数列经典试题(含答案)

第二章数列

1．{a n}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果a n＝2 005，则序号n等于()．

A．667 B．668 C．669 D．670

2．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝()．

A．33 B．72 C．84 D．1

3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则()．

A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5 C．a1＋a8＜a4＋a5 D．a1a8＝a4a5

4．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则

｜m－n｜等于()．

A．1 B． C． D．

5．等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则{a n}的前4项和为().

A．81 B．120 C．168 D．192

6．若数列{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2·a2 004＜0，则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是()．

003

A．4 005 B．4 006 C．4 007 D．4 008

7．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝()．

A．－4 B．－6 C．－8 D．－10

8．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若＝，则＝()．A．1 B．－1 C．2 D．

9．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是()．

A． B．－ C．－或 D．

10．在等差数列{a n}中，a n≠0，a n－1－＋a n＋1＝0(n≥2)，若S2n－1＝38，则n＝()．

A．38 B．20 C．10 D．9

二、填空题

11．设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为 .

12．已知等比数列{a n}中，

(1)若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝．

(2)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．

(3)若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝ .

13．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．

14．在等差数列{a n}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则此数列前13项之和为 .

15．在等差数列{a n}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝

.

16．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝；当n＞4时，f(n)＝．

三、解答题

17．(1)已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2－2n，求证数列{a n}成等差数列.

(2)已知，成等差数列，求证，也成等差数列.18．设{a n}是公比为q 的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．

(1)求q的值；

(2)设{b n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，当n≥2时，比较S n与b n的大小，并说明理由．

19．数列{a n}的前n项和记为S n，已知a1＝1，a n＋1＝S n(n

＝1，2，3…)．

求证：数列{}是等比数列．20．已知数列{a n}是首项为a且公比不等于1的等比数列，S n为其

前n项和，a1，2a7，3a4成等差数列，求证：12S3，S6，S12－S6成等比数列.

第二章数列

参

一、选择题

1．C

解析：由题设，代入通项公式a n＝a1＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n＝699．

2．C

解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．

设等比数列{a n}的公比为q(q＞0)，由题意得a1＋a2＋a3＝21，

即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．

解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)，

∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84．

3．B．解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C．

又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，

∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d＋12d2＞a1·a8．

4．C

解析：

解法1：设a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m ＝0中两根之和为2，x2－2x＋n＝0中两根之和也为2，

∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，

∴d＝，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1＝，a3＝是另一个方程的两个根．

∴，分别为m或n，

∴｜m－n｜＝，故选C．

解法2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝

2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．

由等差数列的性质：若γ＋s＝p＋q，则aγ＋a s＝a p＋a q，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2＝，于是可得等差数列为，，∴m＝，n＝，

∴｜m－n｜＝．

5．B

解析：∵a2＝9，a5＝243，＝q3＝＝27，

∴q＝3，a1q＝9，a1＝3，

∴S4＝＝＝120．

6．B

解析：

解法1：由a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，知a2 003和a2 004两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，

故a2 003＞a2 004，即a2 003＞0，a2 004＜0.

∴S4 006＝＝＞0，∴S4 007＝·(a1＋a4 007)＝·2a2 004＜0，

故4 006为S n＞0的最大自然数. 选B．

解法2：由a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，同解法1的分析得a2 003＞0，a2 004＜0，

(第6题)

∴S2 003为S n中的最大值．

∵S n是关于n的二次函数，如草图所示，

∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，

∴在对称轴的右侧．

根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n＞0的最大自然数是4 006．7．B

解析：∵{a n}是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，

又由a1，a3，a4成等比数列，

∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，

∴a2＝－8＋2＝－6．

8．A

解析：∵＝＝＝·＝1，∴选A．

9．A

解析：设d和q分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝(－

1)q4，

∴d＝－1，q2＝2，

∴＝＝．

10．C

解析：∵{a n}为等差数列，∴＝a n－1＋a n＋1，∴＝2a n，

又a n≠0，∴a n＝2，{a n}为常数数列，

而a n＝，即2n－1＝＝19，

∴n＝10．

二、填空题

11．．

解析：∵f(x)＝，

∴f(1－x)＝＝＝，

∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝＝．

设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，

则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)，

∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋[f(－5)＋f(6)]＝6，∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝3．

12．（1）32；（2）4；（3）32．

解析：（1）由a3·a5＝，得a4＝2，

∴a2·a3·a4·a5·a6＝＝32．（2），

∴a5＋a6＝(a1＋a2)q4＝4．

（3），

∴a17＋a18＋a19＋a20＝S4q16＝32．

13．216．

解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与，同号，由等比中项的中间数为＝6，插入的三个数之积为××6＝216．

14．26．

解析：∵a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10，

∴6(a4＋a10)＝24，a4＋a10＝4，

∴S13＝＝＝＝26．

15．－49．

解析：∵d＝a6－a5＝－5，

∴a4＋a5＋…＋a10

＝

＝

＝7(a5＋2d)

＝－49．

16．5，(n＋1)(n－2)．

解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f(k)＝f(k－1)＋(k－1)．由f(3)＝2，

f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，

f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4＝9，

……

f(n)＝f(n－1)＋(n－1)，

相加得f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．三、解答题

17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．

证明：（1）n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1，

当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，

n＝1时，亦满足，∴a n＝6n－5(n∈N*)．

首项a1＝1，a n－a n－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常数)(n∈N*)，∴数列{a n}成等差数列且a1＝1，公差为6．

（2）∵，成等差数列，

∴＝＋化简得2ac＝b(a＋c)．

＋＝＝＝＝＝2·，

∴，也成等差数列．

18．解：（1）由题设2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，

∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，

∴q＝1或－．

（2）若q＝1，则S n＝2n＋＝．

当n≥2时，S n－b n＝S n－1＝＞0，故S n＞b n．

若q＝－，则S n＝2n＋ (－)＝．

当n≥2时，S n－b n＝S n－1＝，

故对于n∈N+，当2≤n≤9时，S n＞b n；当n＝10时，S n＝b n；当n≥11时，S n＜b n．

19．证明：∵a n＋1＝S n＋1－S n，a n＋1＝S n，

∴(n＋2)S n＝n(S n＋1－S n)，整理得nS n＋1＝2(n＋1) S n，

所以＝．

故{}是以2为公比的等比数列．

20．证明：由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7＝a1＋3a4，即4a1q6＝a1＋3a1q3，变形得(4q3＋1)(q3－1)＝0，

∴q3＝－或q3＝1(舍)．

由＝＝＝；

＝－1＝－1＝1＋q6－1＝；

得＝．

∴12S3，S6，S12－S6成等比数列．