圆锥曲线： 定点问题

例1．已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程。

（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。

（3）试利用所学圆锥曲线知识参照（2）设计一个与直线过定点有关的数学问题，并解答所提问题。

（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线＋2＝0的距离相等。          

由抛物线定义得：点在以为焦点直线＋2＝0为准线的抛物线上，      

抛物线方程为。                            

解法（B）：设动点，则。当时，，化简得：，显然，而，此时曲线不存在。当时，，化简得：。

（2），

，

，               ----(1分)

，

，即，，           ----(2分)

直线为，所以                      ----(1分)

由（a）（b）得：直线恒过定点。                       

解答方案一：

（逆命题）如果直线，且与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点。求证：OA⊥OB    （若，求证：·=0，得分相同）

解答方案二：

（简单推广命题）如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点（2p，0）

或：它的逆命题

解答方案三：类比椭圆顶点：

（1）如果直线与椭圆相交于、两点，是其右顶点，当时，求证：直线过定点

例2．如果直线与椭圆相交于、两点，是其右顶点，当时，

求证：直线过定点

（2）如果直线与椭圆相交于、两点，是其左顶点，当时，求证：直线过定点

（3）如果直线与椭圆相交于、两点，是其上顶点，当时，求证：直线过定点

（4）如果直线与椭圆相交于、两点，是其下顶点，当时，求证：直线过定点

解答方案四：类比椭圆上面四个定理的逆定理：

（1）如果直线与椭圆相交于、两点，是其右顶点，当直线过定点时，求证： 

解答方案五：类比双曲线顶点：

（1）如果直线与双曲线相交于、两点，是其右顶点，当时，求证：直线过定点

（2）如果直线与双曲线相交于、两点，是其左顶点，当时，求证：直线过定点

（3）或它的逆命题

例3．如果直线与双曲线相交于、两点，是其左顶点，当时，求证：直线过定点

解答方案六：（再推广）直角顶点在圆锥曲线上运动

如果直线与抛物线相交于、两点，是抛物线上一定点，当时，求证：直线过定点

例4．如果直线与相交于、两点，是抛物线上一定点，当时，求证：直线过定点