06安徽文）已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值  

4. （06北京文〕已知tan=2，求

（1）tan（）的值

 （2）的值

5. （06安徽理）已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值 

6．( 04湖南 )  已知，求的值.