广东省茂名市2012届高三第二次模拟考试(文科数学)

数学（文）

本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

    1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目．

    2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案填在答题卡相应的位置上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．5．参考公式：　　　　　　

第一部分  选择题（共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合，，则（     ）

A.     B.    C.       D. 

2. 下列三个不等式中，恒成立的个数有(      )

①；②；③．    

A．3                 B.2                  C.1               D.0

3．下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为(      )

A．         B．      C．        D． 

4．在，“”是“”的(      )    

    A．充分不必要条件        B．必要不充分条件

    C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

5. 在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学

中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚

会的同学的人数为（       ）．

A．12         B.  18        C.  24           D.  32

6．若如右图所示的程序框图输出的是30，则①可以为 (　  　)

A．     B．    C．      D． 

7．已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为，则的值为(      )

A．5    　　　B．6    　　　　 C．8    　　　  D．10 

8.已知等比数列的前项和，则实数的值为（      ）

A．-2               B．0或-2      C.2              D. 

9.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（    ）

A．－2            B．－1         C．2              D．1

10． 在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：

对于任意两个向量，当且仅当“”或“且”． 

按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：

①若,则； 

②若,则；

③若,则对于任意,；

④对于任意向量，,若，则.

其中真命题的序号为（    ）

A．①②④         B．①②③        C．①③④         D．②③④

第二部分  非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，多选的按第14小题给分，共20分）

11．已知复数，且，则满足的　

轨迹方程是__________．

12．如图是某赛季CBA广东东莞银行队甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是________.

13．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，双曲线的离心率的值为2，则该椭圆的离心率的值为________.

选做题：以下两题任选一道作答，两题都答的按第14题正误给分．

14．（坐标系与参数方程选做题）

已知曲线的参数方程为（为参数），则曲线上的点到直线的距离的最大值为        ．

15. （几何证明选做题）

如图，已知是外一点，为的切线，为切点，割线 

经过圆心，若，，则的半径长 

为            ．

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16． （本小题满分12分）

对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了100人，其中女性60人，男性40人．女性中有38人主要的休闲方式是看电视，另外22人主要的休闲方式是运动；男性中有15人主要的休闲方式是看电视，另外25人主要的休闲方式是运动．

(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；

(2)判断性别与休闲方式是否有关．

参考公式：， 

17．（本小题满分12分）

如图，在平面四边形中，， 

是正三角形．

（1）将四边形的面积表示为的函数；

（2）求的最大值及此时的值．

18. (本小题满分14分)

 在平面直角坐标系上，设不等式组表示的平面区域为，记内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为.

（1）求出的值（不要求写过程）；

（2）证明数列为等差数列；

（3）令，求.

19．(本小题满分14分) 

如图所示，圆柱的高为2,是圆柱的母线，为矩形,，，分别是线段的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求证：面；

（3）在线段上是否存在一点，使得到平面的距离为2？若存在，求出；若不存在，请说明理由．

20. (本小题满分14分)

在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比它到轴的距离大，设动点的轨迹是曲线.

(1)求曲线的轨迹方程； 

(2) 设直线与曲线相交于两点，已知圆经过原点和两点，求圆的方程,并判断点关于直线的对称点是否在圆上.

21. (本小题满分14分)

已知二次函数满足：①当时有极值；②图象与轴交点的纵坐标为，且在该点处的切线与直线平行.

(1)求的值；

(2)若，求函数的最小值；

(3)若曲线上任意一点处的切线的斜率恒大于，求的取值范围.

茂名市2012年第二次高考模拟考试

数学试试卷（文科）参和评分标准

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）

7． 因为球的半径为Ｒ＝，所以有

9. 由f(x＋2)＝f(x)知f(x)是周期为2的函数，

∴f(－2 011)＋f(2 012)＝f(2 011)＋f(2 012)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝1.

10.（1）①显然正确

（2）设

由,得“”或“”

由,得“”或“”

,则

若“”且“”,则,所以

若“” 且“”,则,所以

若“” 且“”,则,所以

综上所述，若,则

所以②正确

  （3）设，则

由,得“”或“”

若，则,所以

若，则,所以

综上所述，若,则对于任意,

所以③正确

（4）

由得 “”或“”

由得 “”或“”

若“”且“”，则,

所以

所以

所以④不正确

综上所述，①②③正确，选B

二、填空题（本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，多选的按第14小题给分，共20分）

11.       12.120    13.    14.       15.4

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

解：　(1)2×2列联表如下：

(2)假设“休闲方式与性别无关”．

由表中数据计算得，   ..……………………10分

因为k≥5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”．         ………………………12分

      ………………………………4分

        …………………………………………5分

 ……6分

  ……………9分

             ……………………………………10分

.   ……………………12分

18. (本小题满分14分)

解：（1）                       …………………………3分

（2）由                …………………4分

所以平面区域为内的整点为点（3,0）与在直线上， . …………………5分

直线与直线交点纵坐标分别为 ………6分

内在直线上的整点个数分别为4n+1和2n+1,

                  …………………………………7分

                           ………………………8分

数列为等差数列.                . …………………9分

（3）∵bn=                ………………………10分

b1+b2+…+bn

     ……………………… ………………………14分

19. (本小题满分14分)

证明（1）∵PA是圆柱的母线，∴PA圆柱的底面．……………………………………1分

∵CD圆柱的底面，∴PACD

又∵ABCD为矩形，∴CDAD

而ADPA=A，∴CD平面PAD              ………………………………………3分

又CD平面PDC，∴平面PDC平面PAD ．  ………………………………………4分

（2）取AB中点H，连结GH，HE，

∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，

∴GH//AD//EF，

∴E，F，G，H四点共面．           ……………………… ………………………6分

又H为AB中点，∴EH//PB．        ……………………… ………………………7分

又面EFG，平面EFG，

∴PB//面EFG．                     ……………………… ………………………9分

（3）假设在BC上存在一点M，使得点D到平面PAM的距离为2，则以PAM为底D为顶点的三棱锥的高为2，连结AM，则AM==，

由（2）知PAAM  ∴SPAM=

∴VD—PAM===……………………11分

∵

∴   …………………12分

∵VD—PAM =

∴=   解得：

∵

∴在BC上存在一点M，当使得点D到平面PAM的距离为2．. …………14分

20. (本小题满分14分)

解：（1）由已知，即动点到定点的距离等于它到定直线的距离，…2分

∴动点的轨迹曲线是顶点在原点，焦点为的抛物线和点…………4分

 ∴曲线的轨迹方程为和.          …………………………6分

（2）由解得或           ……………………………8分

即,

设过原点与点、的圆的方程为，

则,解得           

∴圆的方程为  即 ……………10分

由上可知，过点且与直线垂直的直线方程为：

解方程组，得

即线段中点坐标为               ……………………………12分

从而易得点关于直线的对称点的坐标为

把代入代入：

∴点不在圆上.                   …………………………………14分

21. (本小题满分14分)

解：(1)设，由题意可得：

   ……………………………………………………………1分

∴∵在处有极值，

∴    …………………………………………………………… 2分

∵

∴……………………………………………………………3分

∴. ………………………………………………4分

(2)∵

∴………………………………………………5分

令

∴

∴∴…………………………………………6分

∴

∵.…………………7分

①

                                           …………………………………………………8分

②

…………………9分

③

…………………………………………………………………………10分

（3)

∵,

∴.…………………………………………11分

∵,∴.        ………………………………………………………12分

由题意得

∴，

∴的取值范围为.. ………………………………………………14分