华师大版八年级下册 反比例函数与一次函数综合训练 有答案

一、求函数表达式，观察函数值大小及自变量的取值范围    

试题1、（2015湖北, 第19题6分）如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A（1，4）和点B（n，﹣2）．    

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；    

（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．    

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．    

分析： （1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，从而确定反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出a，b的值，从而确定一次函数的解析式；    

（2）根据函数的图象即可得出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．    

解答： 解：（1）∵反比例函数y=的图象过点A（1，4），    

∴4=，即m=4，    

∴反比例函数的解析式为：y=．    

∵反比例函数y=的图象过点B（n，﹣2），    

∴﹣2=，    

解得：n=﹣2    

∴B（﹣2，﹣2）．    

∵一次函数y=ax+b（k≠0）的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），    

∴，    

解得．    

∴一次函数的解析式为：y=2x+2；    

（2）由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值．    

点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及利用图象比较函数值的大小．解题的关键是：确定交点的坐标．    

试题2、(2014年四川资阳，第20题8分)如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．    

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；    

（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？    

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案．    

解答：解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0）和A（﹣2，1），

∴，解得，    

∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，    

反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1），    

∴，解得m=﹣2，    

∴反比例函数的解析式为y=﹣；    

（2），    

解得，或，    

∴B（，﹣4）    

由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．    

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键．

试题3、（2011四川广安，24，8分）如图6所示，直线l1的方程为y＝－x＋l，直线l2的方程为y＝x＋5，且两直线相交于点P，过点P的双曲线与直线l1的另一交点为Q（3，M）．    

 （1）求双曲线的解析式．    

 （2）根据图象直接写出不等式＞－x＋l的解集．    

考点：反比例函数的解析式，函数图象的交点，一次函数与反比例函数的综合，利用图象解不等式    

专题：一次函数与反比例函数的综合    

分析：（1）要确定双曲线的解析式，关键是确定图象上点P的坐标，而点P是直线与的交点，建立方程组即可求得交点坐标；    

（2）要求不等式＞－x＋l的解集，表现在图象上就是确定当在何范围内取值时，双曲线的图象在直线的上方．    

解答：（1）依题意：    

解得：，∴P（－2，3）．    

把P（－2，3）代入，得K=-6．     

∴双曲线的解析式为：    

（2）－2＜x＜0或x>3．    

点评：（1）确定反比例函数的解析式，只需确定其图象上一点.    

（2）利用图象比较反比例函数的值与一次函数的值的大小时， 要充分利用数形结合思想进行分析判断，要注意把反比例函数图象与一次函数图象的交点作为界点进行分析，还应注意反比例函数中自变量的性质．    

试题4、（2015湘潭，第23题8分）如图，已知一次函数y=x+b与反比例函数y=的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（2，3）．    

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；    

（2）求点B的坐标；    

（3）请根据图象直接写出不等式x+b＞的解集．    

考点：    反比例函数与一次函数的交点问题．. 

分析：    （1）把A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式；

（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出方程组的解即可；

（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．

解答：    解：（1）把点A的坐标（2，3）代入一次函数的解析式中，可得：3=2+b，解得：b=1，

所以一次函数的解析式为：y=x+1；

把点A的坐标（2，3）代入反比例函数的解析式中，可得：k=6，

所以反比例函数的解析式为：y=；

（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，

可得：，

解得：x1=2，x2=﹣3，

所以点B的坐标为（﹣3，﹣2）；

（3）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），

∴使一次函数值大于反比例函数值的x的范围是：﹣3＜x＜0或x＞2．

点评：    本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，用待定系数法求出一次函数的解析式，函数的图形等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想．

二、求面积，由面积求底或高。    

试题1、（2015枣庄,第22题8分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．    

（1）求一次函数的解析式；    

（2）根据图象直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；    

（3）求△AOB的面积．    

考点：    反比例函数与一次函数的交点问题．.

分析：    （1）先把A、B点坐标代入y=求出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；

（2）根据图象可以直接写出答案；

（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．S△AOB=S△AOD﹣S△BOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果．

解答：    解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，

∴m=1，n=2，

即A（1，6），B（3，2）．

又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上，

∴．

解得，

则该一次函数的解析式为：y=﹣2x+3；

（2）根据图象可知使kx+b＜成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞2；

（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．

令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．

∵A（1，6），B（3，2），

∴AE=6，BC=2，

∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8．

点评：    本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．

试题2、（2015·湖北省随州市，第20题8分）如图，反比例函数y=（k＜0）的图象与矩形ABCD的边相交于E、F两点，且BE=2AE，E（﹣1，2）．    

（1）求反比例函数的解析式；    

（2）连接EF，求△BEF的面积．    

考点：    反比例函数与一次函数的交点问题．.

分析：    （1）将E（﹣1，2）代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；

（2）由矩形的性质及已知条件可得B（﹣3，2），再将x=﹣3代入y=﹣，求出y的值，得到CF=，那么BF=2﹣=，然后根据△BEF的面积=BEBF，将数值代入计算即可．

解答：    解：（1）∵反比例函数y=（k＜0）的图象过点E（﹣1，2），

∴k=﹣1×2=﹣2，

∴反比例函数的解析式为y=﹣；

（2）∵E（﹣1，2），

∴AE=1，OA=2，

∴BE=2AE=2，

∴AB=AE+BE=1+2=3，

∴B（﹣3，2）．

将x=﹣3代入y=﹣，得y=，

∴CF=，

∴BF=2﹣=，

∴△BEF的面积=BEBF=×2×=．

点评：    本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，三角形的面积，正确求出BF的值是解决第（2）小题的关键．

试题3、（2015青海西宁第23题8分）如图，一次函数y=﹣x+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象的交点为A（﹣2，3）．    

（1）求反比例函数的解析式；    

（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．    

考点分析：反比例函数与一次函数的交点问题．.

（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，列出关于系数m的方程，通过解方程来求m的值；

（2）由一次函数解析式可以求得点B的坐标，然后根据三角形的面积公式来求点P的坐标．    

解答：解：（1）由题意得：A（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，则=3，

解得m=﹣6．    

故该反比例函数的解析式为y=﹣；    

（2）设点P的坐标是（a，b）．    

∵一次函数y=﹣x+2的图象与x轴交于点B，    

∴当y=0时，﹣x+2=0，    

解得x=4．    

∴点B的坐标是（4，0），即OB=4．    

∴BC=6．    

∵△PBC的面积等于18，    

∴×BC×|b|=18，    

解得：|b|=6，    

∴b1=6，b2=﹣6，    

∴点P的坐标是（﹣1，6），（1，﹣6）．    

点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用函数图象上点的坐标特征求得相关点的坐标，然后由坐标与图形的性质得到相关线段的长度是解题的关键．

试题4.（2015四川攀枝花第20题8分）如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．    

（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；    

（2）求△COD的面积；    

（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．    

考点分析：反比例函数与一次函数的交点问题．.

（1）把点D的坐标代入y2=利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；

（2）联立方程求得C的坐标，然后根据S△COD=S△AOC+S△AOD即可求得△COD的面积；    

（3）根据图象即可求得．    

解：∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2=的图象上，

∴k2=2×（﹣3）=﹣6，    

∴y2=﹣；    

作DE⊥x轴于E，    

∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，    

∴A（﹣2，0），    

∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1=k1x+b的图象上，    

∴，    

解得k1=﹣，b=﹣，    

∴y1=﹣x﹣；    

（2）由，解得，，    

∴C（﹣4，），    

∴S△COD=S△AOC+S△AOD=×+×2×3=；    

（3）当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＞y2．    

点评：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得A点的坐标是解题的关键．

三、求线段的长及线段之和的最小值    

试题1、（2011贵港）如图所示，反比例函数 的图象与一次函数y=kx﹣3的图象在第一象限内相交于点A （4，m）．    

（1）求m的值及一次函数的解析式；    

（2）若直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，求线段BC的长．    

考点：反比例函数综合题。    

专题：函数思想。    

分析：（1）由已知先求出m，得出点A的坐标，再把A的坐标代入一次函数y=kx﹣3求出k的值即可求出一次函数的解析式．    

（2）把x=2代入和y=x﹣3，得出点B和点C的纵坐标，即可求出线段BC的长．    

解答：解：（1）∵点A （4，m）在反比例函数的图象上，    

∴m==1，    

∴A （4，1），    

把A （4，1）代入一次函数y=kx﹣3，得4k﹣3=1，    

∴k=1，    

∴一次函数的解析式为y=x﹣3，    

（2）∵直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，    

∴当x=2时， =2，    

yC=2﹣3=﹣1，    

∴线段BC的长为|yB﹣yC|=2﹣（﹣1）=3．    

点评：此题考查的知识点是反比例函数综合应用，解决本题的关键是利用反比例函数求得关键点点A的坐标，然后利用待定系数法即可求出函数的解析式．    

试题2、（2011安顺）如图，已知反比例函数的图象经过第二象限内的点A（﹣1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，一2）．    

（1）求直线y=ax+b的解析式；    

（2）设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长．    

考点：反比例函数综合题。    

专题：综合题。    

分析：（1）根据点A的横坐标与△AOB的面积求出AB的长度，从而得到点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出点C的坐标，根据点A与点C的坐标利用待定系数法即可求出直线y=ax+b的解析式；    

（2）根据直线y=ax+b的解析式，取y=0，求出对应的x的值，得到点M的坐标，然后求出BM的长度，在△ABM中利用勾股定理即可求出AM的长度．    

解答：解：（1）∵点A（﹣1，m）在第二象限内，    

∴AB=m，OB=1，    

∴S△ABO=AB·BO=2，    

即：×m×1=2，    

解得m=4，    

∴A （﹣1，4），    

∵点A （﹣1，4），在反比例函数的图象上，    

∴4=，    

解得k=﹣4，    

∵反比例函数为，    

又∵反比例函数的图象经过C（n，﹣2）    

∴，    

解得n=2，    

∴C （2，﹣2），    

∵直线y=ax+b过点A （﹣1，4），C （2，﹣2）    

解方程组得，    

∴直线y=ax+b的解析式为y=﹣2x+2；    

（2）当y=0时，即﹣2x+2=0，    

解得x=1，    

∴点M的坐标是M（1，0），    

在Rt△ABM中，    

∵AB=4，BM=BO+OM=1+1=2，    

由勾股定理得AM=    

点评：本题主要考查了反比例函数，待定系数法求函数解析式，勾股定理，综合性较强，但只要细心分析题目难度不大．    

试题3、（2015四川遂宁第23题10分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．    

（1）求反比例函数的解析式；    

（2）求一次函数的解析式；    

（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．    

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．.

分析：（1）把A（1，4）代入y=即可求出结果；

（2）先把B（4，n）代入y=得到B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b求得一次函数的解析式为；    

（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，求出直线AB′与x轴的交点即为P点的坐标．    

解答：解：（1）把A（1，4）代入y=得：m=4，

∴反比例函数的解析式为：y=；    

（2）把B（4，n）代入y=得：n=1，    

∴B（4，1），    

把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b得，    

∴，    

∴一次函数的解析式为：y=﹣x+5；    

（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，    

则AB′的长度就是PA+PB的最小值，    

由作图知，B′（4，﹣1），    

∴直线AB′的解析式为：y=﹣x+，    

当y=0时，x=，    

∴P（，0）．    

点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，轴对称的性质，最小距离问题，这里体现了数形结合的思想，正确的理解距离和最小问题是解题的关键．

试题4、（2015四川成都,第19题10分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．    

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；    

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．    

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．.

分析：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；

（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．    

解答：解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，

得a=﹣1+4，    

解得a=3，    

∴A（1，3），    

点A（1，3）代入反比例函数y=，    

得k=3，    

∴反比例函数的表达式y=，    

两个函数解析式联立列方程组得，    

解得x1=1，x2=3，    

∴点B坐标（3，1）；    

（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，    

∴D（3，﹣1），    

设直线AD的解析式为y=mx+n，    

把A，D两点代入得，，    

解得m=﹣2，n=5，    

∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，    

令y=0，得x=，    

∴点P坐标（，0），    

S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=．    

点评：本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．

四、求线段中点坐标及相关应用    

试题1、（2015东营,第22题8分）如图是函数y=与函数y=在第一象限内的图象，点P是y=的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y=的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y=的图象于点D．    

（1）求证：D是BP的中点；    

（2）求四边形ODPC的面积．    

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．    

分析： （1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；    

（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案．    

解答： （1）证明：∵点P在函数y=上，    

∴设P点坐标为（，m）．    

∵点D在函数y=上，BP∥x轴，    

∴设点D坐标为（，m），    

由题意，得    

BD=，BP==2BD，    

∴D是BP的中点．    

（2）解：S四边形OAPB=m=6，    

设C点坐标为（x，），D点坐标为（，y），    

S△OBD=y=，    

S△OAC=x=，    

S四边形OCPD=S四边形PBOA﹣S△OBD﹣S△OAC=6﹣﹣=3．    

点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析式，线段中点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法．    

　试题2、（2014年山东泰安，第26题）如图①，△OAB中，A（0，2），B（4，0），将△AOB向右平移m个单位，得到△O′A′B′．    

（1）当m=4时，如图②．若反比例函数y=的图象经过点A′，一次函数y=ax+b的图象经过A′、B′两点．求反比例函数及一次函数的表达式；    

（2）若反比例函数y=的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值．    

分析：（1）根据题意得出：A′点的坐标为：（4，2），B′点的坐标为：（8，0），进而利用待定系数法求一次函数解析式即可；    

（2）首先得出A′B′的中点M的坐标为：（m+4﹣2，1）则2m=m+2，求出m的值即可．    

解：（1）由图②值：A′点的坐标为：（4，2），B′点的坐标为：（8，0），    

∴k=4×2=8，∴y=，    

把（4，2），（8，0）代入y=ax+b得：，解得：，    

∴经过A′、B′两点的一次函数表达式为：y=﹣x+4；    

（2）当△AOB向右平移m个单位时，A′点的坐标为：（m，2），B′点的坐标为：（m+4，0）    

则A′B′的中点M的坐标为：（m+4﹣2，1）∴2m=m+2，解得：m=2，    

∴当m=2时，反比例函数y=的图象经过点A′及A′B′的中点M．    

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标的平移等知识，得出A′，B′点坐标是解题关键．    

五、全等三角形    

试题1、（2014浙江宁波，第22题10分）如图，点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO=CD=2，AB=DA=，反比例函数y=（k＞0）的图象过CD的中点E．    

（1）求证：△AOB≌△DCA；    

（2）求k的值；    

（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，是判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．    

考点：    反比例函数综合题．

专题：    综合题．

分析：    （1）利用“HL”证明△AOB≌△DCA；

（2）先利用勾股定理计算出AC=1，再确定C点坐标，然后根据点E为CD的中点可得到点E的坐标为（3，1），则可根据反比例函数图象上点的坐标特征求得k=3；

（3）根据中心对称的性质得△BFG≌△DCA，所以FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，则可得到G点坐标为（1，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断G点是否在函数y=的图象上．

解答：    （1）证明：∵点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴，

∴∠AOB=∠DCA=90°，

在Rt△AOB和Rt△DCA中

，

∴Rt△AOB≌Rt△DCA；

（2）解：在Rt△ACD中，CD=2，AD=，

∴AC==1，

∴OC=OA+AC=2+1=3，

∴D点坐标为（3，2），

∵点E为CD的中点，

∴点E的坐标为（3，1），

∴k=3×1=3；

（3）解：点G是否在反比例函数的图象上．理由如下：

∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，

∴△BFG≌△DCA，

∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，

而OB=AC=1，

∴OF=OB+BF=1+2=3，

∴G点坐标为（1，3），

∵1×3=3，

∴G（1，3）在反比例函数y=的图象上．

点评：    本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、中心对称的性质和三角形全等的判定与性质；会利用勾股定理进行几何计算．