山西大学附中2014-2015届高三第六次月考题理科数学

山西大学附中2014年高三第一学期月考

数学试题（理）

               考查内容：高中全部         

一．选择题（5×12=60分）

1.已知集合,集合,则=（    ）

A.      B.        C.       D. 

2．设等差数列的前项和为，，则等于（    ）

A．10          B．12             C．15          D．30

3．已知函数则  (     )

A.         B.            C.          D. 

4．下列命题错误的是(     )        

A. 命题“若，则”的逆否命题为

“若中至少有一个不为则”；

B. 若命题，则；

C.中，是的充要条件；

D. 若向量满足，则与的夹角为钝角. 

5.右图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(     )

A.       B.          C.       D. 

6. (      )

A．         B.        C.          D.视的值而定  

7. 曲线在点（1，-1）处的切线方程为（   ）

A.        B.        C.        D. 

8．若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率是(     )

A．         B．       C．或      D．或    

9. 已知函数为偶函数，，其图象与直线的某两个交点的横坐标为，若||的最小值为，则（   ）

A.    B.    

C.        D.    

10. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，

则这个四棱锥的体积是（   ）

A.1           B. 2        C.3           D. 4

11．已知平面区域，

向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为（    ）

A．            B．             C．           D． 

12．已知函数

的最小值为（    ）

A．6          B．8              C．9             D．12

二．填空题(5×4=20分)

13．已知复数满足，则_____.

14．已知，，的夹角为60°，则      ．

15. 设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球的两个截面圆的半径分别为1和，二面角的平面角为，则球的表面积为    .

16．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中， ，则实数的取值范围是          ．

三．解答题(写出必要的文字说明和解答过程，共70分)

17．（本小题满分12分）

公差不为零的等差数列中，且成等比数列。

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的通项公式

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．

（1）求乙得分的分布列和数学期望；

（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．

19．（本小题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．

21.(本小题满分12分) 

设函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）令＜≤，其图像上任意一点P处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围。

选做题（在22、23、24三题中任选一题做答）

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲：

如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，求的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程：

以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲：

已知函数．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

山西大学附中2014年高三第一学期月考

数学试题（理）答案

一．选择题（5×12=60）

二．填空题（5×4=20）

三．解答题(共70分)

17．（本小题满分12分）

解:  (Ⅰ) ．                                              ……6分

    (Ⅱ)．                                         ……12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为，则的可能取值为．………………1分

      ；    ；

；    ．       ………………5分

乙得分的分布列如下：    

．            ………………7分

（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.

则，                       ………………9分

．                                  ………………11分

故甲乙两人至少有一人入选的概率． ……12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，，……………………2分

又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，

那么，根据题意，点落在上，

∴，易求得，…………4分

∴四边形是平行四边形，∴，∴平面…………6分

（Ⅱ）解法一：作，垂足为，连接，

∵⊥平面，∴，又，

∴平面，∴，∴就是二面角的平面角．…………9分

中，，，．

∴．即二面角的余弦值为.………12分

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为

则，可求得．………………9分

所以，

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为．……12分

20. （本小题满分12分）

（Ⅰ）由已知，又，解得，

所以椭圆的方程为；………………4分

(Ⅱ) 根据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，

联立，消去y得，

，令，解得．        ………………7分

设、两点的坐标分别为，

ⅰ）当为直角时，

则，

因为为直角，所以，即，

所以，

所以，解得．………………9分

ⅱ）当或为直角时，不妨设为直角，

此时，，所以，即……①

又…………②

将①代入②，消去得，

解得或（舍去），

将代入①，得所以，

经检验，所求k值均符合题意。                   ………………11分    

综上，k的值为和．                    ………………12分

22. （本小题满分10分）

解：（Ⅰ）∵,

∴∽,∴……………………2分

又∵,∴, ∴,

∴∽，  ∴，   ∴…………4分

又∵，∴．……………………5分

（Ⅱ）∵,    ∴，∵   ∴

由（1）可知：，解得.……………………7分

∴． ∵是⊙的切线，∴ 

∴，解得．……………………10分

23．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由，得

所以曲线C的直角坐标方程为.……………………5分

（Ⅱ）将直线的参数方程代入，得.

设、两点对应的参数分别为、，则， ，     

∴，

当时，的最小值为4. ……………………10分

24．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）原不等式等价于

或  

解得：.

即不等式的解集为．  ……………………5分

（Ⅱ）不等式等价于，

因为，所以的最小值为4，

于是即所以或．…10分