高数各章综合测试题与答案

一、单项选择题

1、若幂级数在处收敛，则该幂级数在处必然（ ）

(A) 绝对收敛； ） 条件收敛;发散； （D） 收敛性不定。

2、下列级数条件收敛的是（ ）.

   （A）   （B)  （C）   （D) 

3、若数项级数收敛于,则级数（ )

(A)   （B)    (D) 

4、设为正常数，则级数(   ）.

(A） 绝对收敛； （B) 条件收敛； ） 发散;（D） 收敛性与有关.

5、设，而,

其中,则等于（ ）

（A)   （B）  （C)   （D) 。

二、填空题

1、设,则（ )

2、设的收敛域为，则级数的收敛区间为( ）

3、设，则以2为周期的傅里叶级数在处收敛于（ )

4、设的傅里叶级数为

则( )

5、级数的和为（ ）

三、计算与应用题

1、求级数的收敛域

2、求的和

3、将函数展开为的幂级数，并求

4、求的和函数

5、已知满足，为正整数,且，求函数项级数的和函数.

6、设有方程，其中为正整数，证明此方程存在唯一正根,并证明当 时，级数收敛.

四、证明题

设

（1）求

（2）试证:对任意常数，级数收敛

提示：，。

 因为，所以,

第十一章  无穷级数测试题答案与提示

一、

1、A； 2、D；3、B；4、C;5、B.

二、

1、1;2、；3、;4、；5、.

三、

1、答案：。

2、答案:

提示：原式为级数的和函数在点的值。

而，分别求出和的和函数即可.

3、答案：

 。

提示： 

4、答案：

提示：，

而

5、答案：

提示:先解一阶线性微分方程,求出特解为

 ，记，则可得

6、提示：设，则，故在内最多有一个正根.而,所以有唯一正根.由方程知，

，故当 时，级数收敛。

四、提示:,.

 因为，所以,

第十章 曲线积分与曲面积分测试题

一、单项选择题

1、已知为某二元函数的全微分，则等于（ )

(A)   (B)  （C)   (D) 。

2、设闭曲线为的正向,则曲线积分的值等于( )

 （A)   （B)    （D) 。

3、设为封闭柱面，其向外的单位法向量为，则等于( )

(A)   (B)    (D） 。

4、设曲线为，则等于（ )

   (B) ; ）   (D) 。

5、设为下半球的上侧，是由和所围成的空间闭区域，则不等于（ )

     (B) ; 

（C)   (D） .

二、填空题

1、设是圆周,则( )

2、设质点在力的作用下沿椭圆的逆时针方向运动一周，则所做的功等于( )

3、设是平面被圆柱面所截下的部分，则等于( ）

4、设是球面的外侧,则等于( )

5、设与路径无关,其中连续且，则( )

三、计算与应用题

1、求，其中为正常数，为从点沿曲线到点的弧。

2、计算，其中为圆周。

3、在变力的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦挂线的点，问取何值时，力所做的功最大？并求出最大值.

4、设为椭球面的上半部分,点，为在点处的切平面,为点到平面的距离，求.

5、求，其中为曲面的上侧。

6、设对于半空间内任意光滑有向闭曲面，都有，

，其中函数在内具有连续的一阶导数,且，求。

答案:

提示：由题设和高斯公式得

由的任意性,知，解此微分方程即可。

四、证明题

已知平面区域,为的正向边界，试证：

（1）；

（2）

第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示

一、

1、D；2、C；3、A；4、B；5、B.

二、

1、；2、；3、；4、；5、。

三、

1、答案:。

提示：添加从沿到点的有向直线段，然后用格林公式.

2、答案：.

提示：利用变量“对等性”.

3、答案:

 .

提示：直线段，从0变到1，功为

 再求在条件下的最大值即可。

4、答案: 。

提示：曲面在点处的法向量为，

切平面方程为：，

点到平面的距离.

5、答案：。

提示:添加曲面为平面上被椭圆所围的下侧，在和所围封闭曲面上用高斯公式。

 注意到在的积分等于为0.

6、提示:

（1）左边=，同理,

右边=

（2）由（1）得=，而由和泰勒展开式知道

，

而.

第九章  重积分测试题

一、选择题

1、若区域是平面上以，和为顶点的三角形区域,是在第一象限中的部分，则( )。

(A) ;(B) 

（C） （D）  0

2、设连续，且，其中是平面上由 和所围区域，则等于( ）。

（A) ； ；  (C)  ； (D）  

3、设其中，则(    )。

  (A) ;） ；  (C)  ； (D)  

4、设空间闭区域由及确定，为在第一挂限的部分，则（ ).

（A) ;  （B） ；

(C) ； （D)  

5、设空间闭区域，，则下列将化为累次积分中不正确的是（ ).

（A） ； （B) ;

（C) ;

二、填空题

1、设区域为，则的值等于（ ）

2、设，则的值等于（ )

3、积分的值等于（ )

4、积分可化为定积分，则等于( )

5、积分的值等于（ ）

三、计算与应用题

1、求,其中是由圆和所围的平面区域。

2、求,其中.

3、计算,其中由曲线绕轴旋转一周而成的旋转曲面与平面所围的立体.

4、计算，由及确定。

5、计算.

6、设有一高度为（为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为），问高度为的雪堆全部融化需多少小时？

四、证明题

设函数在上连续,并设，证明。

第九章  重积分测试题答案与提示

一、

1、A;2、D；3、A；4、C；5、B。

二、

1、；2、；3、；4、;5、。

三、

1、答案:.

提示：将看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可.

2、答案：

提示：为确定，必须将分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可。

3、答案：

提示:旋转曲面的方程为，用柱面坐标计算即可。

4、答案:。

提示： ， .

5、答案:.

提示：交换积分次序.

6、答案：小时

提示：先利用三重积分求出雪堆的体积；

 再求出雪堆的侧面积；

由题意,所以，解出并令其等于0，则可得结果.

四、提示：交换积分次序，

并利用.

第八章 多元函数微分法及应用测试题

一、选择题

1、已知函数在上连续,那么(  ）。

  (A） （B)  

(C) ； (D） 

2、在矩形域内，是（常数）的（  )。

(A) 充要条件； （B)充分条件；  （C） 必要条件； （D）。既非充分又非必要条件

3、若函数在区域内的二阶偏导数都存在，则（   ）

 （A） 在内成立； (B)在内连续；  

（C) 在内可微分;        （D)以上结论都不对

4、的值为（   ）

（A) ； ） 不存在；  (C） ； .

5、设有三元函数,据隐函数存在定理，存在点的一个邻域,在此邻域内该方程（   ）.

 A）只能确定一个具有连续偏导的隐函数; 

（B）可确定两个具有连续偏导的隐函数和；  

（C）可确定两个具有连续偏导的隐函数和;        

（D)可确定两个具有连续偏导的隐函数和。

二、填空题

1、设，则的值为( ）。

2、设具有连续偏导数，且,令，则的值为（ ）。

3、设，其中是由确定的隐函数，则(   ）.

4、曲线在点处的切线方程为( )。

5、函数在点处

沿（  ）方向的方向导数最大？

三、计算和应用题

1、设为某一函数的全微分，求和的值

2、设，具有二阶连续偏导数，且，如果，求常数的值。

3、在椭球内嵌入一中心在原点的长方体，问长宽高各是多少时长方体的体积最大？

4、设，而是由方程所确定的的函数,求

5、设有二阶连续偏导数， ， 且， 证明 在取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值。

6、设有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占的区域为，小山的高度函数为

（1）设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式。

（2）现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，试确定攀登起点的位置.

四、证明题

设可微,试证曲面上任一点处的切平面都通过定点。

第八章 多元函数微分法及应用测试题答案与提示

一、

1、C；2、A；3、D；4、B；5、D。

二、

1、；2、;3、1;4、；5、。

三、

1、答案：.

提示： 利用这一条件。

2、答案：。

提示： ，，

，,

,，

又因为，所以,。

3、答案：.

提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为，则求体积在条件下的极值就可.

4、答案：。

5、答案：故是极大值.

提示：由全微分的定义知            

      A=    

   ， 且， 故是极大值。

6、答案： 

     攀登起点的位置： 。

提示: 沿梯度方向的方向导数最大,方向导数的最大值即为梯度的模。

     然后再求在条件下的极大值点就可。

四、答案： 通过定点.

第六章 微分方程测试题

一、选择题

1、设是的解，若且，则在点 （ ）.

（A) 取极大值；  （B） 取极小值； （C） 在某邻域内单增；  （D） 在某邻域内单减.

2、微分方程的一个特解应具有形式 ( ）   (为常数）.

（A）   (B)   (C)  （D） 

3、微分方程的特解形式可设为（ ）.

  (A)   

(B)  

  （C）   

  (D） 

4、设线性无关的函数都是非齐次线性微分方程的解，是任意常数，则该方程的通解为( )。

  （A）   

(B)  

  （C)   

  （D） 

5、方程满足的特解为（ )。

   (B）   （C）  

二、填空题

1、已知微分方程有一个特解，则其通解为（    ）。

2、以为特解的二阶常系数齐次微分方程是（   )。

3、若连续函数满足,则等于（    )。

4、已知函数在任意点处的增量，其中是比高阶的无穷小，且，则等于(   ）.

5、的通解为（    ）。

三、计算和应用题

1、设是二阶常系数线性微分方程的一个特解，求该微分方程的通解.

2、设函数在内具有二阶导数，且是的反函数。

(1)试将所满足的微分方程变换为所满足的微分方程；

(2)求变换后的微分方程满足条件的解.

3、已知都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，试求此微分方程

4、已知连续函数满足,求。

5、已知连续函数满足，求。

6、设函数在上连续恒正，若曲线，直线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为,试求所满足的微分方程,并求该方程满足的特解.

四、证明题

证明方程（其中连续)的通解为

,其中为任意常数.

第六章 微分方程测试题答案与提示

一、

1、A；2、B;3、A;4、D;5、C。

二、

1、；2、；3、；4、;

5、.

三、

1、答案：.

提示：将代入原方程，比较同类项系数，求出的值，然后再去求解微分方程.

2、答案: （1） ;

（2) 。

3、答案: .

提示：  是对应齐次微分方程的特解，从而可得出对应齐次微分方程为， 设非齐次线性微分方程为，再将其中任意个非齐次特解代入，得出。

4、答案： .

5、答案: .

提示:作代换，则.

6、答案: 。

提示：依题意可得:,然后两边求导.

四、略.

第五章 定积分及应用测试题

一、选择题

1、设连续,,则的值是(    ）。

(A) 依赖于和；               (B）是一个常数;  

（C）不依赖于但依赖于;        (D）依赖于但不依赖于.

2、下列积分中,等于零的是( ）。

(A)  （B） 

(C)  （C) 

3、设在上，

令，则（    ).

（A） ； ） ;  (C）  ； （D)  .

4、已知，则的值等于（    ）。

   (A)   （B）   （C)  （D） 

5、设在处可导,且，则极限的值等于（    ).

(A)不存在；  （B)   (C）  （D） 

二、填空题

1、设连续，，则等于（ )。

2、定积分的值为（ )。

3、定积分的值为( ）。

4、若积分,则常数的值等于( ）。

5、曲线与轴所围成的面积值等于( ).

三、计算和应用题

1、已知，且，求.

2、计算

3、设，求

4、计算.

5、设,求。

6、设可导，，且与无关，求.

四、证明题

设函数在上连续，在内，证明存在唯一的使曲线和所围面积是和所围面积的倍。

第五章 定积分及应用测试题答案与提示

一、

1、D；2、C；3、B；4、A；5、D.

二、

1、；2、；3、；4、；5、。

三、

1、答案：.

提示：用分部积分.

2、答案：。

提示:利用奇偶对称性.

3、答案：1。

提示：分别求出和的值即可。

4、答案：。

提示:.

5、答案：。

6、答案:.

提示:令，

 由得,所以。

四、提示：,

令，用零点定理和单调性证明即可.

第一章综合测试题

一、单项选择题

1、当时的左极限和右极限都存在且相等是存在的(     )条件。

(A) 充分;） 必要； ） 充要;（D） 无关.

2、设 (    ）。

（A） ;  ;

(C) ;） 极限不存在。

3、设,则当,有 (    ）。

（A） 与是等价无穷小;） 与是同阶但非等价无穷小

(C) 是比高阶的无穷小;） 是比低阶的无穷小。

4、设，则是的(）.

(A) 可去间断点； ） 跳跃间断点;第二类间断点； （D) 连续点。

5、方程至少有一个根的区间是（  )。

（A） ；  ； ； （D） 。

二、填空题

7、若，则（    )．

8、已知函数在连续,则 (    ）．

9、（     )．

10、设 （   ）．

5、已知，则 (    ），  （    ）．

三、计算与应用题

1、设，,求函数项级数  。

2、设，要使在内连续，应当怎样选择数?

3、设,求的间断点，并说明间断点所属类型．

4、计算极限． 

5、计算极限 

6、设的定义域是，求函数的定义域。

四、证明题

证明方程在开区间内至少有一个根.

第一章综合测试题答案与提示

一、

1、C；2、C；3、B；4、B；5、C。

二、

1、；2、1；3、；4、;5、任意常数，6。

三、

1、答案：   .

2、答案：．

3、答案： 是第一类间断点，是第二类间断点．

4、答案： 1．

5、答案:。

6、答案: .

四、提示：利用零点定理．

第二章综合测试题

一、单项选择题

1、若在处可导，则的值应为(    ）.

（A) ;  (B) ；  (C） ; 。

2、设 （     ）。

（A)不连续;    （B）连续，但不可导； (C)连续,且有一阶导数;（D） 有任意阶导数。

3、若为内的可导奇函数，则 （ )。

(A) 必为内的奇函数；   （B) 必为内的偶函数

（C) 必为内的非奇非偶函数;  （D) 在内，可能为奇函数,也可能为偶函数。

4、在处可导，则 （

(A） ；   （B） ;（C) ；    （D） 。

5、设，则 （  ）.

(A) ;   （B） ； ；    (D） .

二、填空题

11、在点可导是在点连续的（  充分  ）条件，在点可导是在点可微的（ 条件．

12、设，则 （    ）．

13、设为可微函数，则当时，在点处的是关于的（    )无穷小.

14、已知，则 (    ）， (     ） ．

15、设函数由方程确定，则 （   ）．

三、计算与应用题

1、讨论函数在处的连续性和可导性.

2、已知,求 。 

3、设且存在,求。

4、设，求微分. 

5、用对数求导法计算函数的导数 

6、求函数的阶导数.

四、证明题

设在内有定义，且,恒有，

，其中，证明在内处处可导. 

第二章综合测试题答案与提示

一、

1、A；2、C；3、B；4、D；5、B．

二、

1、充要；2、;3、高阶;4、；5、1．

三、

1、答案：连续不可导.

2、答案：．

3、答案：。 

4、答案:;

 ．

5、答案：.

6、答案: 。

四、提示： ，有，

第三章综合测试题

一、单项选择题

1、下列函数在上满足拉格朗日定理条件的是 (   ）.

（A） ;    (B） ；    (C） ；     (D） .

2、设 ，，则(    ).

(A） 是的极大值;    （B） 是的极大值；

（C) 是的极小值; （D） 是曲线的拐点。

3、设函数在上满足,则，,或的大小顺序是 (   ）。

(A) ;（B) ；

（C） ;  ） .

4、指出曲线的渐近线 (    ）。

(A) 没有水平渐近线;  (B）只有一条垂直渐近线；

（C） 既有垂直渐近线，又有水平渐近线;（D） 只有水平渐近线.

5、曲线

(A) 有极值点,但无拐点;   (B) 有拐点，但无极值点；

  （C） 有极值点，且是拐点;） 既无极值点,又无拐点。

二、填空题

16、设常数，函数在内零点的个数为（ ．

17、若在上连续，则 (    ）．

18、曲线的渐近线方程为 （     ）．

19、 （    ）．

5、若是的四次多项式函数，它有两个拐点,并且在点处的切线平行于轴,那么函数的表达式是 (     ）．

三、计算与应用题

1、当为何值时，在处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值.

2、求.

3、求。

4、求椭圆上纵坐标最大和最小的点。 

5、求数列的最大项。

6、曲线弧上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.

四、证明题

设在内二阶可导，且。 证明对于少内任意两点及

，有。

第三章综合测试题答案与提示

一、

1、B；2、D；3、B；4、C；5、B．

二、

1、2；2、；3、；4、；5、．

三、

1、答案： 是极大值.

2、答案：.

3、答案： . 

4、答案： 和．

5、答案:。

6、答案: 处的曲率半径最小，值为1。

四、略．

第四章综合测试题

一、单项选择题

1、 (    ）.

（A) ；  （B） ; 

(C) ；  (D) 。

2、已知的一个原函数是，求 (    ).

（A） ;    （B) ；

(C） ； （D） 以上答案都不正确。

3、已知，则 (    ).

(A) ；     (B） 

（C) ; (D) 。

4、已知曲线上任一点的二阶导数，且在曲线上处的切线为，则这条曲线的方程为（    )。

（A） ；   （B） ；

(C） ；  (D) 以上都不是。

5、若，则 （    )。

(A） ；  ;；  .

二、填空题

20、设函数的二阶导数连续，那么(   ).

21、若，则 ）.

22、已知曲线上任意点的切线的斜率为，且时，是极大值，则(     ）;的极小值是 (    )。

23、 (     ）。

5、 （    ）.

三、计算与应用题

1、求不定积分。

2、求不定积分.

3、求不定积分。

4、求不定积分。 

5、求不定积分。 

6、求不定积分。

四、证明题

设是的一个原函数，且,,证明：

.

第四章综合测试题答案与提示

一、

1、A;2、C；3、B；4、B;5、D．

二、

1、；2、;3、，；

4、；5、．

三、

1、答案：.

2、答案：

3、答案：  

4、答案： 

5、答案：。

6、答案: .

四、提示:，

由，得，

。

第七章综合测试题

一、单项选择题

1、点关于平面的对称点是（      ）.

(A） ； ） ； （C) ;.

2、已知平面通过点与，其中，且垂直于平面，则该平面的一般式方程的系数必定满足（     )。

(A） ；    ） ；

（C） ；   （D） .

3、直线的标准方程是(     )。

(A） ； （B) ；

(C) ;（D) .

4、点到轴的距离是的（    ).

(A) ;   （B) ; (C) ；    (D） .

5、方程表示（     ).

（A） 旋转双曲面； （B) 双叶双曲面;双曲柱面;锥面。

二、填空题

24、设，，,且，则 ( ）

25、若,,，则 （ )

26、直线上与点的距离最近的点是 (     ）

27、设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为 （    ）

28、曲线关于面的投影柱面方程是（     )

三、计算与应用题

1、设，，求.

2、设, ， ，求以和为边的平行四边形的面积.

3、设一平面垂直于平面，并通过从点到直线的垂线，求此平面的方程.

4、求锥面与柱面所围立体在三个坐标面上的投影 

5、在平面和平面所确定的平面束内,求两个相互垂直的平面，其中一个平面经过点 .

6、光线沿直线投射到平面，求反射线所在的直线方程.

四、证明题

设为的重心,证明：对于任意一点,有。

第七章综合测试题答案与提示

一、

1、C；2、A；3、A;4、B;5、A．

二、

1、；2、22;3、；4、;5、．

三、

1、答案：.

2、答案：.

3、答案： . 

4、答案： 。

5、答案:.

6、答案: 。

四、略．