高中数学最全数列总结及题型精选

一、数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；

数列的一般形式：，，，……，，……，简记作 。

（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…

②：…

说明：

①表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式；

② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =； 

 ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，，……

（3）数列的函数特征与图象表示：

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立点。

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列

（1）1，2，3，4，5，6，…        (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …

(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, …        (4)a, a, a, a, a,…

（5）数列{}的前项和与通项的关系：

二、等差数列

(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或

例：等差数列，             

(二)、等差数列的通项公式：；

说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。

例：1.已知等差数列中，等于（    ）

A．15   B．30   C．31   D．

2.是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于

（A）667    （B）668     （C）669      （D）670

      3.等差数列，则为             为              （填“递增数列”或“递减数列”）

(三)、等差中项的概念：

定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中        

  ，，成等差数列  即：  （）

例：1．（06全国I）设是公差为正数的等差数列，若，，则 （   ）

A．             B．              C．             D．

(四)、等差数列的性质：

（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；  

（3）在等差数列中，对任意，，，；

（4）在等差数列中，若，，，且，则；

(五)、等差数列的前和的求和公式：。(是等差数列 )

递推公式：

    例：1.如果等差数列中，那么

（A）14              （B）21            （C）28                （D）35

2.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，则等于(   )

A．13            B．35               C．49                D． 63     

3.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则=     

4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（   ）

项                项                项                项

5.已知等差数列的前项和为，若             

6.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列的前项和为，若则           

7.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于(    )

       C.        D.

8.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则                   

9．（00全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn。

(六).对于一个等差数列：

（1）若项数为偶数，设共有项，则①偶奇； ② ；

（2）若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。 

1.一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比__________

2.一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差d

3.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是，则它的首项与公差分别是_______

(七).对与一个等差数列，仍成等差数列。

例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（    ）

2.一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为             。

3．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为         

4.设为等差数列的前项和，=          

5．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝

A．               B．               C．               D．

(八)．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

定义法：

是等差数列

中项法：

是等差数列

通项公式法：

是等差数列

前项和公式法：

是等差数列

例：1.已知数列满足，则数列为 （   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

    2.已知数列的通项为，则数列为 （   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

3.已知一个数列的前n项和，则数列为（   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

4.已知一个数列的前n项和，则数列为（   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

5.已知一个数列满足，则数列为（   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

6.数列满足=8， （）

       求数列的通项公式；

7．（01天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（    ）

A.等比数列，但不是等差数列                B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列                D.既非等比数列又非等差数列

(九).数列最值

（1），时，有最大值；，时，有最小值；

（2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函数的最值；

可用二次函数最值的求法（）；②或者求出中的正、负分界项，即：

若已知，则最值时的值（）可如下确定或。

    例：1．等差数列中，，则前            项的和最大。

   2．设等差数列的前项和为，已知

  求出公差的范围，

  指出中哪一个值最大，并说明理由。

3．（02上海）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（    ）

＜0        ＝0      ＞S5         与S7均为Sn的最大值

4．已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是       

5.已知是等差数列，其中，公差。

（1）数列从哪一项开始小于0

（2）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．

(十).利用求通项．

1.数列的前项和．（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗（3）你能写出数列的通项公式吗

2.设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；

3.（2010安徽文）设数列的前n项和，则的值为（  ）

（A） 15              (B)  16         (C)   49         （D）

4、2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．  

三、等比数列

等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：

(一)、递推关系与通项公式

1．在等比数列中,，则        

2．在等比数列中,,则   

3.（07重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝，则公比q为（  ）

（A）2            （B）3            （C）4            （D）8

4.在等比数列中，，，则=       

5.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则（   ）

A 33     B  72      C  84     D  1

(二)、等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件.

例：1.和的等比中项为(   )

2.（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（    ）     

A．       B．       C．        D．

(三)、等比数列的基本性质，

1.（1）

（2）

（3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.

（4）既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.

例：1．在等比数列中,和是方程的两个根,则(     )

2. 在等比数列，已知，，则=             

3.等比数列的各项为正数，且（    ）

       A．12       B．10     C．8     D．2+

    4.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，    （  ）        

A.             B.           C.              D. 

(四)、等比数列的前n项和，

例：1.已知等比数列的首相，公比，则其前n项和          

2．（2006年北京卷）设，则等于（   ）

A．        B．       C．       D．

3．（1996全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；

 (五). 等比数列的前n项和的性质

若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列.

例：1.（2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为，若  =3 ，则   =         

A. 2       B.       C.          

2.一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（   ）

A．83     B．108     C．75      D．63

3.已知数列是等比数列，且         

(六)、等比数列的判定法

（1）定义法：为等比数列；

（2）中项法：为等比数列； 

（3）通项公式法：为等比数列； 

（4）前项和法：为等比数列。 

为等比数列。

例：1.已知数列的通项为，则数列为 （   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

2.已知数列满足，则数列为 （   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

3.已知一个数列的前n项和，则数列为（   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

四、求数列通项公式方法

（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项

例：1已知等差数列满足：， 求；

2.等比数列的各项均为正数，且，，求数列的通项公式

3.已知数列满足 （），求数列的通项公式；

4. 已知数列满足且（），求数列的通项公式；

5.数列已知数列满足则数列的通项公式=              

（2）累加法

1、累加法  适用于： 

若，则  

    两边分别相加得 

例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。

2. 已知数列满足，求数列的通项公式。

3. 已知数列满足，求数列的通项公式。

（3）累乘法

适用于： 

若，则

两边分别相乘得，

例：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。

2.已知数列满足，，求。

3.已知， ，求。

（4）待定系数法    

适用于

例：1. 已知数列中，，求数列的通项公式。

2.（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________

3.已知数列满足求数列的通项公式；

（5）递推公式中既有

  分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。

1.（2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式． 

2.（2005山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．

(6)取倒数法。

五、数列求和

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

    公比含字母时一定要讨论

2．错位相减法求和：如：

例：1．求和

2.求和：

3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：                

数列是等差数列，数列的前项和

例：1.数列的前项和为，若，则等于（　）

A．1      B．      C．      D．

2.已知数列的通项公式为，求前项的和；

4.已知数列的通项公式为＝，设，求．

5．求。

3.已知等差数列满足, .

(1)求数列的通项公式及          

（2）求数列的前n项和

7.已知等差数列满足：，的前n项和

（1）求及

（2）令（），求数列前n项和