一、比例
1．第四比例项、比例中项、比例线段；
2．比例性质：
（1）基本性质：
（2）合比定理：
（3）等比定理：
3．黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．
结论：PA= AB．
4．平行线分线段成比例定理：
5．相似三角形：
（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形．
（2）判定方法．
（3）直角三角形判定方法．
6．相似三角形性质．
（1）对应角相等，对应边成比例；
（2）对应线段之比等于 ；
（3）周长之比等于 ；
（4）面积之比等于 ．
7．相似三角形中的基本图形．
（1）平行型：（A型，X型）
（2）交错型：
（3）旋转型： （4）母子三角形：
二、例题解析：
1．如果，，，则，，的第四比例项是 ．
如果，，则与的比例中项是 ．
2．已知，，则 ．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=2，EC=1，则AC= ．
4．如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，若S△AEF=6，则S△CDF= ．
5．如图，△ABC中，DE∥BD，AD∶DB=2∶3，则S△ADE∶S△ECB= ．
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于D．
（1）若AC=4，BC=3，则AD= ，BD= ，CD= ；
（2）若AB∶BC=1∶9，则AD∶BD= ．
7．如图，平行四边形ABCD中，BC=18cm，P、Q是三等分点，DF延长线交BC于E，EQ延长线交AD于F，则AF=_______．
8．如图，在△ABC中，AB>AC，边AB上取一点D，边AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P．
求证：BP∶CP=BC∶CE．
9．如图，CD是Rt△ABC的斜边，AD是高线，∠BAC的平分线交BC，CD于E，F．
求证：（1）△ACF∽△ABE；
（2）AC·AE= AF·AB．
10．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAC=30°，求AE的长；
（3）在（1），（2）条件下，若AD=3，求BF的长．
11．如图，Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到点B，C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=，AE=，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
自我训练：
一、判断题：
1．两个等边三角形一定相似（ ）
2．两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为1∶2（ ）
3．两个等腰三角形一定相似（ ）
4．若一个三角形的两个角分别是400、1000，而另一个三角形是顶角为1000的等腰三角形，则这两个三角形相似（ ）
二、填空题：
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，若AC＝5cm ，CD＝4cm ，则AD＝ cm ，AB＝ cm ．
2．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F，若AB＝7cm，CF＝3cm，则AD∶CE＝ ．
3．如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，则AB的长为 ．
4．CM是△ABC的中线，AB＝12，AC＝9，AC上有一点N，且∠ANM＝∠B，则CN＝ ．
5．梯形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O作EF平行于底，与腰AD、BC相交于E、F，若DC＝14，OF＝8，AE＝12，则DE＝ ．
6．如图，正方形ABCD的面积为144cm2，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为112.5cm2，则BE的长为 cm．
三、选择题：
1．已知，则的值为（ ）
（A）（B） （C） （D）
2．如图，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE=∠C，则AD：AC=（ ）
（A）AE：AC （B）DE：BC （C）AE：BC （D）DE：AB
3．D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，如果，AE=15，那么EC的长是（ ）
（A） 10 （B） 22. 5 （C） 25 （D） 6
4．如图，△ABC中，DE∥BC，，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．如图，DE是三角形ABC的中位线，△ADE的面积为3cm2，则梯形DBCE的面积为（ ）
A、6cm2 B、9cm2 C、12cm2 D、24cm2
6．如图，E是平行四边形ABCD的边AD上的点，AE＝ED，BE交AC于F，则＝（ ）
A、 B、 C、 D、
7．如图，△ABC中，D是AB上的点，不能判定△ACD∽△ABC的是以下条件中的（ ）
A、∠ACD＝∠B B、∠ADC＝∠ACB C、AC2＝AD·AB D、AD∶AC＝CD∶BC
8．如图FD∥BC，FB∥AC，，则＝（ ）
A、 B、 C、 D、
9．梯形ABCD的两腰AD和BC延长相交于点E，若两底的长度分别为12和8，梯形ABCD的面积等于90，则△DCE的面积为（ ）
A、50 B、 C、72 D、50
10．如图，已知△ABC的面积为4 cm2，它的三条中位线组成△DEF，△DEF的三条中位线组成△MNP，则△MNP的面积等于（ ）
A、cm2 B、cm2 C、cm2 D、1cm2
11．如图，E是AC的中点，C是BD的中点，则＝（ ）
A、 B、 C、 D、
12．如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于点O，若AC＝12，则AO＝（ ）
A、4 B、3 C、2.4 D、2
13．如图，E是矩形ABCD的边CD上的点，BE交AC于点O，已知△COE与△BOC的面积分别为2和8，则四边形AOED的面积为（ ）
A、16 B、32 C、38 D、40
14．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E为对角线AC的中点，直线BE交AD于点F，则AF∶FD的值等于（ ）
A、2 B、 C、 D、1
15．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB，AC于E，F．
求证：．
16．如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，当这座大楼的地基面积最大时．这个矩形的长和宽各是多少？
初三数学期末复习——相似三角形
三、比例
1．第四比例项、比例中项、比例线段；
2．比例性质：
（1）基本性质：
（2）合比定理：
（3）等比定理：
3．黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．
结论：PA= AB．
4．平行线分线段成比例定理：
5．相似三角形：
（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形．
（2）判定方法．
（3）直角三角形判定方法．
6．相似三角形性质．
（1）对应角相等，对应边成比例；
（2）对应线段之比等于 ；
（3）周长之比等于 ；
（4）面积之比等于 ．
7．相似三角形中的基本图形．
（1）平行型：（A型，X型）
（2）交错型：
（3）旋转型： （4）母子三角形：
四、例题解析：
1．如果，，，则，，的第四比例项是 ．
如果，，则与的比例中项是 ．
2．已知，，则 ．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=2，EC=1，则AC= ．
4．如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，若S△AEF=6，则S△CDF= ．
5．如图，△ABC中，DE∥BD，AD∶DB=2∶3，则S△ADE∶S△ECB= ．
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于D．
（1）若AC=4，BC=3，则AD= ，BD= ，CD= ；
（2）若AB∶BC=1∶9，则AD∶BD= ．
7．如图，平行四边形ABCD中，BC=18cm，P、Q是三等分点，DF延长线交BC于E，EQ延长线交AD于F，则AF=_______．
8．如图，在△ABC中，AB>AC，边AB上取一点D，边AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P．
求证：BP∶CP=BC∶CE．
9．如图，CD是Rt△ABC的斜边，AD是高线，∠BAC的平分线交BC，CD于E，F．
求证：（1）△ACF∽△ABE；
（2）AC·AE= AF·AB．
10．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAC=30°，求AE的长；
（3）在（1），（2）条件下，若AD=3，求BF的长．
11．如图，Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到点B，C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=，AE=，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
自我训练：
一、判断题：
1．两个等边三角形一定相似（ ）
2．两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为1∶2（ ）
3．两个等腰三角形一定相似（ ）
4．若一个三角形的两个角分别是400、1000，而另一个三角形是顶角为1000的等腰三角形，则这两个三角形相似（ ）
二、填空题：
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，若AC＝5cm ，CD＝4cm ，则AD＝ cm ，AB＝ cm ．
2．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F，若AB＝7cm，CF＝3cm，则AD∶CE＝ ．
3．如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，则AB的长为 ．
4．CM是△ABC的中线，AB＝12，AC＝9，AC上有一点N，且∠ANM＝∠B，则CN＝ ．
5．梯形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O作EF平行于底，与腰AD、BC相交于E、F，若DC＝14，OF＝8，AE＝12，则DE＝ ．
6．如图，正方形ABCD的面积为144cm2，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为112.5cm2，则BE的长为 cm．
三、选择题：
1．已知，则的值为（ ）
（A）（B） （C） （D）
2．如图，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE=∠C，则AD：AC=（ ）
（A）AE：AC （B）DE：BC （C）AE：BC （D）DE：AB
3．D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，如果，AE=15，那么EC的长是（ ）
（A） 10 （B） 22. 5 （C） 25 （D） 6
4．如图，△ABC中，DE∥BC，，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．如图，DE是三角形ABC的中位线，△ADE的面积为3cm2，则梯形DBCE的面积为（ ）
A、6cm2 B、9cm2 C、12cm2 D、24cm2
6．如图，E是平行四边形ABCD的边AD上的点，AE＝ED，BE交AC于F，则＝（ ）
A、 B、 C、 D、
7．如图，△ABC中，D是AB上的点，不能判定△ACD∽△ABC的是以下条件中的（ ）
A、∠ACD＝∠B B、∠ADC＝∠ACB C、AC2＝AD·AB D、AD∶AC＝CD∶BC
8．如图FD∥BC，FB∥AC，，则＝（ ）
A、 B、 C、 D、
9．梯形ABCD的两腰AD和BC延长相交于点E，若两底的长度分别为12和8，梯形ABCD的面积等于90，则△DCE的面积为（ ）
A、50 B、 C、72 D、50
10．如图，已知△ABC的面积为4 cm2，它的三条中位线组成△DEF，△DEF的三条中位线组成△MNP，则△MNP的面积等于（ ）
A、cm2 B、cm2 C、cm2 D、1cm2
11．如图，E是AC的中点，C是BD的中点，则＝（ ）
A、 B、 C、 D、
12．如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于点O，若AC＝12，则AO＝（ ）
A、4 B、3 C、2.4 D、2
13．如图，E是矩形ABCD的边CD上的点，BE交AC于点O，已知△COE与△BOC的面积分别为2和8，则四边形AOED的面积为（ ）
A、16 B、32 C、38 D、40
14．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E为对角线AC的中点，直线BE交AD于点F，则AF∶FD的值等于（ ）
A、2 B、 C、 D、1
15．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB，AC于E，F．
求证：．
16．如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，当这座大楼的地基面积最大时．这个矩形的长和宽各是多少？
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