备战2022年浙江高考数学真题模拟题导数综合题分类汇编解析版

导数综合题

1．（2021•浙江）设，为实数，且，函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；

（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．

（注是自然对数的底数）

【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ），；（Ⅲ）见解析

【详解】（Ⅰ），

①当时，由于，则，故，此时在上单调递增；

②当时，令，解得，令，解得，

此时在单调递减，在单调递增；

综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

（Ⅱ）注意到时，，当时，，

由（Ⅰ）知，要使函数有两个不同的零点，只需即可，

对任意均成立，

令，则，即，即，即，

对任意均成立，

记，则，

令（b），得，

①当，即时，易知（b）在，单调递增，在单调递减，

此时（b），不合题意；

②当，即时，易知（b）在，单调递减，

此时，

故只需，即，则，即；

综上，实数的取值范围为，；

（Ⅲ）证明：当时，，，令，解得，

易知，

有两个零点，不妨设为，，且，

由，可得，

要证，只需证，只需证，

而，则，

要证，只需证，只需证，

而，

，即得证．

2．（2020•浙江）已知，函数，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；

（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：

（ⅰ）；

（ⅱ）．

【答案】见解析

【详解】（Ⅰ），恒成立，

在上单调递增，

，（2），又，

函数在上有唯一零点．

（Ⅱ），，

，，

令，，，

一方面，，，

，在单调递增，

，

，，

另一方面，，，

当时，成立，

只需证明当时，，

，，，

当时，，当时，，

，（1），，（1），

，在单调递减，

，，

综上，，

．

要证明，只需证，

由得只需证，

，只需证，

只需证，即证，

，，

，

．

3．（2019•浙江）已知实数，设函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．

注：为自然对数的底数．

【答案】（Ⅰ）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ），

【详解】（1）当时，，，

，

函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）由（1），得，

当时，，等价于，

令，则，

设，，

则，

当，时，，

则，

记，，

则

，

列表讨论：

．

当时，，

令，，，

则，

故在，上单调递增，，

由得（1），

，，

由知对任意，，，，，

即对任意，，均有，

综上所述，所求的的取值范围是，．

4．（2021•浙江模拟）已知函数，．

（1）求的单调区间；

（2）若函数，，是函数的两个零点，是函数的导函数，证明：．

【答案】（1）在上单调递增，在，上单调递减；（2）见解析

【详解】（1）函数的定义域为，

，

①当时，，，

则在上单调递增；

②当时，时，，

，时，，

则在上单调递增，在，上单调递减；

（2）由，是函数的两个零点，

得，，

两式相减得，

，

，

故要证明，

只需证明，，

即证明，即证明，

令，则，

则，，

故在递减，（1），

故在递增，（1），

故成立，即．

5．（2021•浙江模拟）已知函数．

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）有两个极小值点，，求实数的取值范围，并证明．

【答案】（1）在上单调递减，上单调递增；（2）

【详解】（1），当时，

设，，所以在上单调递增，上单调递减，

则（1），即当时，

故，当时，，当时，．

所以在上单调递减，上单调递增．

（2）由（1）知，当时，在上单调递减，上单调递增，只有一个极小值．

当时，因为当时，恒成立，在上单调递增，上单调递减，只有一个极大值，无极小值．

当时，由的图象，知存在，，使得，即．

当时，，，所以，在单调递减；

当时，，，所以，在单调递增；

当时，，，所以，在单调递减；

当时，，，所以，在单调递增；

所以，为的极小值点，，为极小值．

由，由，即，两边取对数，，．

所以，同理得

故，又，所以，所以．

即．故的取值范围为．

6．（2021•永州模拟）已知函数．

（1）若有两个零点，求的取值范围；

（2）设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

【详解】（1）令，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

当时，；当时，；当时，，

所以当，即，有两个零点，

有两个零点时，的范围是．

（2）对任意的，不等式恒成立，

在上恒成立，

令，则，

令，则，

在上为增函数，

又（1），，

，使得，即，

时，，即，在上单调递减；

时，，即，在，上单调递增，

，

由，可得，

令，则，

又，

在上单调递增，

，则，，

，

，

，

综上所述，满足条件的的取值范围是．

7．（2021•浙江模拟）已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，求证：．

【答案】（1）函数的单调递减区间为，无单调递增区间（2）见解析

【详解】（1）函数的定义域为，

当时，，则，

记，则，

显然在上单调递减，且（1），

所以当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以（1），即恒成立，

所以函数在上单调递减，

所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间．

（2）证明：要证，只需证，

①当时，，不等式显然成立，

②当时，，，由可得，，

于是原问题可转化为求证，即证，

令，则，

令，则，

易知在上单调递增，

又，

所以存在使得，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

又（1），（2），

故当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以当时，（2），即，

综上，．

8．已知函数，其中是自然对数的底数．

（1）判断的单调性；

（2）令，记为函数的零点，求证：；

（3）令，，若对于，，恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）在上单调递增（2）见解析（3），

【详解】（1）函数的定义域为，，令，则只需讨论的正负性即可，

而，故在上单调递增，

，

在上恒成立，

在上单调递增；

（2）证明：依题意，，则在上单调递增；

又（1），，，，

，即得证；

（3）依题意，，则当时，恒成立，

而，故在上单调递增，且当时，，

又，故可得，故只需求，

当时，，解得，

令，则，

令，而，故，单调递增，

只需求（1），解得，

综上所述，实数的取值范围为，．

9．（2021•浙江模拟）已知，，，为自然对数的底数，．

（Ⅰ）当时，若函数与直线相切于点，求，的值；

（Ⅱ）当时，若对任意的正实数，有且只有一个极值点，求负实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），

【详解】（Ⅰ）当时，，则，

依题意，，解得；

（Ⅱ）当时，，则，

令，则，

令，则，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

（2），

①当时，，在上单调递增，即在上单调递增，

在上有唯一解，此时有且只有一个极值点；

②当时，此时有两个不等实数根，，

由于，则，则在，，单调递增，在，单调递减，

要使只有一个变号零点，只需或，

先考虑，，

令，则，

易知在单调递增，故（2），

要使恒成立，只需（2），即；

再考虑，，由于在单调递减，

同理可得，不可能恒成立．

综上，的取值范围为，．

10．（2021•镇海区校级模拟）已知函数，，．

（1）若直线是曲线的切线，求的最小值；

（2）设，若函数有两个极值点与，且，证明．

【答案】（1）（2）见解析

【详解】（1）设切点，，，

因为切线为，

故，

所以．

又因为，

所以，

所以，

所以，

记，，对恒成立，

所以，

所以的最小值为．

（2）证明：因为函数有两个极值点与，且，

所以的两个根，，

所以，

故，

令，

则，

构造函数，，

所以单调递增，

所以（1），

所以，

所以．

11．（2021•诸暨市模拟）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）已知函数．

①若在处取得极小值，求实数的取值范围；

②若的一个极值点为，且，求的最大值．

【答案】（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增（2）见解析

【详解】（1），

若，则，在上单调递增，

若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，

综上所述，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）①，且（1）（1），由（1）得：

（ⅰ），在上单调递增，

所以时，（1），递减，

时，（1），递增，

所以（1）为的极小值，满足条件．

（ⅱ）当时，在上单调递减，在上单调递增，

当时，在上，（1），递减，

在上，（1），递增，

所以（1）为的极小值，满足条件，

当时，在上，（1），递增，不满足条件．

综上所述：．

所以的取值范围为．

②，

所以，

设，

设，

所以，

又因为在，上没有实根，

所以存在唯一一个，使得

所以时，递增，

，时，递减，

又（1），（e），

所以时，，单调递增，

所以时，，单调递减，

所以，即的最大值为．

12．（2021•嘉兴模拟）定义：函数，的定义域的交集为，，若对任意的，都存在，，使得，，成等比数列，，，成等差数列，那么我们称，为一对“函数”．已知函数，，．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若，，对任意的，，为一对“函数”，求证：，．为自然对数的底数）

【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

【详解】（Ⅰ），

令，解得，令，解得，

的单调递减区间为，单调递增区间为；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，

要证，只需证，即证，

设，则，

易知（a）在单调递减，在单调递增，

，即得证；

（Ⅲ）证明：，

由（Ⅱ）知，，即，

，

令，则，

令，则，

易知（a）在单调递增，在，单调递减，

又（1），，，

由零点存在性定理可得，，

下证，当时，原不等式成立，

令，则，

在，单调递增，则（1）成立，

综上，，即，．

13．（2021•浙江模拟）已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若任意，总有成立，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增（Ⅱ），

【详解】（Ⅰ）的定义域是，，

①当，即时，在上恒成立，

则在上单调递增；

②当，即时，令，得，

令，得，

则在上单调递减，在上单调递增；

综上：时，在上单调递增；

时，在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）对一切，，

即在上恒成立，

设，则，

易知在上单调递增，且当时，，

当时，，所以存在唯一零点，

令，则

且在上单调递减，在，上单调递增，

，

即有，设，

令，

则单调递增，又（1），故，得，

增函数其值域为，，

即的取值范围为，，

故的取值范围是，．

14．（2021•温州三模）已知函数．

（1）当，时，恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，对任意的，恒成立，求整数的最小值．

【答案】（1），（2）1

【详解】（1）依题意，对任意，均成立，即对任意，均成立，

令，则，，

易知当时，，当时，，

在单调递减，在单调递增，

，

在上单调递增，

又，

当时，恒成立，即恒成立，

，即实数的取值范围为，；

（2）由（1）知，当，时，恒成立，即恒成立，当，时，恒成立，

而为上的奇函数，

所以要使当时，对任意的，恒成立，

只需当时，对任意的，，恒成立即可，

即当时，对任意的，，恒成立即可，

若，则可取，此时始终有，不合题意，故，

若当时满足题意，即对，都有成立，

①当时，显然成立；

②当时，，符合题意；

③当时，，符合题意．

综上，整数的最小值为1．

15．（2021•鹿城区校级四模）已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若函数在，处导数相等，证明：；

（Ⅲ）若对任意的实数，若直线上与曲线均有唯一公共点，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）在递增（Ⅱ）见解析（Ⅲ），

【详解】的定义域是，

（Ⅰ），

故在递增；

（Ⅱ）证明：，

令，得，

由韦达定理得，

即，得，

，

令，则，令，

则，得（4），

（Ⅲ）由得，

令，

则，，，，

下面先证明恒成立，

若存在，使得，则，，

且当自变量充分大时，，

所以存在，，，使得，，

取，，则与至少有两个交点，矛盾，

由对任意，只有一个解，得为上的递增函数，

，

得，令，

则，

得（2），

即的取值范围是，．

16．（2021•浙江模拟）已知函数，．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）证明：．

【答案】（Ⅰ）在上单调递减（Ⅱ）见解析

【详解】（Ⅰ）由于，

故在上单调递减．

（Ⅱ）证明：当时，．

由（Ⅰ）知在上单调递减．

注意到（1），则当时，恒有．

取，有，即，

又，

因此

．

17．（2021•金华模拟）设，，已知函数在点，处的切线方程为．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）证明：当时，．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）见解析

【详解】（Ⅰ）的导数为，

可得，

由切线方程为，可得，可得，

由，可得，

所以，；

（Ⅱ）证明：，

即证当时，．

先证：．

因为，即，得证．

再证：，

因为，

令，则，

当时，，递增，所以，得证．

由．即有，

可得时，，

所以当时，；

当时，．

综上可得，原不等式得证．

18．（2021•浙江模拟）已知，函数．

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）记，（其中为在上的两个零点，证明：．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【详解】（Ⅰ），

当时，，在上递增，

又，故符合题意，

当时，在递减，在递增，

，故，

又，

，解得：，

当时，，在上单调递增，

当时，，，

，不符合题意，

综上：．

（2）证明：令，则且，

记且，由于，

故在和上递减，在上递增，

且当时，，当时，，当时，，当时，，

根据题意可知，，且，

先证，即证，即证，显然成立；

再证，

，，

只需证，

，

，

只需证，即证，

又，

只需证，亦即，即，

由知，，

，故，即得证．

19．（2021•浙江模拟）已知函数既有极大值，又有极小值．

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）记为函数的极小值点，实数且，证明：．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【详解】（Ⅰ）①当时，单调递增，不存在2个零点，故舍去；

②当时，令，则，

所以在单调递增，在单调递减，

所以，解得．

下证，当时，函数既有极大值，又有极小值．

由得，存在使，

由得，存在使，

故；

证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数在，，单调递减，在，单调递增，

故要证即证，即．

因为，所以只要证．

因为得，令，即证当时，．

设，因为，

所以在，上单调递增，故（1），

因此在，上单调递增，故当时，（1）．

综上，．

20．（2021•浙江模拟）已知函数．

（Ⅰ）若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若存在实数，，使得对于任意的恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）在递减，在，递增，在递减（Ⅱ），

【详解】（Ⅰ）函数的定义域是，

，

当时，令，解得：，令，解得：或，

故在递减，在，递增，在递减；

（Ⅱ），即，

即存在，，使得，

故对于任意恒成立，

即，令，

即对任意恒成立，

，

设，，

当时，，

在单调递增，又，（1），

故存在唯一，使得，

当，时，，则，减函数，

故（1），不符合题意，

故，

下面证明当时，恒成立，

，故，

即在，上单调递减，（1），

综上：的取值范围是，．

21．（2021•浙江模拟）已知函数，其中是自然对数的底数．

（Ⅰ）若曲线与直线有交点，求的最小值；

（Ⅱ）（ⅰ）设，问：是否存在最大整数，使得对任意正数都有（1）（1）成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（ⅱ）若曲线与直线有两个不同的交点，，求证：．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，

，

设，则，

因为，所以，

所以在上单调递增，所以，

所以，可得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又因为（1），

且曲线与直线有交点，

所以（1），所以的最小值为．

（Ⅱ）（ⅰ）设（1）（1），

所以（1），

又，

由于（1），所以是的极小值点，

所以在时由负变正的零点，

设，则（1），所以，

又，所以，

当时，，，

令，解得，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

所以，

故令，得，

所以在上单调递增，在上单调递增，

所以（1），

所以存在，且．

（ⅱ）证明：设，两点坐标为，，，，且，

设满足：

（1）（1）（1）（1），

由①可知，，，

所以，

因为，是方程，

即，

有，，

所以，

所以．

22．（2021•绍兴二模）已知函数（其中，为自然对数的底数）．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数的极小值点为，极大值点为，证明：当时，．

【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为，，，，单调递增区间为（Ⅱ）见解析

【详解】（Ⅰ）解：由已知得，

，

令，解得，令，解得或，

所以的单调递减区间为，，，，单调递增区间为．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，，即，

设，

则，

当时，因为，

所以，

设，则，

当时，因为，

所以，所以为减函数，所以（1），

所以，在上为减函数，

所以（1），

所以当时，．

23．（2021•宁波二模）已知，设函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）当时，在上单调递增；

当时，在单调递减；

当时，在上单调递减，在，上单调递增；

（Ⅱ），

【详解】（Ⅰ），且．

①当时，，在上单调递增；

②当时，，在单调递减；

③当时，，时，，单调递减，

，时，，单调递增．

综上，当时，在上单调递增；

当时，在单调递减；

当时，在上单调递减，在，上单调递增；

（Ⅱ）设，，．

若，则由图象的连续性知，必存在区间，使得，与题意矛盾；

则，．

，，则单调递增，

①若，，恒成立，

，符合；

②若，，时，，且单调递增，

则存在唯一，，

且时，，单调递减，

，时，，单调递增，

．

由，可得，且，

，

时符合．

综上，，．

24．（2021•浙江二模）已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的图象在，（e）处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．（其中为自然对数的底数）

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【详解】（Ⅰ）当时，，所以（e），

此时，

可得切线的斜率为（e），

所以所求切线方程为，即；

（Ⅱ）由题意得对对任意恒成立．

令，得，

设，

，

设，则，

所以在递减，故．

①当时，，所以在单调递增，（1），

所以满足题意；

②当时，存在使得，

即，且在单调递减，在，单调递增，

所以，

所以，即，解得，

即，由在递减，

可知，

综上所述，可得．

25．（2021•杭州二模）已知函数，．

（1）当时，求证：对任意，；

（2）若函数图象上不同两点，到轴的距离相等，设图象在点，处切线交点为，求证：对任意，点在第二象限．

【答案】见解析

【详解】证明：（1）根据题意，对任意，恒成立，即证明恒成立，即证恒成立，

当时，，，

令，则有

，即得函数在上单调递增，

，即得

（2）的定义域为，

，即得当时，，则函数在上单调递增，

设点，，，，则有，

，

，

此时假设，则，

由此可得

图象在点，处的切线方程可分别表示为：

联立可得，交点的坐标即为

令，则有，即得恒成立，；

由此可得，点在第二象限．

26．（2021•嘉兴二模）已知函数为自然对数的底数）．

（Ⅰ）当时，求曲线在点，（2）处的切线的斜率；

（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，且．若，为函数的两个零点，且的导函数为，求证：．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【详解】（Ⅰ）解：当时，，，

所以曲线在点，（2）处的切线的斜率（2）．

（Ⅱ）解：由定义域可知，，所以恒成立，

，，所以在上单调递增，

又因为时，，当时，，

故存在唯一实数使，则，也即，

在上，，函数单调递减，

在，上，，函数单调递增，

因此

，

解得，

即实数的取值范围是．

（Ⅲ）证明“由题意可得，且①，②，

由①②得，

由，得③，

不防令，并设，

则，代入③可得，

要证，只需证明即可，即证明，

令，，

因为函数，在上恒成立，

所以在上单调递减，

所以，

所以，所以，

则在单调递减，

则，即，得证．

27．（2021•浙江模拟）函数．

（1）求的单调区间；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）的递增区间是，，

递减区间是，；（2），

【详解】（1）由题意得，

令，解得：，

故，

的递增区间是，，

令，解得：，

的递减区间是，，

综上：的递增区间是，，

递减区间是，；

（2）由恒成立，

得，

构造函数，

则，

设，则，

当，时，，，所以，

所以即在，上单调递增，则，

若，则，所以在，上单调递增，

所以恒成立，符合题意，

若，则，必存在正实数，

满足：当时，，单调递减，

此时，不符合题意，

综上所述，的取值范围是，．

28．（2021•浙江模拟）已知，设函数，．

（Ⅰ）试讨论的单调性；

（Ⅱ）设函数，是否存在实数，使得存在两个极值点，，且满足？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

注：．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ），

【详解】（Ⅰ）的定义域是，，

若，则，则在递增，在，，

若，则在递增，在，递减，在，递增，

若，则在递增，

若，则在递增，在，递减，在，递增；

（Ⅱ），

，若有2个极值点，

则有2个解，，

则，，且△，，，

故，

则，

令，则，

，

若，

则，即，

令，（3），（1），

，（1），（3），

，

故在递增，在，递减，

又（1），（3），

则在区间，内存在使得，

函数在递增，在，递减，

由（3），（1），故时满足，

，

故，，

即实数的范围是，．

29．（2021•浙江高考模拟）设函数，其中．

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）若，

（ⅰ）证明恰有两个零点；

（ⅱ）设为的极值点，为的零点，且，证明：．

【答案】（Ⅰ）在上单调递增（Ⅱ）见解析

【详解】解：，．

时，，

函数在上单调递增．

证明：由可知：，．

令，，可知：在上单调递减，又（1）．

且，

存在唯一解．

即函数在上单调递增，在，单调递减．

是函数的唯一极值点．

令，，，

可得（1），时，．

．

（1）．

函数在，上存在唯一零点．

又函数在上有唯一零点1．

因此函数恰有两个零点；

由题意可得：，，即，，

，即，

，可得．

又，

故，

取对数可得：，

化为：．

30．（2021•浙江模拟）已知函数

（1）讨论函数在其定义域内的单调性；

（2）若对任意的恒成立，设，证明：在上存在唯一的极大值点，且．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【详解】（1）由题意，定义域为，，，

，

令，则，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

，即在和上均大于零，

在上单调递增，在上单调递增．

（2）易知，

由对任意的恒成立，且，则，

，

此时，

令，则，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

存在唯一实数，使得，

在上递增，在上递减，上递增

在上存在唯一的极大值点，即为，

．