正弦定理知识点及习题

第一节：正弦定理

1、正弦定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为三角形的外接圆的半径，则有

（注：正弦定理适用于任意三角形）

公式变形式：（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

（2）

（3）a:b:c=sinA:sinB:sinC

2、正弦定理证明：如图在三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c

3、常用结论：

（1）三角形常用公式：

（2）三角形面积公式：  

                     S=1/2(a+b+c)r

（3）在三角形ABC中，已知A>B,求证：sinA> sinB

证明过程：

4、利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下两类问题：

（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角。

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。

(从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题)

5、定理的应用:

（已知两角和任意边，求其他两边和一角）

例 1、在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C =30°求 a , b.

（跟踪训练）在△ABC 中，已知b=12,A=30°B=45。解这个三角形，并求出它的外接圆半径及三角形面积.

(已知两边和其中一边的对角,求其他边和角)

例 2、已知a=16， b=     ，A=30° .求角B，C和边c

（跟踪训练）已知a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c

6、注意点

①已知两角及一边解三角形一定只有一解。

②已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、一解或两解。

例3、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。

(跟踪训练)根据下列条件解三角形 

(1)b=13，a=26，B=30°.

(2) b=40，c=20，C=45°.

练习：

1、在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的___条件

A、充分不必要       B、必要不充分

C、充分必要         D、不充分也不必要

2.在三角形ABC中，若a=2bsinA,那么B的值是

4、在三角形ABC中，若A:B:C=1:2:3,那么a:b:c=

5、在三角形ABC中，若A=120。，AB=5，BC=7，则三角形ABC的面积为

6、在三角形ABC中，已知acosA=bcosB,则此三角形是（    ）

A.钝角三角形                     B.直角三角形

C.锐角三角形                     D.直角或等腰三角形

7、在三角形ABC中，一定成立的等式是（     ）

A. asinA=bsinB                   B. acosA=bcosB

C. asinB=bsinA                   D. acosB=bcosA