2020-2021学年天津市滨海新区九年级(上)期中数学试卷

1.下列图形是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D. 

2.抛物线的顶点坐标是

A.  B.  C.  D. 

3.一元二次方程的根的情况为

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

4.方程的根为   

A. ， B. ，

C.  D. 

5.如图，的直径CD过弦EF的中点G，，则等于

A. 

B. 

C. 

D. 

6.将抛物线，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是

A.  B.  C.  D. 

7.如图是等腰直角三角形，BC是斜边，将绕点A逆时针旋转后，能与重合，已知，则的长度是

A. 3 B.  C.  D. 4

8.关于x一元二次方程的一个根为1，则

A. 4 B. 0或2 C. 1 D. 

9.抛物线对称轴为的图象如图所示，下列四个判断中正确的是

A. ，，

B. 

C. 

D. 

10.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛双循环赛，共要比赛30场，求有多少个队参加比赛？如果设有x个队参加比赛，则可列方程为

A.  B.  C.  D. 

11.如图，在半径为3的中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点若E是BD的中点，则AC的长是

A. 

B. 

C. 

D. 

12.若二次函数的图象的对称轴是经过点的一条直线，则a的值为

A.  B. 2 C. 4 D. 12

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.已知方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______．

14.把方程化为一元二次方程的一般形式为______ ．

15.如图，若AB是的直径，CD是的弦，，则的度数为______ ．

17.如图，点A的坐标为，点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限，轴，且若抛物线经过A，B，C三点，则此抛物线的解析式为______．

19.解方程：

．

20.已知抛物线与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为，抛物线的对称轴为直线，求线段AB的长．

21.在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，得，点A、O旋转后的对应点为、，记旋转角为．

如图1，若，求的长；

如图2，若，求点的坐标．

22.已知：如图，AB为的直径，于E，，连接BC，求证：．

如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；

如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．

某单位共付给该旅行社旅游费用27000元，问：该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

24.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点，点，点以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．

如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；

如图，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．

求证≌；

求点H的坐标．

记K为矩形AOBC对角线的交点，S为的面积，求S的取值范围直接写出结果即可．

25.二次函数的对称轴为，最小值为，且过，求此函数的解析式．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：C．

根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．

此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2.【答案】C

【解析】

【分析】

考查二次函数的性质及将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是．

已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．

【解答】

解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，

故选：C．

3.【答案】B

【解析】解：，

所以方程有两个不相等实数根．

故选：B．

根据判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法本题运用的是因式分解法先移项，使方程右边为0，再提公因式，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为”进行求解 

【解答】

解：原方程可化为：，

即，

解得．

故选B．

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了垂径定理、圆心角与圆周角的关系，解题关键点是熟练掌握这些性质．

欲求，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．

【解答】

解：的直径CD过弦EF的中点G，

垂径定理，

等弧所对的圆周角是圆心角的一半，

．

故选D．

6.【答案】D

【解析】解：将抛物线向上平移2个单位再向右平移1个单位后所得抛物线解析式为，

所以平移后的抛物线的顶点为．

故选：D．

直接根据平移规律作答即可．

主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．

7.【答案】B

【解析】解：是由绕点A逆时针旋转后得到的，

，．

，

，

故可得出是等腰直角三角形，

又，

．

故选B．

根据旋转的性质，即可得出等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．

此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰直角三角形的性质，难度不大．

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是得出关于p的一元二次方程．

把1代入可得关于p的一元二次方程，求解即可．

【解答】

解：把1代入方程，得

，

化简得，即，

解得．

故选C．

9.【答案】C

【解析】解：由图象可知：，，

对称轴可知：，

，故A错误；

由抛物线与x轴有两个交点可知：，故B错误；

由题意可知：，

，故C正确；

当时，，

，故D错误；

故选：C．

根据二次函数的图象与性质即可求出答案．

本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．设有x个队参赛，根据参加一次排球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，可列出方程．

【解答】

解：设有x个代表队参加比赛，则可列方程

．

故选B．

11.【答案】D

【解析】

【分析】

连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出，，进而证得，根据三角形中位线定理求得，从而求得，利用勾股定理即可求得AC．

本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．

【解答】

解：连接OD，交AC于F，

是的中点，

，，

，

，，

，

是直径，

，

在和中

≌，

，

，

，

，

，

在中，，

，

故选D．

12.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数的性质，熟练运用二次函数对称轴的性质是解题的关键．

首先根据题意确定对称轴，然后根据对称轴方程直接求出a的值．

【解答】

解：由题意可得，对称轴，

对称轴是经过点的一条直线，

，

．

故选B．

13.【答案】

【解析】解：是关于x的一元二次方程，

，，

解得：，

故答案为：．

根据一元二次方程的定义得出，，求出即可．

本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．

14.【答案】

【解析】

【分析】

此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．把方程化为形式即可．

【解答】

解：，

，

，

．

故答案为．

15.【答案】

【解析】解：连结AD，如图，

是的直径，

，

，

，

．

故答案为．

连结AD，由AB是的直径得到，再根据互余计算出的度数，然后根据圆周角定理即可得到的度数．

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．

16.【答案】2

【解析】

【分析】

本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴是即可求解b即可．

【解答】

解：抛物线经过和两点，

可知函数的对称轴，

对称轴，

；

故答案为2．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，求得C点的坐标是解题的关键．

根据题意求得，则，根据勾股定理求得OC，得到C的坐标，然后根据待定系数法即可求得．

【解答】

解：点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限，轴，且抛物线经过A，B，C三点，

对称轴为直线，B、C关于直线对称，

点的横坐标为2，

，

，

，

点A的坐标为，

，

，

，

把和代入抛物线中得，

解得，

此抛物线的解析式为，

故答案为．

18.【答案】15

【解析】

【分析】

本题主要考查的是旋转的性质，直角三角形的性质、三角形的三边关系，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．连接首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出，然后再依据三角形的三边关系可得到，故此可得到PM的最大值为．

【解答】

解：如图，

连接PC，在中，

，，

，

根据旋转不变形可知：，

，

，

，

，即，

最大值为15．

故答案为15．

19.【答案】解：

，

，

或，

解得，，；

，

，

解得，，．

【解析】【试题解析】

本题考查解一元二次方程因式分解法、配方法，解题的关键是会用因式分解法和配方法解方程．

先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程；

根据配方法可以解答此方程．

20.【答案】解：抛物线与x轴交于A、B两点，

点A和点B关于直线对称，

而，

点坐标为，

线段AB的长．

【解析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标，也考查了二次函数的性质．

利用抛物线的对称性得到B点坐标为，然后利用两点的距离公式计算线段AB的长．

21.【答案】解：点，点，

，．

在中，由勾股定理得．

根据题意，是绕点B逆时针旋转得到的，

由旋转是性质可得：，，

．

如图，根据题意，由旋转是性质可得：，

过点作轴，垂足为C，

则．

在中，由，．

．

由勾股定理，

．

点的坐标为

【解析】本题主要考查旋转的性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

根据勾股定理得，由旋转性质可得，继而得出；

轴，由旋转是性质可得：，，在中，由得BC、的长，继而得出答案．

22.【答案】证明：如图所示：延长CE交于点G．

为的直径，于E，

，

，

，

，

，

又，

，

即．

【解析】本题考查了垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，同弧所对的圆周角相等，平行线的性质以及等腰三角形的性质．解题关键是作出适当的辅助线结合垂径定理．解题时，延长CE交于点G，根据垂径定理得弧BC的长度等于弧BG的长度，进而可知，进而得出，由平行线的性质得，运用圆周角定理的推论得出，即可证明．

23.【答案】解：，

去的人一定超过25人，

设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游，

，

解之得：，，

当时，人均费用为900元．

当时，人均费用为600元，因为低于700元，这种情况舍去．

所以．

答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游．

【解析】

【分析】

设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游，根据每增加1人，人均旅游费用降低20元，且共支付给旅行社旅游费用27000元，可列出方程求解，根据人均旅游费用不得低于700元，判断解是否合理．

本题考查了一元二次方程的应用，重点考查理解题意的能力，关键是以支付给旅行社的费用作为等量关系列方程求解．

24.【答案】；详见解析；；．

【解析】

【分析】

如图，在中求出CD即可解决问题；

根据HL证明即可；

，设，则，在中，根据，构建方程求出m即可解决问题；

如图中，当点D在线段BK上时，的面积最小，当点D在BA的延长线上时，的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；

【详解】

如图中，

，，

，，

四边形AOBC是矩形，

，，，

矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，

，

在中，，

，

．

如图中，

由四边形ADEF是矩形，得到，

点D在线段BE上，

，

由可知，，又，，

≌．

如图中，由≌，得到，

又在矩形AOBC中，，

，

，

，设，则，

在中，，

，

，

，

．

如图中，当点D在线段BK上时，的面积最小，最小值，

当点D在BA的延长线上时，的面积最大，最大面积．

综上所述，．

【点睛】

本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．

25.【答案】解：二次函数的对称轴为，最小值为，

此二次函数的顶点坐标为：，

此二次函数为：，

过，

，

解得：，

此二次函数的解析式为：．

【解析】由二次函数的对称轴为，最小值为，可得此二次函数的顶点坐标，然后利用顶点式求解即可．

此题考查了待定系数法求函数的解析式．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用．