2014年武汉纺织大学专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

题型有：1. 填空题 2. 选择题 3. 解答题 

二、填空题

1． 函数f(x)=ex的n阶麦克劳林公式是_______．

正确答案：ex=1+x++…(-∞＜x＜+∞)           

解析：麦克劳林公式为f(x)=f(0)+f’(0)x+xn+…，f(0)=1，f’(0)=1，…，所以f(x)=ex=1+x++…(-∞＜x＜+∞)．

2． 若f(x)为连续函数，且F’(x)=f(x)，则∫f(x)dx=_______．

正确答案：F(x)+C           

解析：由不定积分的定义即知，∫f(x)dx=F(x)+C

3． f(x)在[a，b]上可积，则∫abf(x)dx_______．

正确答案：0           

解析：∫abf(x)dx是定积分，是定值，所以∫abf(x)dx=0．

4． 设|a|=3，|b|=4，＜a，b＞=π＝3，则|a+b|=_______．

正确答案：           

解析：|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a|．|b|．cos(a，b)=32+42+24×=37，所以|a+b|=

5． 过点(4，-1，3)，且与直线平行的直线方程是_______．

正确答案：           

解析：已知直线的方向向量s={2，1，5}，则所求直线方程为

一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

6． 

A．

B．

C．

D．

正确答案：A           

解析：由题可知，∫f(x)dx=+C，所以∫f(ax)d(ax)=∫f(ax)dx=+C，两边同除以a2，即得∫+C，故选A

7． 若f(x)=∫0xsin(t-x)dt，正确的结论是(    )．

A．f(x)=-sinx

B．f(x)=-1+cosx

C．f(x)=sinx

D．f(x)=1-sinx

正确答案：A           

解析：令t-x=u，dt=du，u：-x→0，所以∫0xsin(t-x)dt=∫-x0sinudu=-∫0-xsinudu．故∫0xsin(t-x)dt=-∫0-xsinudu=-sinx．故选A

8． 已知f’(1／x)=x2，则下列式子中正确的是(    )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：C           

解析：由f’(1／x)=x2知，f’(x)=+C，故选C

9． 定积分|sin2x|dx的值是(    )．

A．1／2

B．-1／2

C．3／2

D．-3／2

正确答案：C           

解析：故选C。

10． 方程x3-3x=0在区间(-∞，+∞)内(    )．

A．无实根

B．有唯一实根

C．有两个实根

D．有三个实根

正确答案：D           

解析：令f(x)=x3-3x+1，则f’(x)=32-3=3(x+1)(x-1)，当x在区间(-∞，-1)和(1，+∞)上时，f’(x)＞0，f(x)单调增加；当x在区间(-1，1)上时，f’(x)＜0，f(x)单调减少．所以x=-1是极大值点，x=1是极小值点．又f(-1)=3＞0，f(1)=-1＜0，且x→-∞时，f(x)→-∞＜3，x→+∞时，f(x)→+∞，所以方程在区间(-∞，+∞)内有三个实根．

三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。

11． 设y=，求y”．

正确答案：   

12． ，求极限．

正确答案：   

13． 若F(x)=，求dF(x)．

正确答案：dF(x)=F’(x)dx=   

14． 设f”(x)连续，求证∫abxf”(x)dx=[bf’(b)-f(b)]-[af’(a)-f(a)]．

正确答案：f”(x)连续，所以∫xf”(x)dx=∫xdf’(x)=xf’(x)-∫f’(x)dx=xf’(x)-f(x)，因此，ab∫xf”(x)dx-[xf’(x)-f(x)]|ab=[bf’(b)-f(b)]-[af’(a)-f(a)]．   

15． 求由y=和x=2所围图型的面积．

正确答案：如下图所示，所求面积即为图中阴影部分的面积．   

16． 设f(x)连续可导，且f(0)=0，f’(0)=1，令φ(x)=求φ’(0)．

正确答案：