浅议逆向思维在中学数学解题中的应用

杨艳

蓼阳初级中学   甘肃·武山   741306

摘要：逆向思维是数学思维的一个重要组成部分，是进行思维训练的载体。加强从正向思维转向逆向思维的培养，能有效地提高学生思维能力和创新意识。本文以概念、公式逆用、逆定理等教学及习题中的逆向变式训练等方面阐述了如何加强学生数学逆向思维能力的培养。

关键词：思维、同向思维、逆向思维

思维是人们理性认识的一个过程。根据思维过程的指向性，可将思维分为：常规思维或正向思维（顺应思维）和逆向思维（反向分析思维），中学数学中的逆向思维、逆运算、否命题、反证法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性。在数学解题中，通常是从已知到结论的思维方式。而逆向思维是由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维。它是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个重要组成部分，也是进行思维训练的载体，培养学生逆向思维过程也是培养学生思维敏捷性的过程。

实践表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神。因此，加强逆向思维的训练，可改变其思维结构，培养思维灵活性、深刻性和双向能力，提高分析问题和解决问题的能力。迅速而自然地从正面思维转到逆向思维的能力，正是数学能力增强的一种标志。因此，在中学数学解题中务必加强逆向思维能力的培养与塑造。

那么，何谓正向思维？何谓逆向思维？

欲知逆向思维，必应先了解何为正向思维！

一、正向思维和逆向思维的概念

（一）正向思维：所谓正向思维，笼统地说，就是指思维在原先方向上的继续。它既包括同一层次上的“平行”发展，也包括由低层向更高层的“飞跃”。例如：由类比联想所导致的进展显然就可以说成一种“平行”发展；与此相比，归纳则应当说是代表了由较低层次向更高层次的“飞跃”。

首先，在数学解题中我们不仅可以应用类比去解决问题，而且可以利用类比去做出新的创造，即引出新的问题，做出新的猜想以及构造新的数学对象。

其次，以下几种类比在数学中是最特别重要的：

（1）平面与空间的类比，进而“低维空间”与“空间”的类比；

（2）数与形的类比；

（3）有限与无限的类比。

例1：由二次不等式出发，容易联想以下的三次不等式，四次不等式……

；

；

……

进而，以这种类比为基础，我们可归纳如下的一般不等式：

皆为非负实数。

另外，如果令

由上式就可以得出如下基本不等式：

这就是说，n个非负实数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

（二）逆向思维：所谓逆向思维，是指与原先思维相反方向上的思维。与同向思维一样，逆向思维在数学解题中也有着广泛的应用。

所谓逆向思维法，就是指人们为达到一定目标，从相反的角度来思考问题，从中引导启发思维的方法。

面临新事物，新问题的时候，我们应该学会从事物的不同方面，不同角度来分原研究新事物、解决新问题。我国古代有“曹冲称象”的故乡，曹冲没有按通常思维去考虑如何直接称象，而是反过来考虑大象的等重量物，即一堆石头如何称，这就是一个很好的逆向思维应用的例子。19世纪40年代，英国的物理学家焦耳（1818—18年）曾致力于研究不消耗能量的永动机，他用去了许多时间，但毫无结果，验证永动机是不可能制造出来的，从而发现了能量定恒和转换定律。

逆向思维就运算而言，主要为逆运算的研究；就逆命题的研究而言，逆向思维的基本功能就是可以借以发现原命题中的前提是否为相应结论的充要条件。这对于深入认识有关概念的本质特征并促进概念的精确化显然是有重要意义的。

例如：在证明（欧氏）平行公理的长期努力中，有不少数学家曾认为自己已经获得了成功，但后来却被发现往往是在证明中自觉或不自觉地引入了某种假设，而通过逆命题的分析又可发现这些假设中的大部分是与平行公理相等价的。由于这种研究澄清了原先的错误认识，从而也就加深了人们对平行公理（也即平行线概念）的理解。因此，逆向思维从另一侧面促进了认识的发展。

因此，加强逆向思维的训练，可改变其思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向能力，提高分析问题和解决问题的能力。迅速而自然地从正向思维转到逆向思维的能力，它正是数学解题能力增强的一种标志。而刚进入中学的学生，还不习惯反过来思考，倒过来想，即不善于逆向思维。因此，在数学解题中，应加强逆向思维训练。只要我们平时多注意公式、概念、定理、规律性例题的逆运用，常常会使问题得到简化，经常性地注意这方面的训练可以让学习者的思维得以灵敏。

二、逆向思维在定义、公式、定理等在数学解题中的应用

（一）数学定义的逆用

在数学解题中“定义法”是一种比较常见的方法，但定义的逆运用容易被学习者忽视，只要我们重视定义的逆运用，进行逆向思考，就会达到使问题解答简捷的目的。

例2：学习“相反数”概念时，我们不但要知道：“的相反数是”，还应知道“的相反数呢？”“和什么数互为相反数？”“互为相反数有何特征？”等问题，以帮助学习者理解相反数的概念。

又如，在学习“互余”概念时，我们应从两上方面去理解：如果，那么和互为余角；如果和互为余角，结果又如何呢？通过逆向思维的思考，我们立刻得出结论：“那么”。从而我们把握住了“互为余角”的实质：

（1）和“互为余角”，表示是的余角，也是的余角；

（2）互余的定义规定是“两个角”，而不是一个角，也不是两个以上的角；因此，像“是余角”；“互为余角”等说法都是错误的；

（3）“互为余角”是两个角是一种“数量关系”与两个角的位置无关。因此，准确地掌握概念是学好数学的首要环节。

例3：已知函数，求的值

分析：常见的方法是：先求反函数，然后再求的值，但只要我们利用反函数的定义，令，解出的值即为的值。

例4：如图1，已知在一个周期内的图象，求其解析式。

图1

分析：由已知易得周期，此题的难点是定，而且极易出错，只要我们逆用“五点法”的定义，则问题极易解决，由点为其一中心对称点(第三点)，其相为。即：，所以，最后定，所以。

（二）数学公式的逆用

数学中的许多公式，都可以用等式表示，等式具有双向性，既可以用左边的式子替换右边的式子，也可以用右边的式子替换左边的式子。

例5：学习了完全平方公式后，就要善于应用它的双向性的特点：

如：化简  

分析： 

因此，知道了后，还应知道，以此解决不同类型的相关题目。

例6：化简

分析：此题如果用和差公式再立方，则运算量太大，但我们只要联系与三次方有关的三倍角公式：

变形逆用三倍角公式，

所以

这样就可以使原式降次，然后用和差化积公式，就可以很快得出结果为：。

（三）数学定理的逆用

每个定理都有定义的逆命题，但逆命题不一定成立，经过证明后成立即为逆定理。逆命题是寻找新定理的重要途径。在平面几何中，许多的性质与判定都有逆定理。

如：平行线的性质与判定，线段的垂直平分线的性质与判定，平行四边形的性质与判定等，注意它的条件与结论的关系，加深对定理的理解与应用，重视逆定理的应用对开阔思维视野，活跃思维大有益处。

（四）分析法——执果索因

解决要证明结论成立，只需找出使结论成立的条件充分性即可。这种证明方法使用的较多，这也是逆向思维在数学解题中的主要应用。

例7：已知，且，求证： 

证明：因为，故要证明原式成立，只需证明：

即证： 

因为，所以成立

所以原不等式成立。

例8：已知正数成等差数列，求证：成等差数列。

分析：要证原结论成立，只需证即证

，又，所以上式成立，所以原结论成立。

（四）反证法

反证法就是把假设结论的反面成立，由此导出与题设、定义、公理、定理相矛盾的结论，从而推翻假设，肯定结论成立的证明方法，这种应用逆向思维的方法，可使很多问题处理起来相当简捷。

例9：已知都是小于1的正数，求证：中至少有一个不大于。

证明：假设都大于

因为，则有

故

同理有： 

三式相加得： 

即： 

这与明显矛盾

所以假设不成立。

故：原命题成立。

例10：如图2，，过分别在内作异于的直线，求证：是异面直线。

图2

证明：假设共面，记为，则。所以且不在上，所以过和点的平面有且只有一个，所以重合。同理证得：重合。所以重合与相交矛盾，所以是异面直线得证。

（五）结论代入与逆向排除法

在有些数学问题解答中，正面进行复杂，反面进行简单，只要逆向分析，进行排除，就能使问题得到简捷的解答，同时这也是解有些选择题的有效捷径解法。

例11：若函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数的取值范围是

A、    B、    C、    D、

分析：观察所给答案可得特殊值0与1，把0代入函数式稍加分析即可排除答案A、B，同理把1代入函数式即可排除C，故可得到答案D。

例10：若二次函数在区间内至少有一个点，使，求实数的取值范围。

分析：此题从反面分析,采取补集法则比较简单。

如果在内没有点满足，则

故取补集为

即为满足条件的的取值范围。

综上所述：在数学解题中，根据问题的特点，在应用常规数学思维的同时，注意逆向思维的运用，往往能使很多问题解答简化，对培养学生的数学思维，特别是培养学生思维的敏捷性，提高学生的数学应用能力具有相当重要的意义。

参考文献：

[1] 任樟辉，数学思维论[M]，广西教育出版社，1990年9月。

[2] 马忠林，数学方[M]，广西教育出版社，1996年12月。

[3] 毕恩材、朱秉林，数学教学艺术论[M]，广西教育出版社，1991年6月。

[4] 任樟辉，数学思维理论[M]，广西教育出版社，2001年1月。

[5] 课程教材研究所、数学课程教材研究开发中心，数学文化[M]，人民教育出版社，2003年9月。

Shallowly discusses the negative thinking in the middle school mathematics problem solving application

Yang yan

（Liaoyang Middle School. Wushan .Gansu 741306）

Abstract: The negative thinking is a mathematics thought important constituent, carries on the thought training the carrier. Strengthens from is changing the negative thinking to the thought the raise, can effectively sharpen the student thought ability and the innovative ideology. This article by the concept, the formula went against with, teaching and exercise and so on in converse theorem aspect and so on reversion variant training elaborated how strengthened the student mathematics negative thinking ability the raise.

Key word: The thought, with approaches the thought, the negative thin