《极坐标系--简单曲线的极坐标方程》教案

【基础知识导学】

1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程叫做曲线C的极坐标方程。

1．直线与圆的极坐标方程

1过极点，与极轴成角的直线极坐标议程为

②以极点为圆心半径等于r的圆的

极坐标方程为 

【知识迷航指南】

例1求（1）过点平行于极轴的直线。

（2）过点且和极轴成角的直线。

解（1）如图，在直线l上任取一点，因为，所以|MH|=2

在直角三角形MOH中|MH|=|OM|sin即，所以过点平行于极轴的直线为。

（2）如图 ，设M为直线上一点。

， =3， 

由已知，所以，所以

又在∆MOA中，根据正弦定理得 

又将展开化简可得

所以过且和极轴成角的直线为：

〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数变换进行化简。

例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。（2）从极点O作圆C的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程。

解：（1）设为圆C上任意一点。圆C交极轴于另一点A。由已知 =8 在直角∆AOD中，即， 这就是圆C的方程。

（2）由。连接CM。因为M为弦ON的中点。所以，故M在以OC为直径的圆上。所以，动点M的轨迹方程是：。

〔点评〕 在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。在极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例2中（1）为直译法，（2）为定义法。此外（2）还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。

例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。

（1）  （2）  （3） （4）

解：（1）将代入得化简得

（2）∵  ∴   化简得： 

（3）∵  ∴。即所以  。

化简得  。

（4）由  即  所以  

〔点评〕  （1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。

          （2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定

 （3）由极坐标方程化为极坐标方程时，要注意等价性。如本例（2）中。由于

一般约定故表示射线。若将题目改为则方程化为： 

〔解题能力测试〕

1 判断点是否在曲线上。

2．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。

（1）；

（2）。

3．下列方程各表示什么曲线？

（1）：                       。

（2）：                       。

（3）：                       。

〔潜能强化训练〕

１　极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是（　　）

Ａ　２　　　Ｂ　　　　　　Ｃ　１　　　　Ｄ　

２　在极坐标系中，点关于的对称的点的坐标为 （ ）

A     

3在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程为（ ）

A    

4 极坐标方程  表示的曲线是 （ ）

A 余弦曲线 两条相交直线 一条射线 两条射线 

5 已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是：           。

6 圆的圆心坐标是：                   。

7 从原点O引直线交直线于点M，P为OM上一点，已知。

求P点的轨迹并将其化为极坐标方程。

〔知识要点归纳〕

1 直线，射线的极坐标方程。

2 圆的极坐标方程

三、简单曲线的极坐标方程

〔解题能力测试〕

1、在   2、（1）

3、（1）在直角坐标下，平行于X轴的直线。（2）在极坐标下，表示圆心在极点半径为a的圆。（3）在极坐标下，表示过极点倾斜角为α的射线。

〔潜能强化训练〕

1、D 2、D 3、A 4、D 5、

7、以O为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，直线方程化为，设又

代入得：