2006年高考北京卷理科数学试题及参

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.

1.集合A={x－1≤x≤2}，B＝｛xx＜1｝,则A∩B=                [D]

(A){xx＜1}                    （B）{x－1≤x≤2}

(C) {x－1≤x≤1}             (D) {x－1≤x＜1}

2.复数z=在复平面上对应的点位于                            [A]

(A)第一象限        （B）第二象限            （C）第三象限            （D）第四象限

3.函数f (x)=2sinxcosx是                                        [C]

(A)最小正周期为2π的奇函数                    （B）最小正周期为2π的偶函数

(C)最小正周期为π的奇函数                    （D）最小正周期为π的偶函数

4.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为,样本标准差分别为sA和sB,则                            [B]

(A) ＞，sA＞sB

(B) ＜，sA＞sB

(C) ＞，sA＜sB

(D) ＜，sA＜sB

5.右图是求x1,x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为　　　　[D]

(A)S=S*(n+1) 

（B）S=S*xn+1

(C)S=S*n

(D)S=S*xn

6.“a＞0”是“＞0”的                            [A]

(A)充分不必要条件                （B）必要不充分条件

    （C）充要条件                    （B）既不充分也不必要条件

    7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）

f（y）”的是                                                                    [C]

    （A）幂函数            （B）对数函数        （C）指数函数        （D）余弦函数

    8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是        [B]

    （A）2                            （B）1                

（C）                            （D）

    9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为                                    [C]

    （A）                （B）1                （C）2                （D）4

    10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为                    [B]

    （A）y＝[]        （B）y＝[]        （C）y＝[]        （D）y＝[]

    二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.

    11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝

（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.

    12.已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1，2）若（a＋b）∥c，则

m＝  －1   .

    13.已知函数f（x）＝若f（f（0））＝4a，则实数a＝  2  .

    14.设x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的最大值为   5   .

    15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

    A.（不等式选做题）不等式<3的解集为.

    B.（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.

C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程（为参数）化成普通方程为

x2＋（y－1）2＝1.

    三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）.

    16.（本小题满分12分）

    已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.

    （Ⅰ）求数列{an}的通项;        （Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.

    解  （Ⅰ）由题设知公差d≠0，

    由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，

    解得d＝1，d＝0（舍去），    故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.

    (Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得

    Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.

    17.（本小题满分12分）

    在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，

    AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.

    解    在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,

    由余弦定理得cos=,

    ADC=120°, ADB=60°

    在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°，

    由正弦定理得,

    AB=.

    18.(本小题满分12分)

    如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.

    (Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；

    (Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.

    解    (Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.

    又BC∥AD,∴EF∥AD,

    又∵AD平面PAD,EF平面PAD,

    ∴EF∥平面PAD.

    (Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,

    则BG⊥平面ABCD,且EG=PA.

    在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.

    ∴S△ABC=AB·BC=××2=,

    ∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.

19 （本小题满分12分）

为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：

（）估计该校男生的人数；

（）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；

（）从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm之间的概率。

解 （）样本中男生人数为40 ，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。

（）有统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率故有f估计该校学生身高在170~180cm之间的概率

（）样本中身高在180~185cm之间的男生有4人，设其编号为

       样本中身高在185~190cm之间的男生有2人，设其编号为

从上述6人中任取2人的树状图为：

故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率

20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

 (Ⅱ)设n 为过原点的直线，l是与n垂直相交与点P，与椭圆相交于A,B两点的直线  立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由。

21、(本小题满分14分)

已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。

（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；

（2）设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；

（3）对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时， （a）1.

解 （1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),

由已知得  =alnx，

=，     解德a=,x=e2,

两条曲线交点的坐标为（e2,e）   切线的斜率为k=f’(e2)= ,

切线的方程为y-e=(x- e2). 

（2）由条件知

Ⅰ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,

所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；

当x>时，h (x)>0，h(x)在（0，）上递增。

所以x>是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。

所以Φ （a）=h()= 2a-aln=2

Ⅱ当a  ≤   0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。

故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)

（3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a) 

则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2

当 00，所以Φ （a ）  在(0,1/2) 上递增

当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。

所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1

因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值

所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a）  ≤  1